У попередньому розділі ми ознайомилися з іншою точкою зору на коливальну систему. Ми бачили, що в струні виникають різні власні гармоніки і що будь-яке окреме коливання, яке тільки можна отримати з початкових умов, можна розглядати як складену в належній пропорції комбінацію кількох одночасно осцилюючих власних гармонік. Для струни ми знайшли, що власні гармоніки мають частоти ω0, 2ω0, 3ω0, ... . Тому найзагальніший рух струни складається із синусоїдальних коливань основної частоти ω0, потім другої гармоніки 2ω0, потім третьої гармоніки 3ω0 і т. д. Основна гармоніка повторюється через кожен період T1=2π/ω0, друга гармоніка — через кожен період T2=2π/2ω0; вона повторюється також і через кожен період T1=2Т2, тобто після двох своїх періодів. Так само через період T1 повторюється і третя гармоніка. У цьому відрізку вкладаються три її періоди. І знову ми розуміємо, чому зачеплена струна через період T1 повністю повторює форму свого руху. Так виходить музичний звук.
Досі ми говорили про рух струни. Однак звук, який являє собою рух повітря, викликаний рухом струни, теж має складатися з тих самих гармонік, хоча тут ми вже не можемо говорити про власні гармоніки повітря. До того ж відносна сила різних гармонік у повітрі може бути зовсім іншою, ніж у струні, особливо якщо струна «зв'язана» з повітрям за допомогою «деки». Різні гармоніки по-різному пов'язані з повітрям.
Якщо для музичного тону функція f(t) являє собою тиск повітря залежно від часу (скажімо, такий, як на фіг. 50.1,б), то можна очікувати, що f(t) записується у вигляді суми деякого числа простих гармонічних функцій від часу (подібних cos ωt) для кожної з різних гармонічних частот. Якщо період коливань дорівнює T, то основна кутова частота буде ω=2π/T, а наступні гармоніки будуть 2ω, 3ω і т. д.
Тут з'являється невелике ускладнення. Ми не маємо права очікувати, що для кожної частоти початкові фази обов'язково будуть рівні одна одній. Тому потрібно користуватися функціями типу cos (ωt + φ)- Натомість, однак, простіше використовувати для кожної частоти і синус, і косинус. Нагадаємо, що
Досі ми говорили про рух струни. Однак звук, який являє собою рух повітря, викликаний рухом струни, теж має складатися з тих самих гармонік, хоча тут ми вже не можемо говорити про власні гармоніки повітря. До того ж відносна сила різних гармонік у повітрі може бути зовсім іншою, ніж у струні, особливо якщо струна «зв'язана» з повітрям за допомогою «деки». Різні гармоніки по-різному пов'язані з повітрям.
Якщо для музичного тону функція f(t) являє собою тиск повітря залежно від часу (скажімо, такий, як на фіг. 50.1,б), то можна очікувати, що f(t) записується у вигляді суми деякого числа простих гармонічних функцій від часу (подібних cos ωt) для кожної з різних гармонічних частот. Якщо період коливань дорівнює T, то основна кутова частота буде ω=2π/T, а наступні гармоніки будуть 2ω, 3ω і т. д.
Тут з'являється невелике ускладнення. Ми не маємо права очікувати, що для кожної частоти початкові фази обов'язково будуть рівні одна одній. Тому потрібно користуватися функціями типу cos (ωt + φ)- Натомість, однак, простіше використовувати для кожної частоти і синус, і косинус. Нагадаємо, що
Зображення
а оскільки φ — стала, то будь-які синусоїдальні коливання з частотою ω можуть бути записані у вигляді суми членів, в один з яких входить sin ωt, а в інший — cos ωt.
Отже, ми приходимо до висновку, що будь-яка періодична функція f(t) з періодом T математично може бути записана у вигляді
Отже, ми приходимо до висновку, що будь-яка періодична функція f(t) з періодом T математично може бути записана у вигляді
Зображення
де ω=2π/T, а а і b — числові сталі, які вказують, з якою вагою кожна компонента коливання входить у загальне коливання f(t). Для більшої загальності ми додали в нашу формулу член з нульовою частотою а0, хоча зазвичай для музичних тонів він дорівнює нулю. Це просто зсув середньої величини звукового тиску (тобто зсув «нульового» рівня). З цим членом наша формула правильна для будь-якого випадку. Рівняння (50.2) схематично показано на фіг. 50.2. Амплітуди гармонічних функцій an і bn обираються за спеціальним правилом. На малюнку вони показані лише схематично без дотримання масштабу. [Ряд (50.2) називається рядом Фур'є для функції f(t).]Ми сказали, що будь-яку періодичну функцію можна записати в такому вигляді. Слід внести невелику поправку й підкреслити, що в такий ряд можна розкласти взагалі будь-яку звукову хвилю чи будь-яку функцію, з якою ми стикаємося у фізиці. Математики, звісно, можуть вигадати таку функцію, що її не можна буде скласти з простих гармонічних (наприклад, функцію, яка «загортається» назад, так що для деяких величин t вона має два значення!). Однак тут нам не варто турбуватися про такі функції.