Відбиття хвиль

У цьому розділі ми розглянемо низку чудових явищ, що виникають унаслідок «ув'язнення» хвилі в деякій обмеженій області. Спершу нам доведеться встановити кілька окремих фактів, що стосуються, наприклад, коливання струни, а потім, узагальнивши ці факти, ми прийдемо, мабуть, до найдалекосяжнішого принципу математичної фізики.
 
Перший приклад хвиль в обмеженому просторі — це хвилі в просторі, обмеженому з одного боку. Візьмемо простий випадок одновимірної хвилі на струні. Можна було б розглянути плоску звукову хвилю в просторі, обмеженому з одного боку стінкою, або якісь інші приклади тієї самої природи, але для наших теперішніх цілей цілком достатньо простої струни. Припустімо, що один кінець струни закріплений, ну, наприклад, замурований в «абсолютно жорстку» стінку. Математично це можна описати, вказавши, що переміщення струни y в точці x=0 повинне дорівнювати нулю, бо кінець струни не може рухатися. Далі, якби в цій справі не брала участі стінка, то, як ми знаємо, загальний розв'язок, що описує рух струни, можна було б подати у вигляді суми двох функцій F(x—ct) і G(x+ct), причому перша описує хвилю, що біжить по струні в один бік, а друга — в інший, тож

буде загальним розв'язком для будь-якої струни. Але нам, крім цього, потрібно ще задовольнити умову нерухомості одного кінця. Якщо в рівнянні (49.1) ми покладемо x=0 і подивимось, якими будуть у в будь-який момент t, то отримаємо y=F(—ct)+G(+ct). Але ця сума повинна дорівнювати нулю в будь-який момент часу, а це означає, що функція G(+ct) повинна дорівнювати —F(—ct). Іншими словами, функція G від якоїсь величини повинна дорівнювати функції —F від тієї самої величини зі знаком мінус. Підставляючи знову здобутий результат у рівняння (49.1), знаходимо розв'язок  поставленої  задачі:

Ясно, що цей вираз завжди дасть y=0, якщо x покласти рівним нулю.
 
На фіг. 49.1 показано хвилю, що йде у від'ємному х-напрямку поблизу точки x=0, і гіпотетичну хвилю, що йде в протилежному напрямку зі зворотним знаком і з другого боку від початку координат. Я сказав «гіпотетичну», бо з другого боку, звісно, жодної коливної струни немає. Істинний же рух струни треба розглядати як суму цих двох хвиль в області додатних x. Досягнувши початку координат, вони в точці x=0 повністю знищать одна одну, а потім друга (відбита) хвиля, що йде, звичайно, в протилежному напрямку, виявиться єдиною хвилею в області додатних x. Ці результати рівносильні такому твердженню: хвиля, досягнувши защемленого кінця струни, відбивається від нього зі зміною знака. Таке відбиття завжди можна зрозуміти, якщо уявити собі, як щось, що дійшло до кінця струни, вилетить потім з-за стіни «догори ногами». Коротше кажучи, якщо ми припустимо, що струна нескінченна і що, хоч би де перебувала хвиля, яка біжить в одному напрямку, завжди існує симетрична їй відносно точки x=0 інша хвиля, яка біжить у протилежному напрямку, то в самій точці x=0 жодного переміщення не буде, а тому байдуже, защемлена струна в цьому місці чи ні.
 
Наступний наш приклад — відбиття періодичної хвилі. Припустімо, що хвиля, яка описується функцією F(x—ct), являє собою синусоїдальну хвилю, яка потім відбивається. Тоді відбита хвиля —F(—x—ct) теж буде синусоїдальною хвилею тієї самої частоти, але піде вона в протилежному напрямку. Цю ситуацію найпростіше описати за допомогою комплексних функцій

Неважко переконатися, що якщо підставити їх у вираз (49.2) і покласти x=0, то в будь-який момент часу t переміщення дорівнюватиме нулю і, отже, необхідна умова виявиться виконаною. Скориставшись тепер властивістю експоненти, можна записати результат у простішому вигляді:

Ми отримали щось нове й цікаве. З цього розв'язку ясно, що якщо подивитися на будь-яку точку x нашої струни, то побачимо, що вона осцилює з частотою ω. Зовсім неважливо, де перебуває ця точка, частота однаково буде тією самою! Однак на струні є такі місця (де sin(ωx/c)=0), які взагалі не переміщуються. Більше того, якщо в будь-який момент часу t зробити миттєвий знімок коливної струни, то на фотографії вийде синусоїдальна хвиля, але величина її амплітуди залежатиме від часу t. З виразу (49.3) видно, що довжина одного циклу синусоїдальної хвилі дорівнює довжині якоїсь із хвиль:

Нерухомі точки задовольняють умову sin(ωx/c)=0, яка означає, що ωx/с=0, π, 2π, ..., nπ, ... . Ці точки називаються вузлами. Кожна точка між двома сусідніми вузлами рухається синусоїдально вгору й униз, але спосіб її руху залишається фіксованим у просторі. Це — основна характеристика   того,   що    називається    власним   коливанням, гармонікою або модою. Якщо рух має ту властивість, що кожна точка предмета рухається строго синусоїдально і всі точки рухаються з однаковою частотою (хоча одні, можливо, більше, а інші менше), то ми маємо справу з власним коливанням.