Картина інтерференції від двох щілин

Розгляньмо ще раз питання, яке ми досить докладно обговорили раніше, у розд. 37 (вип. 3). Тепер ми використаємо ідею про амплітуду в усій її потужності, щоб показати вам, як вона працює. Повернемося до старого досліду, зображеного на фіг. 1.1, додавши до нього ще джерело світла й помістивши його за щілинами (пор. фіг. 37.4 розд. 37). У розд. 37 ми виявили такий примітний результат. Якщо ми заглядали за щілину 1 і помічали фотони, що розсіювалися десь за нею, то розподіл ймовірності того, що електрон потрапляв у x при одночасному спостереженні цих фотонів, був точнісінько такий самий, як якби щілина 2 була закрита. Сумарний розподіл для електронів, які були «помічені» або біля щілини 1, або біля щілини 2, був сумою окремих розподілів і зовсім не був схожий на розподіл, який виходив, коли світло бувало вимкненим. Принаймні так бувало, коли використовувалося світло з малою довжиною хвиль. Коли довжина хвилі починала зростати і в нас зникала впевненість у тому, біля якої зі щілин відбулося розсіяння світла, розподіл ставав схожим на той, який бував за вимкненого світла.
 
Подивімося тепер, що тут відбувається, використовуючи наші нові позначення і принципи композиції амплітуд. Щоб спростити запис, можна через φ₁ знову позначити амплітуду того, що електрон прийде в x через щілину 1, тобто

Подібним чином φ₂ позначатиме амплітуду того, що електрон досягне детектора через щілину 2:

Це — амплітуди проникнення електрона крізь щілину і появи в x, коли світла немає. А якщо світло увімкнене, поставимо собі питання: яка амплітуда процесу, в якому спочатку електрон виходить із s, а фотон випускається джерелом світла L, а наприкінці електрон опиняється в x, а фотон виявляється біля щілини 1? Припустімо, що ми за допомогою лічильника D₁ спостерігаємо фотон біля щілини 1 (фіг. 1.3), а такий самий лічильник D₂ рахує фотони, розсіяні біля щілини 2. Тоді можна говорити про амплітуду появи фотона в лічильнику D₁ і електрона в x і про амплітуду появи фотона в лічильнику D₂, а електрона в x. Спробуємо їх підрахувати.
 
Хоч ми й не маємо правильної математичної формули для всіх множників, що входять у цей розрахунок, але дух розрахунку ви відчуєте з таких міркувань. По-перше, є амплітуда <1 | s> того, що електрон доходить від джерела до щілини 1. Далі можна припустити, що є скінченна амплітуда того, що, коли електрон перебуває біля щілини 1, він розсіює фотон у лічильник D₁. Позначимо цю амплітуду через a. Далі є амплітуда <x | 1> того, що електрон переходить від щілини 1 до електронного лічильника в x. Амплітуда того, що електрон перейде від s до x через щілину 1 і розсіє фотон у лічильник D₁, тоді дорівнює

Або в наших попередніх позначеннях це просто aφ₁.
 
Є також деяка амплітуда того, що електрон, проходячи крізь щілину 2, розсіє фотон у лічильник D₁.  Ви скажете: «Це неможливо; як він може розсіятися в лічильник D₁, якщо той дивиться прямо в щілину 1?» Якщо довжина хвилі достатньо велика, з'являються дифракційні ефекти, і це стає можливим. Звісно, якщо прилад буде зібрано добре і якщо використовуються лише фотони з короткою довжиною хвилі, то амплітуда того, що фотон розсіється в лічильник D₁ від електрона в щілині 2, стане дуже малою. Але заради загальності міркування ми врахуємо той факт, що така амплітуда завжди є, і позначимо її через b. Тоді амплітуда того, що електрон проходить через щілину 2 і розсіює фотон у лічильник D₁, є

Амплітуда виявлення електрона в x і фотона в лічильнику D₁ є сумою двох доданків, по одному для кожного мислимого шляху електрона. Кожен з них, своєю чергою, складений з двох множників: першого, що виражає, що електрон пройшов крізь щілину, і другого — що фотон розсіяний таким електроном у лічильник D₁; маємо

Аналогічний вираз можна отримати і для випадку, коли фотон буде виявлено іншим лічильником D₂ . Якщо допустити для простоти, що система симетрична, то a буде також амплітудою потрапляння фотона в лічильник D₂, коли електрон проскакує через щілину 2, а b — амплітудою потрапляння фотона в лічильник D₂, коли електрон проходить через щілину 1. Відповідна повна амплітуда — амплітуда того, що фотон опиниться в лічильнику D₂, а електрон у x,— дорівнює

Ось і все. Тепер ми легко можемо розрахувати ймовірність тих чи інших випадків. Скажімо, ми хочемо знати, з якою ймовірністю будуть виходити відліки в лічильнику D₁ при попаданні електрона в x. Це буде квадрат модуля амплітуди, що дається формулою (1.8), тобто просто | aφ₁ + bφ₂ |². Придивімося до цього виразу уважніше. Перш за все, якщо b = 0 (ми хотіли б, щоб наш прилад працював саме так), відповідь просто дорівнює | φ₁|² з множником | а |². Це якраз той розподіл ймовірностей, який вийшов би за наявності лише однієї щілини, як показано на фіг. 1.4, а. З іншого боку, якщо довжина хвилі велика, розсіяння за щілиною 2 в лічильник D₁ може стати майже таким самим, як за щілиною 1. Хоча в а і b можуть входити якісь фази, візьмемо найпростіший випадок, коли обидві фази однакові. Якщо a практично збігається з b, то повна ймовірність перетворюється на | φ₁ + φ₂ |², помножене на | a |², тому що спільний множник a можна винести. Але тоді виходить той самий розподіл ймовірностей, який вийшов би, якби фотонів узагалі не було. Отже, коли довжина хвилі дуже велика (і детектувати фотони марно), ви повертаєтеся до первісної кривої розподілу, на якій видно інтерференційні ефекти, як показано на фіг. 1.4,б. Коли ж детектування частково все ж таки виявляється ефективним, виникає інтерференція між великою кількістю φ₁ і малою кількістю φ₂, і ви отримуєте проміжний розподіл, такий, який намічено на фіг. 1.4,в. Само собою зрозуміло, якщо нас зацікавлять одночасні відліки фотонів у лічильнику D₂ і електронів у x, то ми отримаємо той самий результат. Якщо ви пригадаєте міркування розд. 37 (вип. 3), то побачите, що ці результати кількісно описують те, що було сказано там.
 
Нам хотілося б підкреслити дуже важливу обставину і застерегти від часто допущеної помилки. Нехай вас цікавить тільки амплітуда того, що електрон потрапляє в x, причому вам байдуже, в який лічильник потрапив фотон — у D₁ чи в D₂. Чи повинні ви додавати амплітуди (1.8) і (1.9)? Ні! Ніколи не додавайте амплітуди різних, відмінних одне від одного кінцевих станів. Щойно фотон був сприйнятий одним із фотонних лічильників, ми завжди, якщо треба, можемо дізнатися, не збурюючи більше систему, яка з альтернатив (взаємовиключних подій) реалізувалася. У кожної альтернативи є своя ймовірність, цілком незалежна від іншої. Повторюємо, не додавайте амплітуд для різних кінцевих умов (під «кінцевим» ми розуміємо той момент, коли нас цікавить ймовірність, тобто коли дослід «закінчено»). Натомість треба додавати амплітуди для різних нерозрізнюваних альтернатив у ході самого досліду, перш ніж цілком закінчиться процес. У кінці процесу ви можете, якщо хочете, сказати, що ви «не бажаєте дивитися на фотон». Це ваша особиста справа, але все ж амплітуди додавати не можна. Природа не знає, на що ви дивитеся, на що ні, вона поводиться так, як їй належить, і їй байдуже, чи цікавлять вас її дані, чи ні. Тож ми не повинні додавати амплітуди. Ми спершу підносимо до квадрата модулі амплітуд для всіх можливих різних кінцевих станів, а вже потім додаємо. Правильний результат для електрона в x і фотона чи то в D₁, чи то в D₂ такий: