В.Л.Андрєєв
E – mail: avl130740@yandex.ru
“Процес наукових відкриттів – це, по суті, безперервна втеча від чудес”.
А. Ейнштейн
Після того, як на початку XX століття експериментально встановили, що атом не є елементарною частинкою, було зроблено чимало спроб створити його фізичну модель. Однак справа виявилася настільки складною, що фізична наука була змушена відмовитися від фізичної моделі, замінивши її моделлю математичною – дуже складним математичним апаратом хвильової механіки, що дає змогу отримувати у фізиці атома практично корисні результати.
Пропонована мною фізична модель атома – це ще й спроба зрозуміти, чому, тільки-но справа стосується фундаментальних проблем, фізична наука надає перевагу не істині, а її відображенню.
1. Нехай є механічна система, в якій матеріальна точка (частинка) маси m рухається зі швидкістю v з положення a в положення b, відстань між якими по траєкторії дорівнює l. Здійснений перехід матеріальної точки назвемо подією, до характеристик якої віднесемо: протяжність у просторі l, тривалість у часі T і дію D, що чисельно дорівнює добутку відстані l на кількість руху матеріальної точки mv:
E – mail: avl130740@yandex.ru
“Процес наукових відкриттів – це, по суті, безперервна втеча від чудес”.
А. Ейнштейн
Після того, як на початку XX століття експериментально встановили, що атом не є елементарною частинкою, було зроблено чимало спроб створити його фізичну модель. Однак справа виявилася настільки складною, що фізична наука була змушена відмовитися від фізичної моделі, замінивши її моделлю математичною – дуже складним математичним апаратом хвильової механіки, що дає змогу отримувати у фізиці атома практично корисні результати.
Пропонована мною фізична модель атома – це ще й спроба зрозуміти, чому, тільки-но справа стосується фундаментальних проблем, фізична наука надає перевагу не істині, а її відображенню.
1. Нехай є механічна система, в якій матеріальна точка (частинка) маси m рухається зі швидкістю v з положення a в положення b, відстань між якими по траєкторії дорівнює l. Здійснений перехід матеріальної точки назвемо подією, до характеристик якої віднесемо: протяжність у просторі l, тривалість у часі T і дію D, що чисельно дорівнює добутку відстані l на кількість руху матеріальної точки mv:
Зображення
або в більш загальному записі:
Зображення
Зображення
Фізична величина має розмірність добутку енергія на час, тому енергія зазначеної події дорівнює:
2. Якщо в механічній системі деяка сукупність рухів матеріальної точки складає кругообіг протягом відомого проміжку часу T, то таку механічну систему прийнято називати циклічною. Наприклад, лінійний гармонічний осцилятор і планетарна модель атома Бора являють собою циклічні механічні системи. Цикл планетарної моделі атома водню складає одну подію: повний оберт електрона навколо ядра по орбітальній траєкторії. Цикл лінійного гармонічного осцилятора складають чотири події: дві події – рухи матеріальної точки з положення рівноваги в положення крайніх відхилень; ще дві – повернення матеріальної точки в положення рівноваги.
3. Припустимо, що існує циклічна механічна система, основна особливість якої полягає в тому, що всі події, що відбуваються в ній під дією внутрішньосистемних сил, мають однакову величину дії D, що дорівнює значенню циклічної сталої Планка ћ:
2. Якщо в механічній системі деяка сукупність рухів матеріальної точки складає кругообіг протягом відомого проміжку часу T, то таку механічну систему прийнято називати циклічною. Наприклад, лінійний гармонічний осцилятор і планетарна модель атома Бора являють собою циклічні механічні системи. Цикл планетарної моделі атома водню складає одну подію: повний оберт електрона навколо ядра по орбітальній траєкторії. Цикл лінійного гармонічного осцилятора складають чотири події: дві події – рухи матеріальної точки з положення рівноваги в положення крайніх відхилень; ще дві – повернення матеріальної точки в положення рівноваги.
3. Припустимо, що існує циклічна механічна система, основна особливість якої полягає в тому, що всі події, що відбуваються в ній під дією внутрішньосистемних сил, мають однакову величину дії D, що дорівнює значенню циклічної сталої Планка ћ:
Зображення
Механічну систему, в якій рухи матеріальної точки задовольняють рівнянню (3), назвемо квантовомеханічною.
Оскільки в передбачуваній квантовомеханічній системі величина дії кожної події незмінна і дорівнює D = ћ > 0, то це означає з необхідністю, що цикли в такій системі повторюються скільки завгодно довго, отже, передбачувана квантовомеханічна система являє собою перпетуум мобіле, тобто вічно рухоме.
Рівняння (3), як видно, виражає принцип устрою перпетуум мобіле, і воно ж стверджує, що закономірність цього принципу зумовлена виключно природою внутрішньосистемних взаємодій, оскільки не містить будь-яких індивідуальних ознак частинок, що складають квантовомеханічну систему.
4. З логіки рівняння (3) випливає, що в квантовомеханічних системах природа взаємодій така, що дією сил, що виникають у системі, протяжність будь-якої циклічної події у просторі l і імпульс матеріальної точки mv перебувають у співвідношенні:
Оскільки в передбачуваній квантовомеханічній системі величина дії кожної події незмінна і дорівнює D = ћ > 0, то це означає з необхідністю, що цикли в такій системі повторюються скільки завгодно довго, отже, передбачувана квантовомеханічна система являє собою перпетуум мобіле, тобто вічно рухоме.
Рівняння (3), як видно, виражає принцип устрою перпетуум мобіле, і воно ж стверджує, що закономірність цього принципу зумовлена виключно природою внутрішньосистемних взаємодій, оскільки не містить будь-яких індивідуальних ознак частинок, що складають квантовомеханічну систему.
4. З логіки рівняння (3) випливає, що в квантовомеханічних системах природа взаємодій така, що дією сил, що виникають у системі, протяжність будь-якої циклічної події у просторі l і імпульс матеріальної точки mv перебувають у співвідношенні:
Зображення
Отже, якщо стосовно якоїсь механічної системи буде достовірно встановлено, що вона є квантовомеханічною, тобто являє собою перпетуум мобіле, то з цього факту з необхідністю випливає, що незалежно від індивідуальних якостей частинок їхні внутрішньосистемні взаємодії відповідають квантовомеханічному закону (4).
5. Думка про перпетуум мобіле виникає не випадково. Наш Всесвіт існує мільярди років. Якщо виходити з того положення, що єдність світу полягає в його матеріальності, то мільярди років існують і атоми, які його складають. Отже, протягом цих же мільярдів років в атомах рухаються електрони, не потребуючи для свого руху надходження якоїсь енергії ззовні атома. Енергетична самодостатність атомів об'єктивно свідчить, що в атомах електрони рухаються без витрати енергії, отже, кожен атом об'єктивно є механічною системою перпетуум мобіле. Цим емпіричним фактом квантовомеханічні системи з нашого припущення стають об'єктивною реальністю: кожен атом, об'єктивно будучи перпетуум мобіле, обов'язково є квантовомеханічною системою, в якій кожна частинка здійснює рухи відповідно до рівняння (4). Тому для кожного електрона в атомі справедливе співвідношення
5. Думка про перпетуум мобіле виникає не випадково. Наш Всесвіт існує мільярди років. Якщо виходити з того положення, що єдність світу полягає в його матеріальності, то мільярди років існують і атоми, які його складають. Отже, протягом цих же мільярдів років в атомах рухаються електрони, не потребуючи для свого руху надходження якоїсь енергії ззовні атома. Енергетична самодостатність атомів об'єктивно свідчить, що в атомах електрони рухаються без витрати енергії, отже, кожен атом об'єктивно є механічною системою перпетуум мобіле. Цим емпіричним фактом квантовомеханічні системи з нашого припущення стають об'єктивною реальністю: кожен атом, об'єктивно будучи перпетуум мобіле, обов'язково є квантовомеханічною системою, в якій кожна частинка здійснює рухи відповідно до рівняння (4). Тому для кожного електрона в атомі справедливе співвідношення
Зображення
а для ядра кожного атома – співвідношення
Зображення
6. З рівняння руху (5) випливає, що при зменшенні швидкості електрона до нуля протяжність циклічної події у просторі l зростає до нескінченності, тобто за швидкості електрона, що дорівнює нулю, рівняння (4), яке виражає фундаментальний закон природи, втрачає раціональний зміст. Але закони природи раціональні раціональністю буття, так що якщо в аналізі рівняння, яке виражає якийсь закон природи, з'являється ірраціональний зміст, то це свідчить про формальний підхід до аналізу, підхід, який не враховує дійсного фізичного змісту цього рівняння.
Не втрачаючи своєї закономірності, рівняння (5) зберігає раціональний зміст лише в тому випадку, якщо швидкість електрона, яка дорівнює нулю, є ознакою того, що відбулася циклічна подія. Але тоді ця ознака однозначно визначає і фізичний зміст самої події: електрон здійснив перехід по траєкторії l з положення a, в якому його імпульс дорівнював p=mv, у положення b, в якому його імпульс став дорівнювати нулю. Оскільки атом є системою перпетуум мобіле, то ця подія не може бути фінітною, а тому рівняння (5) однозначно визначає і повний цикл руху електрона – дією внутрішньосистемних сил електрон в атомі здійснює лінійні коливання з амплітудою, що дорівнює l.
Отже, рівняння (5) є рівнянням гармонічних коливань із кінцевих причин, особливість якого полягає в тому, що і в цьому рівнянні мають сенс не поточні значення швидкості електрона і пройденого ним шляху, а значення кінцеві. Фізично це означає, що якщо повна кінетична енергія осцилятора дорівнює , то амплітуда його коливань обов'язково визначається з рівняння (5).
7. З логіки рівняння (5) випливає також, що в квантовомеханічних системах атома природа взаємодій така, що збільшення імпульсу електрона, викликане дією тих чи інших зовнішніх сил, обов'язково призводить до відповідного “стиснення” траєкторії l, а зменшення імпульсу – до відповідного її “розтягнення”. З цього випливає, що сили, які здійснюють коливання електрона в атомі, електростатичними не є, оскільки не залежать від положення електрона в полі ядра. Ці сили залежать від швидкості руху електрона і величини його маси, отже, породжені вони якоюсь іншою фізичною реальністю атома, яка володіє квантовомеханічними властивостями взаємодії з частинками. Оскільки ми не знаємо природи цієї нової фізичної реальності, то назвемо її умовно пондеромоторним (від лат. pondus, род. в. ponderis – вага, тягар і motor – те, що приводить у рух) полем, а сили, якими це поле взаємодіє з частинками, назвемо пондеромоторними. Саме дією цих сил в атомі здійснюються коливання електрона, отже, дією цих сил відбувається перетворення кінетичної енергії електрона на пондеромоторну енергію поля і навпаки, що є необхідною умовою здійснення коливань електрона протягом вічності.
При цьому слід особливо підкреслити, що пондеромоторне поле атома не пов'язане безпосереднім відношенням спорідненості ні з ядром атома, ні з його електронами. Воно існує в атомі як певна самість, особлива форма матеріальності, що прошаровує потенціальне поле ядра.
8. Таким чином, пондеромоторне поле і електрон утворюють систему квантового лінійного гармонічного осцилятора. Оскільки природа діючих сил нам невідома, то для опису рухів електрона скористаємося кінематичним рівнянням лінійного гармонічного осцилятора, яке, як відомо, не залежить від діючих сил.
Кінематичне рівняння лінійного гармонічного осцилятора має вигляд
Не втрачаючи своєї закономірності, рівняння (5) зберігає раціональний зміст лише в тому випадку, якщо швидкість електрона, яка дорівнює нулю, є ознакою того, що відбулася циклічна подія. Але тоді ця ознака однозначно визначає і фізичний зміст самої події: електрон здійснив перехід по траєкторії l з положення a, в якому його імпульс дорівнював p=mv, у положення b, в якому його імпульс став дорівнювати нулю. Оскільки атом є системою перпетуум мобіле, то ця подія не може бути фінітною, а тому рівняння (5) однозначно визначає і повний цикл руху електрона – дією внутрішньосистемних сил електрон в атомі здійснює лінійні коливання з амплітудою, що дорівнює l.
Отже, рівняння (5) є рівнянням гармонічних коливань із кінцевих причин, особливість якого полягає в тому, що і в цьому рівнянні мають сенс не поточні значення швидкості електрона і пройденого ним шляху, а значення кінцеві. Фізично це означає, що якщо повна кінетична енергія осцилятора дорівнює , то амплітуда його коливань обов'язково визначається з рівняння (5).
7. З логіки рівняння (5) випливає також, що в квантовомеханічних системах атома природа взаємодій така, що збільшення імпульсу електрона, викликане дією тих чи інших зовнішніх сил, обов'язково призводить до відповідного “стиснення” траєкторії l, а зменшення імпульсу – до відповідного її “розтягнення”. З цього випливає, що сили, які здійснюють коливання електрона в атомі, електростатичними не є, оскільки не залежать від положення електрона в полі ядра. Ці сили залежать від швидкості руху електрона і величини його маси, отже, породжені вони якоюсь іншою фізичною реальністю атома, яка володіє квантовомеханічними властивостями взаємодії з частинками. Оскільки ми не знаємо природи цієї нової фізичної реальності, то назвемо її умовно пондеромоторним (від лат. pondus, род. в. ponderis – вага, тягар і motor – те, що приводить у рух) полем, а сили, якими це поле взаємодіє з частинками, назвемо пондеромоторними. Саме дією цих сил в атомі здійснюються коливання електрона, отже, дією цих сил відбувається перетворення кінетичної енергії електрона на пондеромоторну енергію поля і навпаки, що є необхідною умовою здійснення коливань електрона протягом вічності.
При цьому слід особливо підкреслити, що пондеромоторне поле атома не пов'язане безпосереднім відношенням спорідненості ні з ядром атома, ні з його електронами. Воно існує в атомі як певна самість, особлива форма матеріальності, що прошаровує потенціальне поле ядра.
8. Таким чином, пондеромоторне поле і електрон утворюють систему квантового лінійного гармонічного осцилятора. Оскільки природа діючих сил нам невідома, то для опису рухів електрона скористаємося кінематичним рівнянням лінійного гармонічного осцилятора, яке, як відомо, не залежить від діючих сил.
Кінематичне рівняння лінійного гармонічного осцилятора має вигляд
Зображення
Продиференціювавши (6) за часом і помноживши отриманий результат на масу осцилятора me, отримаємо імпульс гармонічного осцилятора
Зображення
У кожному положенні, що характеризується відхиленням q, осцилятор має певне значення імпульсу p. Щоб знайти p як функцію q, потрібно виключити час із рівнянь (6) і (8). Для цього подамо зазначені рівняння у вигляді:
Зображення
Координатну площину p, q прийнято називати фазовою площиною, а графік, що показує залежність імпульсу p від відхилення q – фазовою траєкторією. Відповідно до (9) фазова траєкторія гармонічного осцилятора являє собою еліпс, з піввісями A і mAω. Кожна точка фазової траєкторії зображає відхилення q і імпульс p, тобто стан осцилятора для певного моменту часу. З плином часу точка, що зображає стан, переміщається по фазовій траєкторії проти годинникової стрілки, здійснюючи за період коливання повний обхід. Тому коливання лінійного гармонічного осцилятора можна подати у вигляді “застиглої” одиночної хвилі імпульсу, довжина якої дорівнює
Зображення
Підкреслю, не електрон тут представляється “застиглою” хвилею, а коливання електрона представляються хвилею імпульсу у фазовій площині, що дозволяє більш наочно виразити деякі співвідношення коливального процесу.
Знайдемо площу еліпса. Площа еліпса S, як відомо, дорівнює добутку піввісей еліпса, помноженому на π:
Знайдемо площу еліпса. Площа еліпса S, як відомо, дорівнює добутку піввісей еліпса, помноженому на π:
Зображення
У рівнянні коливань, записаних методом обертового вектора амплітуди, вираз mA2ω20/2 є повною енергією осцилятора W, величина 2π/ω дорівнює 1/ν, отже, площа еліпса може бути подана у вигляді
Зображення
Таким чином, енергія гармонічного осцилятора пропорційна площі еліпса S, а коефіцієнтом пропорційності є власна частота осцилятора. Площа еліпса може бути обчислена також як контурний інтеграл
Зображення
У фазовій площині площа еліпса має розмірність дії. Згідно з екстремальним принципом Мопертюї, при русі механічної системи між двома її положеннями істинний, тобто фактично здійснюваний, її рух відрізнятиметься від усіх можливих рухів тим, що для нього значення дії S є найменшим:
Зображення
Але мінімальне значення дії S не означає нескінченно малого значення. Прийнявши, подібно до Планка,
S = h
отримаємо вираз повної енергії лінійного гармонічного осцилятора, який тепер вже є квантовим
S = h
отримаємо вираз повної енергії лінійного гармонічного осцилятора, який тепер вже є квантовим
Зображення
Підставивши в рівняння (7) значення A=l, значення ω , знайдене з рівняння (11), значення фази α, знайдене застосуванням рівняння (10),
Зображення
і враховуючи, що в квантовій механіці показник експоненти прийнято брати зі знаком мінус, отримаємо шукане рівняння квантового лінійного гармонічного осцилятора
Зображення
де Ψ ідентифікатор системи квантового осцилятора, в єдності пондеромоторного поля і електрона атома.
9. Розглянемо вплив електростатичного поля ядра на квантовий гармонічний осцилятор. Електростатичне поле безпосередньо на поле пондеромоторне не діє; його дія опосередкована кулонівськими силами. Кулонівські сили спадають за законом обернених квадратів, отже, дія їх нелінійно залежить від положення електрона в полі ядра, а тому квантовий осцилятор обов'язково стає негармонічним: амплітуда коливань електрона в напрямку ядра стає меншою за амплітуду коливань у напрямку, протилежному ядру.
Оскільки рухи електронів в атомі не доступні безпосередньому спостереженню і природа пондеромоторного поля нам невідома, то для виведення рівняння негармонічного квантового осцилятора скористаємося рівнянням руху електрона із закону збереження енергії.
З урахуванням пондеромоторного поля повна енергія електрона в електростатичному полі ядра атома дорівнює сумі його кінетичної та опосередкованої пондеромоторної енергій:
9. Розглянемо вплив електростатичного поля ядра на квантовий гармонічний осцилятор. Електростатичне поле безпосередньо на поле пондеромоторне не діє; його дія опосередкована кулонівськими силами. Кулонівські сили спадають за законом обернених квадратів, отже, дія їх нелінійно залежить від положення електрона в полі ядра, а тому квантовий осцилятор обов'язково стає негармонічним: амплітуда коливань електрона в напрямку ядра стає меншою за амплітуду коливань у напрямку, протилежному ядру.
Оскільки рухи електронів в атомі не доступні безпосередньому спостереженню і природа пондеромоторного поля нам невідома, то для виведення рівняння негармонічного квантового осцилятора скористаємося рівнянням руху електрона із закону збереження енергії.
З урахуванням пондеромоторного поля повна енергія електрона в електростатичному полі ядра атома дорівнює сумі його кінетичної та опосередкованої пондеромоторної енергій:
Зображення
Підставляючи в (14) значення енергії і імпульсу p2 = p2x + p2y + p2z з (16) і (17) відповідно, отримаємо шукане рівняння негармонічного квантового осцилятора
Зображення
де, як відомо:
– Ψ є певна хвильова функція, по суті, математична форма, стосовно якої можна щось доцільно мислити, але яка фізично не здійснена;
– U(x,y,z,t) лише потенціальна енергія електрона в полі ядра;
– відсутність множника 1/π2зумовлена тим, що при визначенні фази α Шредінгер використав хвилю де Бройля, довжина якої λ з одиночною хвилею імпульсу λp перебуває у співвідношенні: λ = λpπ/2.
Однак, попри ці відмінності, слід визнати з необхідністю, що основне рівняння квантової механіки є рівнянням квантового осцилятора, і саме цією обставиною зумовлена його “магічна” плідність у фізиці атома. Оскільки це рівняння не точне, то при його експериментальних перевірках доброго збігу розв'язків рівняння з результатами досліду досягають доцільними “фантазіями” щодо Ψ-функції та специфічних властивостей електронів в атомі.
– Ψ є певна хвильова функція, по суті, математична форма, стосовно якої можна щось доцільно мислити, але яка фізично не здійснена;
– U(x,y,z,t) лише потенціальна енергія електрона в полі ядра;
– відсутність множника 1/π2зумовлена тим, що при визначенні фази α Шредінгер використав хвилю де Бройля, довжина якої λ з одиночною хвилею імпульсу λp перебуває у співвідношенні: λ = λpπ/2.
Однак, попри ці відмінності, слід визнати з необхідністю, що основне рівняння квантової механіки є рівнянням квантового осцилятора, і саме цією обставиною зумовлена його “магічна” плідність у фізиці атома. Оскільки це рівняння не точне, то при його експериментальних перевірках доброго збігу розв'язків рівняння з результатами досліду досягають доцільними “фантазіями” щодо Ψ-функції та специфічних властивостей електронів в атомі.