Тепер ми перейдемо до розгляду дуже цікавої поведінки власних гармонік у двовимірних коливаннях. Досі ми говорили тільки про одновимірні коливання: натягнуту струну або звукові хвилі в трубі. Зрештою ми повинні дістатися трьох вимірів, але спершу зупинімося на легшому етапі — етапі двовимірних коливань. Візьмемо для більшої визначеності прямокутний гумовий барабан, перетинка якого закріплена по краях так, що на прямокутному краю барабана вона переміщатися не може. Нехай розміри прямокутника дорівнюють a і b, як це показано на фіг. 49.4. Передусім, які характеристики можливого руху? Можна почати з того самого, з чого ми почали, коли розглядали приклад зі струною. Якби жодного закріплення не було взагалі, то можна було б очікувати появи хвиль, що біжать у певному напрямку, наприклад синусоїдальної хвилі, яка описується функцією exp(iωt) exp[—i(kxx)+i(kyy)], напрямок руху якої залежить від відносної величини чисел kx і ky. А як тепер зробити вузол на осі x, тобто при y=0? Використовуючи ту саму ідею, що й для одновимірної струни, можна додати хвилю, яка описується комплексною функцією —exp (iωt) exp[—i(kxx)—i{kyy)].Суперпозиція цих хвиль у результаті дає нульове переміщення при y=0 незалежно від того, якими будуть значення x і t. (Хоча ці функції будуть визначені й для від'ємних значень y там, де жодного барабана немає і коливатися нічому, але на це можна не звертати жодної уваги. Адже нам хотілося усунути переміщення при y=0, і ми домоглися цього.) Другу функцію в цьому разі можна розглядати як відбиту хвилю.
Однак нам потрібно отримати вузол не тільки на лінії y=0, а й на лінії y=b. Як же це зробити? Розв'язання такої задачі пов'язане з деякими речами, якими ми займалися під час вивчення відбиття світла від кристала. Хвилі, що гасять одна одну при y=0, можуть зробити те саме і при y=b, тільки коли 2b sin θ дорівнює цілому числу довжин хвиль λ, (θ — кут, показаний на фіг. 49.4):
Зображення
Точнісінько так само, тобто додаванням ще двох функцій [—ехp(iωt)] exp[i(kxx)+i(kyy)] і [+ехp(iωt)] exp[i(kxx)-i(kyy)], кожна з яких являє собою відбиття іншої від лінії x=0, можна влаштувати вузол і на осі y. Умова того, що лінія x=a буде теж вузловою, виходить так само, як і умова при y=b, тобто 2a cosθ повинно дорівнювати цілому числу довжин хвиль:
Зображення
Тоді остаточний результат такий: хвилі, «укладені» в ящику, мають вигляд стоячої хвилі, тобто утворюють якісь певні власні гармоніки.
Таким чином, якщо ми хочемо мати справу з власними гармоніками, то повинні задовольнити дві написані вище умови. Для початку знайдімо довжину хвилі. Виключивши з рівнянь (49.7) і (49.8) кут θ, можна виразити довжину хвилі через а, b, n і m. Найлегше це зробити так: спершу поділити обидві частини рівнянь відповідно на 2b і 2а, а потім піднести їх до квадрата і скласти. У результаті ми отримаємо рівняння
Таким чином, якщо ми хочемо мати справу з власними гармоніками, то повинні задовольнити дві написані вище умови. Для початку знайдімо довжину хвилі. Виключивши з рівнянь (49.7) і (49.8) кут θ, можна виразити довжину хвилі через а, b, n і m. Найлегше це зробити так: спершу поділити обидві частини рівнянь відповідно на 2b і 2а, а потім піднести їх до квадрата і скласти. У результаті ми отримаємо рівняння
Зображення
Отже, ми визначили довжину хвилі через два цілих числа, а за довжиною хвилі ми відразу отримуємо частоту ω, бо, як відомо, частота дорівнює 2πс, поділеному на довжину хвилі.
Цей результат настільки важливий і цікавий, що необхідно тепер отримати його строго математично без використання аналогій із відбиттям. Уявімо коливання у вигляді суперпозиції чотирьох хвиль, підібраних так, щоб усі чотири лінії x=0, x=a, y = 0 і y=b були вузловими. Вимагатимемо ще, щоб усі ці хвилі мали однакову частоту, тобто щоб результуючий рух являв собою власне коливання. З розділу про відбиття світла ми вже знаємо, що функція exp(iωt)exp[ — i(kxx)+i(kyy)] описує хвилю, що йде в напрямку, вказаному на фіг. 49.4. Як і раніше, залишається справедливим рівняння (49.6), тобто k = ω/с, з тією різницею, що тепер
Цей результат настільки важливий і цікавий, що необхідно тепер отримати його строго математично без використання аналогій із відбиттям. Уявімо коливання у вигляді суперпозиції чотирьох хвиль, підібраних так, щоб усі чотири лінії x=0, x=a, y = 0 і y=b були вузловими. Вимагатимемо ще, щоб усі ці хвилі мали однакову частоту, тобто щоб результуючий рух являв собою власне коливання. З розділу про відбиття світла ми вже знаємо, що функція exp(iωt)exp[ — i(kxx)+i(kyy)] описує хвилю, що йде в напрямку, вказаному на фіг. 49.4. Як і раніше, залишається справедливим рівняння (49.6), тобто k = ω/с, з тією різницею, що тепер
Зображення
З рисунка ясно, що kx=k cos θ, a ky=k sin θ.
Таким чином, наш вираз для переміщення прямокутної перетинки барабана (назвемо це переміщення φ) запишеться у вигляді
Таким чином, наш вираз для переміщення прямокутної перетинки барабана (назвемо це переміщення φ) запишеться у вигляді
Зображення
Хоча виглядає це доволі непоказно, сума таких експонент, по суті, не така вже й громіздка. Їх можна згорнути в синуси, тож переміщення, як виявляється, набуває вигляду
Зображення
Іншими словами, вийшли знайомі синусоїдальні коливання, форма яких теж синусоїдальна як у напрямку осі x, так і в напрямку осі y. Граничні умови при x=0 і y=0 задовольняються автоматично. Однак ми хочемо, крім того, щоб φ оберталося в нуль при x=a і y=b. Для цього ми повинні накласти дві додаткові умови, а саме kxa і kxb повинні дорівнювати цілому числу π (ці цілі числа можуть бути різними для кxa і kyb). Але оскільки, як ми бачили, kx=k cos θ і ky=k sin θ, то звідси негайно виходять рівняння (49.7) і (49.8), а з них випливає остаточний результат (49.9).
Візьмемо тепер для прикладу прямокутник, ширина якого вдвічі більша за висоту. Якщо покласти a=2b і скористатися рівняннями (49.4) і (49.9), то можна обчислити частоти всіх гармонік:
Візьмемо тепер для прикладу прямокутник, ширина якого вдвічі більша за висоту. Якщо покласти a=2b і скористатися рівняннями (49.4) і (49.9), то можна обчислити частоти всіх гармонік:
Зображення
У табл. 49.1 перелічено кілька простих гармонік і якісно показано їхню форму.
Зображення
Слід зазначити найважливішу особливість цього окремого випадку — частоти не кратні ні одна одній, ні якомусь іншому числу. Уявлення про те, що власні частоти гармонічно пов'язані одна з одною, загалом хибне. Воно хибне ні для системи розмірності, більшої за одиницю, ні навіть для одновимірної системи, складнішої за однорідну й рівномірно натягнуту струну. Найпростішим прикладом може слугувати підвішений ланцюжок, натяг якого вгорі менший, ніж унизу. Якщо збудити в такому ланцюжку гармонічні коливання, то виникнуть власні гармоніки з різними частотами, однак частоти не будуть просто кратними якомусь числу, та й сама форма гармонік більше не буде синусоїдальною.
Ще примхливішими виявляються гармоніки складніших систем. Людський рот, наприклад, являє собою порожнину, розташовану над голосовими зв'язками. Рухом язика й губ можна створити або трубу з відкритим кінцем, або трубу із закритим кінцем, причому діаметри й форми цієї труби будуть різними. Загалом це страшенно складний резонатор, але тим не менш усе ж резонатор. Під час розмови ми за допомогою голосових зв'язок створюємо якийсь тон. Цей тон доволі складний, до нього входить безліч звуків, але завдяки різним резонансним частотам порожнина рота ще більше модифікує його. Співак, наприклад, може співати різні голосні: «а», «о», «у» і ще інші з тією самою висотою, але звучать вони по-різному, бо різні гармоніки по-різному резонують у цій порожнині. Величезну роль резонансних частот порожнини в утворенні голосових звуків можна продемонструвати на дуже простому досліді. Як відомо, швидкість звуку обернено пропорційна квадратному кореню з густини, тому для різних газів вона різна. Якщо замість повітря ми використаємо гелій, густина якого менша, то швидкість звуку в ньому виявиться більшою і всі резонансні частоти порожнини будуть більшими. Отже, якби ми могли перед тим, як почати говорити, наповнити наші легені гелієм, то, хоча голосові зв'язки, як і раніше, коливалися б з тією самою частотою, характер нашого голосу різко змінився б.
Ще примхливішими виявляються гармоніки складніших систем. Людський рот, наприклад, являє собою порожнину, розташовану над голосовими зв'язками. Рухом язика й губ можна створити або трубу з відкритим кінцем, або трубу із закритим кінцем, причому діаметри й форми цієї труби будуть різними. Загалом це страшенно складний резонатор, але тим не менш усе ж резонатор. Під час розмови ми за допомогою голосових зв'язок створюємо якийсь тон. Цей тон доволі складний, до нього входить безліч звуків, але завдяки різним резонансним частотам порожнина рота ще більше модифікує його. Співак, наприклад, може співати різні голосні: «а», «о», «у» і ще інші з тією самою висотою, але звучать вони по-різному, бо різні гармоніки по-різному резонують у цій порожнині. Величезну роль резонансних частот порожнини в утворенні голосових звуків можна продемонструвати на дуже простому досліді. Як відомо, швидкість звуку обернено пропорційна квадратному кореню з густини, тому для різних газів вона різна. Якщо замість повітря ми використаємо гелій, густина якого менша, то швидкість звуку в ньому виявиться більшою і всі резонансні частоти порожнини будуть більшими. Отже, якби ми могли перед тим, як почати говорити, наповнити наші легені гелієм, то, хоча голосові зв'язки, як і раніше, коливалися б з тією самою частотою, характер нашого голосу різко змінився б.