Перехідні коливання в електричних колах

Подивімося, як виглядають перехідні коливання. Для цього зберемо коло, зображене на фіг. 24.2. У цьому колі різниця потенціалів між кінцями індуктивності L надходить на осцилоскоп. Несподіване вмикання рубильника S вмикає додаткову напругу і викликає в осциляторному колі перехідні коливання. Ці коливання аналогічні коливанням механічного осцилятора, викликаним несподіваним ударом. Саме коло є електричним аналогом механічного осцилятора зі згасанням, і ми можемо спостерігати коливання за допомогою осцилоскопа. Він покаже нам криві, аналізом яких ми й займемося. На фіг. 24.3—24.6 наведено криві згасаючих коливань, отримані на екрані осцилоскопа.  На фіг. 24.3 показано згасаючі коливання в колі з великою Q, тобто з малим значенням γ. У такому колі коливання згасають не дуже швидко; ми бачимо доволі довгу синусоїду з повільно спадним розмахом. Тепер подивімося, що станеться, якщо ми будемо зменшувати Q, так щоб коливання згасали швидше. Щоб зменшити Q, збільшимо опір кола R. При повороті ручки опору коливання справді згасають швидше (фіг. 24.4).  Якщо ще збільшити опір, то коливання згаснуть ще швидше (фіг. 24.5). Але якщо опір збільшити понад деяку межу, коливань ми взагалі не побачимо. А може, нам просто відмовляють очі?  Збільшимо ще опір і отримаємо тоді криву, наведену на фіг. 24.6; за нею можна лише з натяжкою сказати, що в колі відбулися коливання, хіба що одне. Чи можемо ми математично пояснити це явище? Опір механічного осцилятора, звісно, пропорційний γ. У нашому випадку γ — це R/L. Тепер, якщо збільшувати γ, то в таких приємних нам розв'язках (24.14) і (24.15) настає безлад; коли γ/2 стає більшим за ω₀, розв'язки доводиться записувати по-іншому:

Це знову два розв'язки, які приводять нас до розв'язків exp(iα₁t) і exp(iα₂t). Підставивши тепер α₁ отримаємо

підставити значення t= 0, х = х₀, dx/dt = v₀ і скористатися тим, що е⁰ = еⁱ⁰=1, то ми отримаємо Жодних коливань. Чисто експоненційне спадання. Те саме дає й другий розв'язок

Зауважимо, що квадратний корінь не може перевищити γ/2; навіть якщо ω₀=0, обидва члени рівні. Якщо ж ω²₀ відрізняється від γ²/4, то квадратний корінь менший за γ/2 і вираз у круглих дужках завжди додатний. Це дуже добре! Чому? Та тому, що якби цей вираз був від'ємним, то e довелося б підносити до додатного степеня і ми отримали б розв'язок, що зростає з часом. Але при збільшенні опору в колі коливання не можуть зростати, отже, ми уникнули суперечності. Отже, ми отримали два розв'язки; обидва розв'язки експоненційно згасають, але один із них прагне «померти» набагато швидше. Загальний розв'язок, звісно, є комбінацією обох розв'язків, а значення коефіцієнтів А і В залежать від того, як починаються коливання, якими є початкові умови. У нашому колі сталося так, що А — від'ємне число, а В — додатне, тому на екрані осцилоскопа ми побачили різницю двох експонент. Обговорімо, як знайти коефіцієнти А і В (або А і А*), якщо відомі початкові умови. Припустімо, що в момент t= 0 нам відомі зміщення х = х₀ і швидкість dx/dt = v₀. Якщо в співвідношення

Таким чином, знаючи початкові умови, ми повністю визначили А і А*, а отже, і криву перехідного розв'язку. Розв'язок можна записати й по-іншому. Згадаймо, що

де ω_γ= +√(ω²₀ - (γ²/4)). Ми отримали формулу згасаючих коливань. Така формула нам не знадобиться, однак відзначимо її особливості, справедливі й у більш загальних випадках. Насамперед поведінка системи, на яку не діє зовнішня сила, описується сумою (суперпозицією) часових експонент [ми записали їх у вигляді exp(iαt)]. Такий розв'язок добре передає справжній стан речей. У загальному випадку α — це комплексне число, і його уявна частина відповідає згасанню коливань. Нарешті, тісний математичний зв'язок синусоїдальних і експоненційних функцій, про який говорилося в розд. 22, фізично часто виявляється в переході від коливань до чисто експоненційного згасання при критичних значеннях деяких параметрів системи (у нашому випадку це був опір γ).