Енергія осцилятора

Хоча розділ називається «Перехідні розв'язки», тут усе ще йдеться переважно про осцилятор, на який діє зовнішня сила. Ми ще нічого не говорили про енергію коливань. Візьмімося за неї. Чому дорівнює кінетична енергія осцилятора? Вона пропорційна квадрату швидкості. Тут ми торкнулися важливого питання. Припустімо, що ми вивчаємо властивості деякої величини А; це може бути швидкість або щось інше. Ми звернулися по допомогу до комплексних чисел: A=Aexp(iωt), але у фізиці праведна й шанована лише дійсна частина комплексного числа. Тому якщо вам для чогось знадобиться отримати квадрат А, не підносьте до квадрата комплексне число, щоб потім виділити його дійсну частину. Дійсна частина квадрата комплексного числа не дорівнює квадрату дійсної частини, вона містить ще й уявну частину початкового числа. Отже, якщо ми захочемо знайти енергію і подивитися на її перетворення, нам доведеться на час забути про комплексні числа. Отже, істинно фізична величина А — це дійсна частина A₀exp[i(ωt+Δ)], тобто
A = A₀cos(ωt+Δ), а комплексне число А—це A₀exp(iΔ). Квадрат цієї фізичної величини дорівнює A²₀cos²(ωt+Δ). Він змінюється від нуля до максимуму, як це приписує квадрат косинуса. Максимальне значення квадрата косинуса дорівнює 1, мінімальне дорівнює 0, а його середнє значення — це 1/2. Часто нас зовсім не цікавить енергія в кожен даний момент коливання; у багатьох випадках досить знати лише середню величину А² (середнє значення квадрата А протягом часу, набагато більшого за період коливань). За цих умов можна усереднити квадрат косинуса й довести теорему: якщо А зображується комплексним числом, то середнє значення А² дорівнює 1/2А²₀. Тут А²₀ — це квадрат модуля комплексного числа А. (Квадрат модуля А записують по-різному: |А|² або АА*— у вигляді добутку числа A на комплексно спряжене.) Ця теорема ще не раз стане нам у пригоді. Отже, йдеться про енергію осцилятора, на який діє зовнішня сила. Рух такого осцилятора описується рівнянням

Ми, звісно, припускаємо, що F(t) пропорційна cos ωt. З'ясуймо тепер, чи багато доводиться цій силі працювати. Робота, виконана силою за 1 с, тобто потужність, дорівнює добутку сили на швидкість. [Ми знаємо, що робота, виконана за час dt, дорівнює Fdx, а потужність дорівнює F(dx/dt).] Отже,

Як легко перевірити простим диференціюванням, перші два члени можна переписати у вигляді (d/dt)[ 1/2m(dx/dt)² + 1/2mω²₀x²]. Вираз у квадратних дужках — похідна за часом суми двох членів. Це зрозуміло; адже перший член суми — кінетична енергія руху, а другий — потенціальна енергія пружини. Назвемо цю величину запасеною енергією, тобто енергією, накопиченою при коливаннях. Усереднімо потужність за багатьма циклами, коли сила ввімкнена вже давно і осцилятор добряче наколивався. Якщо пробіг триває довго, запасена енергія не змінюється; похідна за часом дає ефект, у середньому рівний нулю. Іншими словами, якщо усереднити витрачену за довгий час потужність, то вся енергія поглинеться через опір, який описується членом γm(dx/dt)². Певну частину енергії осцилятор, звісно, запасе, але якщо усереднювати за багатьма циклами, то її кількість не мінятиметься з часом. Таким чином, середня потужність <Р> дорівнює

Застосовуючи метод комплексних чисел і нашу теорему про те, що <А²> = 1/2А²₀, легко знайти цю середню потужність. Оскільки x = x exp(iωt), то dx/dt=iωx exp(iωt). Отже, середня потужність дорівнює

Якщо перейти до електричних кіл, то dx/dt треба замінити на струм I (I — це dq/dt, де q відповідає х), а mγ — на опір R. Значить, швидкість втрати енергії (потужності сили) в електричному колі дорівнює добутку опору на середній квадрат сили струму

Енергія, природно, переходить у тепло, яке виділяє опір; це так звані теплові втрати, або тепло Джоуля. Цікаво розібратися також у тому, чи багато енергії може накопичити осцилятор. Не плутайте це питання з питанням про середню потужність, бо хоча потужність, яку виділяє сила, спершу справді накопичується осцилятором, потім на його частку залишається лише те, чого не поглинуло тертя. У кожен момент осцилятор має цілком визначену енергію, тому можна обчислити середню запасену енергію <E>. Ми вже обчислили середнє значення (dx/dt)², тож

Якщо осцилятор достатньо добротний і частота ω близька до ω₀, то |х| — велика величина, запасена енергія дуже велика, і можна накопичити дуже багато енергії за рахунок невеликої сили. Сила виконує велику роботу, змушуючи осцилятор розгойдуватися, але після того, як встановилася рівновага, вся сила йде на боротьбу з тертям. Осцилятор має велику енергію, якщо тертя дуже мале, і втрати енергії невеликі навіть при дуже великому розмаху коливань. Добротність осцилятора можна вимірювати величиною запасеної енергії порівняно з роботою, виконаною силою за період коливання. Що це за величина — накопичена енергія порівняно з роботою сили за цикл? Її позначили буквою Q. Величина Q — це помножене на 2π відношення середньої запасеної енергії до роботи сили за один цикл (можна розглядати роботу не за цикл, а за радіан, тоді у визначенні Q зникне 2π)

Поки Q не надто велика — це погана характеристика системи, якщо ж Q досить велика величина, то можна сказати, що це міра добротності осцилятора. Багато хто намагався дати найпростіше й найкорисніше визначення Q; різні визначення небагато відрізняються одне від одного, але якщо Q дуже велика, то всі вони узгоджуються між собою. За найзагальнішим визначенням за формулою (24.7) Q залежить від ω. Якщо ми маємо справу з добрим осцилятором поблизу резонансної частоти, то (24.7) можна спростити, поклавши ω = ω₀, тоді Q = ω₀/γ; таке визначення Q було дано в попередньому розділі. Що таке Q для електричного кола? Щоб знайти цю величину, треба замінити m на L, mγ на R і mω²₀ на 1/С (див. табл. 23.1). Тоді Q у точці резонансу дорівнює Lω/R, де ω — резонансна частота. У колі з великою Q запасена колом енергія велика порівняно з роботою за один цикл, яку виконує машина, що підтримує коливання в колі.