Підсумуймо тепер розглянуті вище ідеї, які всі є аспектами, очевидно, найзагальнішого і найдивовижнішого принципу математичної фізики. Якщо в нас є лінійна система, характеристики якої не залежать від часу, то її рух, узагалі кажучи, не зобов'язаний бути якимось особливо простим. Насправді він може бути надзвичайно складним, однак існують такі особливі рухи (зазвичай їх ціла низка), за яких форма коливання синусоїдально залежить від часу. Для коливних систем, про які щойно йшлося, ми зазвичай отримували уявну експоненту, але замість того, щоб сказати «експоненціально», я вважав за краще сказати «синусоїдально». Однак якщо прагнути до більшої загальності, то треба говорити про якісь особливі рухи, дуже специфічної форми, що змінюються експоненціально з часом. Найзагальніший рух систем завжди можна подати у вигляді суперпозиції рухів, що включають кожну з різних експонент.
Є сенс підкреслити ще раз спеціально для випадку синусоїдального руху: лінійна система не обов'язково повинна рухатися чисто синусоїдально, тобто з однією певною частотою, але хоч би як вона рухалася, цей рух можна подати у вигляді суперпозиції чисто синусоїдальних коливань. Частота кожного з цих коливань, як і форма хвилі, залежить від властивостей системи. Загальний рух будь-якої такої системи характеризується заданням амплітуди і фази кожної з гармонік при їх складанні. Можна сказати це й по-іншому: коливання будь-якої лінійної системи еквівалентне набору гармонічних незалежних осциляторів, частоти яких відповідають частотам власних гармонік цієї системи.
Цей розділ ми завершимо зауваженням про зв'язок гармонік із квантовою механікою. Об'єктами й величинами, що коливаються і змінюються з часом у квантовій механіці, є амплітуди ймовірності, які визначають імовірності виявлення електрона або системи електронів у даному місці. Ця амплітуда може змінюватися в просторі й часі і задовольняє лінійне рівняння. Але при переході до квантової механіки відбувається перейменування. Те, що ми називали частотою амплітуди ймовірності, переходить в енергію в її класичному сенсі. Тому встановлений вище принцип можна перекласти мовою квантової механіки, замінивши слово частота словом енергія. Вийде приблизно так: квантовомеханічна система, наприклад атом, не обов'язково має певну енергію, точно так само, як проста механічна система не обов'язково має певну частоту, але хоч би якою була поведінка системи, її завжди можна подати у вигляді суперпозиції станів із певною енергією. Енергія кожного стану, як і форма амплітуди, яка дає ймовірність перебування частинки в різних місцях, визначається властивостями атома. Загальний рух можна описати заданням амплітуд кожного з різних енергетичних станів. Саме тут криється причина виникнення енергетичних рівнів у квантовій механіці. Оскільки квантова механіка все описує у вигляді хвиль, то за деяких обставин, коли електрон не має достатньої енергії, щоб безповоротно відірватися від протона, він являє собою просто хвилю в обмеженому просторі. Тому, так само як і для обмеженої струни, при розв'язанні хвильового рівняння в квантовій механіці в подібному випадку виникають певні дискретні частоти. У квантовомеханічній інтерпретації це будуть певні енергії. Отже, квантовомеханічна система, унаслідок того що вона описується за допомогою хвиль, може мати певні стани з фіксованою енергією; прикладом можуть слугувати дискретні енергетичні рівні атомів.
Є сенс підкреслити ще раз спеціально для випадку синусоїдального руху: лінійна система не обов'язково повинна рухатися чисто синусоїдально, тобто з однією певною частотою, але хоч би як вона рухалася, цей рух можна подати у вигляді суперпозиції чисто синусоїдальних коливань. Частота кожного з цих коливань, як і форма хвилі, залежить від властивостей системи. Загальний рух будь-якої такої системи характеризується заданням амплітуди і фази кожної з гармонік при їх складанні. Можна сказати це й по-іншому: коливання будь-якої лінійної системи еквівалентне набору гармонічних незалежних осциляторів, частоти яких відповідають частотам власних гармонік цієї системи.
Цей розділ ми завершимо зауваженням про зв'язок гармонік із квантовою механікою. Об'єктами й величинами, що коливаються і змінюються з часом у квантовій механіці, є амплітуди ймовірності, які визначають імовірності виявлення електрона або системи електронів у даному місці. Ця амплітуда може змінюватися в просторі й часі і задовольняє лінійне рівняння. Але при переході до квантової механіки відбувається перейменування. Те, що ми називали частотою амплітуди ймовірності, переходить в енергію в її класичному сенсі. Тому встановлений вище принцип можна перекласти мовою квантової механіки, замінивши слово частота словом енергія. Вийде приблизно так: квантовомеханічна система, наприклад атом, не обов'язково має певну енергію, точно так само, як проста механічна система не обов'язково має певну частоту, але хоч би якою була поведінка системи, її завжди можна подати у вигляді суперпозиції станів із певною енергією. Енергія кожного стану, як і форма амплітуди, яка дає ймовірність перебування частинки в різних місцях, визначається властивостями атома. Загальний рух можна описати заданням амплітуд кожного з різних енергетичних станів. Саме тут криється причина виникнення енергетичних рівнів у квантовій механіці. Оскільки квантова механіка все описує у вигляді хвиль, то за деяких обставин, коли електрон не має достатньої енергії, щоб безповоротно відірватися від протона, він являє собою просто хвилю в обмеженому просторі. Тому, так само як і для обмеженої струни, при розв'язанні хвильового рівняння в квантовій механіці в подібному випадку виникають певні дискретні частоти. У квантовомеханічній інтерпретації це будуть певні енергії. Отже, квантовомеханічна система, унаслідок того що вона описується за допомогою хвиль, може мати певні стани з фіксованою енергією; прикладом можуть слугувати дискретні енергетичні рівні атомів.