Нарешті, у теорії гармонік є одне дуже важливе явище, яке необхідно відзначити, зважаючи на його практичну важливість, але це вже стосується галузі нелінійних ефектів. У всіх розглянутих нами досі системах усе передбачалося лінійним; реакція на дію сили, наприклад переміщення або прискорення, завжди була пропорційна силам. Струми в електричному колі теж були пропорційні напругам і т. д. Тепер ми хочемо розглянути випадки, коли строга пропорційність відсутня. Уявімо на хвилину пристрій, реакція якого xвихід≡ xвих у момент t визначається зовнішнім впливом xвхід≡ xвх у той самий момент t. Наприклад, xвх може бути силою, а xвих— переміщенням, або xвх— струмом, а xвих — напругою. Якби пристрій був лінійним, то ми б отримали
Зображення
де K — стала, яка не залежить ні від t, ні від xвх. Припустимо, однак, що пристрій лише приблизно лінійний, тобто насправді потрібно писати
Зображення
де ε мале порівняно з одиницею. Такі лінійна і нелінійна реакції показані на фіг. 50.4.
Зображення
Нелінійна реакція призводить до кількох важливих практичних наслідків. Деякі з них ми зараз обговоримо. Подивімося спочатку, що вийде, якщо пропустити через такий пристрій «чистий» тон. Нехай xвх=cos ωt. Якщо ми побудуємо графік залежності xвих від часу, то отримаємо суцільну криву, показану на фіг. 50.5. Для порівняння там же проведена пунктирна крива, що являє реакцію лінійної системи. Ми бачимо, що на виході виходить вже не косинусоподібна функція. Вона гостріша на вершині й пласкіша в основі. Тому ми говоримо, що вихідний сигнал спотворений. Однак, як відомо, така хвиля вже не буде чистим тоном, а набуває якихось вищих гармонік. Можна знайти ці гармоніки. Підставляючи xвх=cos ωt у рівняння (50.25), отримуємоЗображення
Таким чином, у вихідній хвилі присутня не тільки основна компонента, яка була у вхідній хвилі, але й деяка частка другої гармоніки. Крім того, у вихідній хвилі з'явився постійний член K(ε/2), який відповідає зсуву середнього значення, показаному на фіг. 50.5. Ефект виникнення зсуву середнього значення називається випрямленням. Нелінійний пристрій буде випрямляти і давати на виході вищі гармоніки. Хоча припущена нами нелінійність лише додає другу гармоніку, нелінійність вищого порядку, наприклад х3вх або x4вх, дасть вже вищі гармоніки.
Іншим результатом нелінійної реакції є модуляція. Якщо вхідна функція містить два (або більше) чистих тони, то на виході вийдуть не тільки їхні гармоніки, а й інші частотні компоненти. Нехай xвх=A cos ω1t + B cos ω2t , причому ω1 і ω2 не перебувають у раціональному відношенні одна до одної. Тоді на додаток до лінійного члена (що дорівнює добутку K на вхідну хвилю) на виході ми отримаємо
Іншим результатом нелінійної реакції є модуляція. Якщо вхідна функція містить два (або більше) чистих тони, то на виході вийдуть не тільки їхні гармоніки, а й інші частотні компоненти. Нехай xвх=A cos ω1t + B cos ω2t , причому ω1 і ω2 не перебувають у раціональному відношенні одна до одної. Тоді на додаток до лінійного члена (що дорівнює добутку K на вхідну хвилю) на виході ми отримаємо
Зображення
Перші два члени в дужках рівняння (50.29) — старі знайомі. Вони дають нульову і другу гармоніки, але останній член — це вже щось нове.
На цей новий «перехресний член» АВ cos ω1t cos ω2t можна дивитися з двох сторін. По-перше, якщо дві частоти сильно відрізняються одна від одної (наприклад, ω1 набагато більша за ω2), то ми можемо вважати, що перехресний член являє собою косинусоподібні коливання зі змінною амплітудою. Я маю на увазі такий запис:
На цей новий «перехресний член» АВ cos ω1t cos ω2t можна дивитися з двох сторін. По-перше, якщо дві частоти сильно відрізняються одна від одної (наприклад, ω1 набагато більша за ω2), то ми можемо вважати, що перехресний член являє собою косинусоподібні коливання зі змінною амплітудою. Я маю на увазі такий запис:
Зображення
Ми говоримо, що амплітуда коливань cos ω1 частотою ω2.
По-друге, цей самий перехресний член можна розглядати з іншого погляду:
По-друге, цей самий перехресний член можна розглядати з іншого погляду:
Зображення
тобто можна сказати, що виникають дві нові компоненти, одна з яких дорівнює сумі частот ω1 + ω2, а інша — різниці ω1 - ω2.
Таким чином, існують два різних, але еквівалентних способи тлумачення одного й того самого явища. У граничному випадку ω1 >> ω2 можна пов'язати ці дві різні точки зору, зауваживши, що оскільки (ω1 + ω2) і (ω1 - ω2) близькі одна до одної, то між ними мають спостерігатися биття. Але ці биття дають у результаті модуляцію амплітуди коливань із середньою частотою ω1; половинкою різниці частот 2ω2. Тепер ви бачите, чому ці два описи еквівалентні.
Отже, ми виявили, що нелінійна реакція дає кілька ефектів: випрямлення, виникнення гармонік і модуляцію, тобто виникнення компонент із сумою і різницею частот.
Зверніть увагу, що всі ці ефекти пропорційні не тільки коефіцієнту нелінійності ε, а й добутку амплітуд: або A2, або В2, або АВ. Тому ми очікуємо, що вони будуть важливіші для сильних сигналів, ніж для слабких.
Описані нами ефекти знаходять безліч практичних застосувань. По-перше, що стосується звуку, то, як вважають, наше вухо — нелінійний апарат. Таке уявлення виникло з того факту, що, навіть коли звук містить лише чисті тони, при великій гучності виникає відчуття, що ми чуємо вищі гармоніки, а також суму і різницю частот.
Апарати, які зазвичай використовуються у звуковідтворювальних пристроях,— підсилювачі, гучномовці і т. д.— завжди мають якісь нелінійності. Вони спотворюють звук, породжуючи гармоніки, яких спочатку не було. Ці нові гармоніки сприймаються вухом і, безсумнівно, небажані. Саме з цієї причини високочастотна апаратура повинна бути наскільки можна «більш лінійною». (Чому нелінійність нашого власного вуха не «неприємна» і звідки нам знати, що нелінійність «сидить» у гучномовці, а не в нашому вусі,— не ясно!)
Однак у деяких випадках нелінійність зовсім необхідна, і в деяких частинах радіопередавальних і приймальних пристроїв її навмисно роблять більшою. При радіопередачах за допомогою амплітудної модуляції сигнали від «голосу» (частоти порядку кількох кілогерц) комбінуються з «несучим сигналом» (з частотою порядку кількох мегагерц) у нелінійному колі, яке називається модулятором. При цьому виходять модульовані коливання, які потім випромінюються в ефір. У приймачі сигнал знову потрапляє в нелінійний контур, який додає і віднімає частоти модульованого сигналу, виділяючи знову звуковий сигнал.
Коли ми розбирали питання проходження світла крізь речовину, ми припускали, що вимушені коливання зарядів пропорційні електричному полю світла, тобто ми брали лінійну реакцію. Це справді дуже добре наближення. Лише останніми кількома роками були побудовані джерела світла (лазери), які дають інтенсивність, достатню для спостереження нелінійних ефектів. Тепер можна створювати гармоніки світлових частот. Якщо пропускати крізь шматок скла сильне червоне світло, то виходить воно звідти з невеликою домішкою другої гармоніки — блакитного світла!
Таким чином, існують два різних, але еквівалентних способи тлумачення одного й того самого явища. У граничному випадку ω1 >> ω2 можна пов'язати ці дві різні точки зору, зауваживши, що оскільки (ω1 + ω2) і (ω1 - ω2) близькі одна до одної, то між ними мають спостерігатися биття. Але ці биття дають у результаті модуляцію амплітуди коливань із середньою частотою ω1; половинкою різниці частот 2ω2. Тепер ви бачите, чому ці два описи еквівалентні.
Отже, ми виявили, що нелінійна реакція дає кілька ефектів: випрямлення, виникнення гармонік і модуляцію, тобто виникнення компонент із сумою і різницею частот.
Зверніть увагу, що всі ці ефекти пропорційні не тільки коефіцієнту нелінійності ε, а й добутку амплітуд: або A2, або В2, або АВ. Тому ми очікуємо, що вони будуть важливіші для сильних сигналів, ніж для слабких.
Описані нами ефекти знаходять безліч практичних застосувань. По-перше, що стосується звуку, то, як вважають, наше вухо — нелінійний апарат. Таке уявлення виникло з того факту, що, навіть коли звук містить лише чисті тони, при великій гучності виникає відчуття, що ми чуємо вищі гармоніки, а також суму і різницю частот.
Апарати, які зазвичай використовуються у звуковідтворювальних пристроях,— підсилювачі, гучномовці і т. д.— завжди мають якісь нелінійності. Вони спотворюють звук, породжуючи гармоніки, яких спочатку не було. Ці нові гармоніки сприймаються вухом і, безсумнівно, небажані. Саме з цієї причини високочастотна апаратура повинна бути наскільки можна «більш лінійною». (Чому нелінійність нашого власного вуха не «неприємна» і звідки нам знати, що нелінійність «сидить» у гучномовці, а не в нашому вусі,— не ясно!)
Однак у деяких випадках нелінійність зовсім необхідна, і в деяких частинах радіопередавальних і приймальних пристроїв її навмисно роблять більшою. При радіопередачах за допомогою амплітудної модуляції сигнали від «голосу» (частоти порядку кількох кілогерц) комбінуються з «несучим сигналом» (з частотою порядку кількох мегагерц) у нелінійному колі, яке називається модулятором. При цьому виходять модульовані коливання, які потім випромінюються в ефір. У приймачі сигнал знову потрапляє в нелінійний контур, який додає і віднімає частоти модульованого сигналу, виділяючи знову звуковий сигнал.
Коли ми розбирали питання проходження світла крізь речовину, ми припускали, що вимушені коливання зарядів пропорційні електричному полю світла, тобто ми брали лінійну реакцію. Це справді дуже добре наближення. Лише останніми кількома роками були побудовані джерела світла (лазери), які дають інтенсивність, достатню для спостереження нелінійних ефектів. Тепер можна створювати гармоніки світлових частот. Якщо пропускати крізь шматок скла сильне червоне світло, то виходить воно звідти з невеликою домішкою другої гармоніки — блакитного світла!