Розсіяння на кристалі

Наступний приклад — це явище, в якому інтерференцію амплітуд ймовірності слід проаналізувати ретельніше. Йдеться про процес розсіяння нейтронів на кристалі. Нехай маємо кристал, у якому багато атомів, а в центрі кожного атома — ядро; ядра розташовані періодично, і звідкись здалеку на них налітає пучок нейтронів. Різні ядра в кристалі можна пронумерувати індексом i, де i пробігає цілі значення 1, 2, 3, ... , N, а N дорівнює загальному числу атомів. Задача полягає в тому, щоб підрахувати ймовірність того, що нейтрон опиниться в лічильнику, зображеному на фіг. 1.5. Для кожного окремого атома i амплітуда того, що нейтрон досягне лічильника С, дорівнює амплітуді того, що нейтрон із джерела S потрапить у ядро i, помноженій на амплітуду a розсіяння в цьому місці і помноженій на амплітуду того, що він з i потрапить у лічильник C. Запишемо це:

Записавши це, ми припустили, що амплітуда розсіяння a — одна й та сама для всіх атомів. Тут у нас є безліч, судячи з усього, нерозрізнюваних шляхів. Вони нерозрізнювані через те, що нейтрон з невеликою енергією розсіюється на ядрі, не вибиваючи при цьому самого атома з його місця в кристалі — жодної «позначки» про розсіяння не залишається. Згідно з нашими попередніми міркуваннями, повна амплітуда того, що нейтрон потрапив у C, включає в себе суму виразу (1.11) за всіма атомами:

Через те, що додаються амплітуди розсіяння на атомах, по-різному розташованих у просторі, амплітуди матимуть різні фази, і це дасть характерну інтерференційну картину, яку ми вже аналізували на прикладі розсіяння світла на ґратці.
Інтенсивність нейтронів як функція кута в подібному досліді дійсно часто виявляє найсильніші зміни - дуже гострі інтерференційні піки, між якими нічого немає (фіг. 1.6, a). Однак у деяких сортах кристалів цього не трапляється, у них поряд зі згаданими вище дифракційними піками є загальний фон від розсіяння в усіх напрямках. Ми повинні спробувати зрозуміти настільки таємничу на вигляд причину цього. Річ у тім, що ми не врахували однієї важливої властивості нейтрона. Його спін дорівнює ¹/₂, і тим самим він може перебувати у двох станах: або його спін спрямований угору (скажімо, впоперек сторінки на фіг. 1.5), або вниз. І якщо в ядер самого кристала спіну немає, то спін нейтрона жодної дії не справить. Але коли і в ядер кристала є спін, що дорівнює, скажімо, теж ¹/₂, то ви помітите фон від описаного вище розмазаного розсіяння. Пояснення полягає в такому.
 
Якщо спін нейтрона кудись спрямований і спін атомного ядра спрямований туди ж, то в процесі розсіяння напрямок спіну не змінюється. Якщо ж спіни нейтрона й атомного ядра спрямовані в протилежні боки, то розсіяння може відбуватися за допомогою двох процесів, в одному з яких напрямки не змінюються, а в іншому відбувається обмін напрямками. Це правило про те, що сума спінів не повинна змінюватися, аналогічне нашому класичному закону збереження моменту кількості руху. І ми вже зможемо зрозуміти явище, яке нас цікавить, якщо припустимо, що всі ядра, на яких відбувається розсіяння, мають один і той самий напрямок спіну. Нейтрон з тим самим напрямком спіну тоді розсіється так, що вийде очікуваний вузький інтерференційний розподіл. А що буде з нейтроном з протилежним напрямком спіну? Якщо він розсіюється без перевороту напрямку спіну, то нічого порівняно зі сказаним не змінюється; але якщо при розсіянні обидва спіни перевертаються, то, взагалі кажучи, можна вказати, на якому з ядер відбулося розсіяння, тому що саме в цього ядра спін перевернувся. Але якщо ми в змозі вказати, на якому атомі трапилося розсіяння, то до чого тут інші атоми? Ні до чого, звісно. Розсіяння тут таке саме, як від окремого атома.
 
Щоб урахувати цей ефект, треба видозмінити математичне формулювання рівняння (1.12), тому що в тому аналізі стани не були охарактеризовані повністю. Нехай спочатку у всіх нейтронів, що вилітають з джерела, спін спрямований угору, а в усіх ядер кристала — вниз. По-перше, нам потрібна амплітуда того, що в лічильнику нейтронів їхній спін виявиться спрямованим угору і всі спіни в кристалі будуть, як і раніше, дивитися вниз. Це нічим не відрізняється від наших попередніх міркувань. Позначимо через a амплітуду розсіяння без перевороту спіну. Амплітуда розсіяння від i-го атома, звісно, дорівнює

Оскільки всі спіни атомів спрямовані вниз, різні альтернативи (різні значення i) не можна відрізнити одну від одної. У цьому процесі всі амплітуди інтерферують.
 
Але є й інший випадок, коли спін нейтрона, що детектується, дивиться вниз, хоча спочатку, в S, він дивився вгору. Тоді в кристалі один зі спінів повинен перевернутися вгору, скажімо спін k-го атома. Припустімо, що в усіх атомів амплітуда розсіяння з переворотом спіну одна й та сама і дорівнює b. (У реальному кристалі є ще одна неприємна можливість: перевернутий спін переходить до якогось іншого атома, але припустімо, що в нашому кристалі ймовірність цього мала.) Тоді амплітуда розсіяння дорівнює

Якщо ми запитаємо тепер, яка ймовірність того, що в нейтрона спін виявиться спрямованим вниз, а в k-го ядра — вгору, то вона дорівнюватиме квадрату модуля цієї амплітуди, тобто просто |b|², помноженому на | <С | k> <k | S > |². Другий множник майже не залежить від того, де атом k розташований у кристалі, і всі фази при обчисленні квадрата модуля зникають. Ймовірність розсіяння на будь-якому ядрі кристала з переворотом спіну, отже, дорівнює

що дає гладкий розподіл, як на фіг. 1.6, б.
 
Ви можете заперечити: «А мені байдуже, який атом перевернувся. Нехай так, але природа ж це знає, і ймовірність насправді виходить такою, як написано вище,— жодної інтерференції не залишається. А от якщо вас зацікавить ймовірність того, що спін у детекторі буде спрямований угору, а спіни всіх атомів — як і раніше вниз, то вам доведеться взяти квадрат модуля суми:

Оскільки в кожного доданка в цій сумі є своя фаза, то вони інтерферують і з'являється різка інтерференційна картина. І якщо ми проводимо експеримент, у якому ми не спостерігаємо спін нейтрона, що детектується, то можуть відбутися події обох типів і складуться окремі ймовірності. Повна ймовірність (або швидкість рахунку) як функція кута тоді виглядає подібно до кривої на фіг. 1.6, в.
 
Погляньмо ще раз на фізику цього досліду. Якщо ви здатні в принципі розрізнити взаємовиключні кінцеві стани (хоча ви й не збиралися насправді цього робити), то повна кінцева ймовірність виходить підрахунком ймовірності кожного стану (а не амплітуди) і подальшим їх додаванням. А якщо ви нездатні навіть у принципі розрізнити кінцеві стани, тоді треба спершу скласти амплітуди ймовірностей, а вже потім обчислювати квадрат модуля і знаходити саму ймовірність. Зауважте особливо, що якби ви спробували уявити нейтрон у вигляді окремої хвилі, то отримали б один і той самий розподіл і для розсіяння нейтронів, що обертаються спіном вниз, і для нейтронів, що обертаються спіном вгору. Ви мали б сказати, що «хвиля» нейтронів зі спіном, спрямованим вниз, прийшла від усіх різних атомів і інтерферує так само, як це робить однакова за довжиною хвиля нейтронів зі спіном, спрямованим угору. Але ми знаємо, що насправді це не так. Тож (ми вже це зазначали) треба бути обережним і не уявляти собі надто реально хвилі в просторі. Вони корисні для деяких задач. Але не для всіх.