Середні енергії

Дотепер ми здебільшого нагадували вам про те, що ви вже знаєте. А тепер перейдемо до нового. Як би ви підрахували середню енергію системи, скажімо, атома? Якщо атом перебуває у визначеному стані з визначеною енергією і ви цю енергію вимірюєте, ви отримаєте визначену енергію E. Якщо ви почнете повторювати вимірювання з кожним із безлічі атомів, відібраних так, щоб усі були в однаковому стані, то всі вимірювання дадуть вам E, і «середнє» з усіх ваших вимірювань теж, звісно, виявиться E.
 
Але що станеться, якщо ви проведете свої вимірювання над станом |ψ>, який не є стаціонарним? Оскільки система не має визначеної енергії, одне вимірювання дасть одну енергію, те саме вимірювання над іншим атомом у тому самому стані дасть іншу і т. д. Яким же виявиться середнє всієї серії вимірювань енергії?
 
На це запитання ми відповімо, якщо візьмемо проекцію стану |ψ> на систему станів з визначеною енергією. Щоб пам'ятати, що це особливий базис, позначатимемо ці стани |η_i>. Кожен із станів |η_i> має визначену енергію E_i. У цьому представленні

Коли ви проводите вимірювання енергії і отримуєте якесь число E_i, ви тим самим виявляєте, що система була в стані |η_i>. Але в кожному новому вимірюванні ви можете отримати нове число. Іноді ви отримаєте Е₁ іноді Е₂, іноді E₃ і т. д. Ймовірність, що ви виявите енергію E₁, дорівнює просто ймовірності виявити систему в стані |η₁>, тобто квадрату модуля амплітуди C₁=<η₁|ψ>. Ймовірність виявити те чи інше можливе значення енергії E_i є

Як же зв'язати ці ймовірності із середнім значенням усієї послідовності вимірювань енергій? Уявімо, що ми отримали ряд результатів вимірювань, наприклад E₁, E₇, E₁₁, Е₉, E₁, Е₁₀, Е₇, Е₂, Е₃, Е₉, Е₆, E₄ і т. д., всього тисяча вимірювань. Складемо всі енергії й поділимо на 1000. Це і є середнє. Можна додавання зробити й коротше. Порахуйте, скільки разів у вас вийшло E₁ (скажімо, воно вийшло N₁ разів), скільки разів вийшло Е₂ (скажімо, N₂ разів) і т. д. Ясно, що сума всіх енергій дорівнює

Середня енергія дорівнює цій сумі, поділеній на повне число вимірювань, тобто на суму всіх  N_i, яку ми позначимо N:

Ми майже біля мети. Під ймовірністю якоїсь події ми розуміємо якраз число випадків, коли очікується настання цієї події, поділене на загальне число випробувань. Відношення N_i /N має (при великих N) мало відрізнятися від P_i— ймовірності виявити стан |η_i>, хоч і не збігатиметься точно з P_i через статистичні флуктуації. Позначимо передбачувану (або «очікувану») середню енергію <E>_ср; тоді ми маємо право сказати

Ті самі міркування підійдуть до вимірювань яких завгодно величин. Середнє значення вимірюваної величини A має дорівнювати

де А_i—різні допустимі значення  спостережуваної величини, а Р_i — ймовірність отримання цього значення.
 
Повернімося тепер до нашого  квантовомеханічного стану | ψ>. Його середня енергія дорівнює

А тепер стежте уважно! Спершу перепишемо цю суму так:

Тепер розглядатимемо ліве <ψ | як спільний множник. Винесемо його за знак суми й напишемо

Цей вираз  має вигляд <ψ|φ>, де   |φ> — якийсь  «придуманий» стан, що визначається рівністю

Іншими словами, це той стан, який у вас вийде, якщо ви візьмете кожен базисний стан |η_i> у кількості
E_i <η_i I ψ>.
 
Але згадаймо тепер, що таке |η_i>.  Стани |η_i> вважаються стаціонарними, тобто для кожного з них

А оскільки Е_i—просто число, права частина збігається з | η_i> E_i а сума в (18.16) — з

Тепер доводиться просумувати за i загальновідому комбінацію, яка приводить до одиниці:

Чудово, рівняння (18.16) збіглося з

Середня енергія  стану |ψ> записується,  отже, у дуже привабливому вигляді

Щоб отримати середню енергію, подійте на |ψ> оператором H і потім помножте на <ψ|. Дуже простий результат. Наша нова формула для середньої енергії не тільки приваблива, а й корисна. Тепер нам уже не треба нічого говорити про особливу систему базисних станів. І навіть усіх рівнів енергії знати не потрібно. При розрахунку достатньо виразити наш стан через яку завгодно сукупність базисних станів, і, якщо ми знаємо гамільтонову матрицю H_ij для цієї сукупності, ми вже зможемо дізнатися середню енергію. Рівняння (18.18) говорить, що при будь-якій сукупності базисних станів |i> середню енергію можна обчислити з

де амплітуди <i | H | j> якраз і є елементи матриці H_ij.
 
Перевіримо це на тому окремому прикладі, коли стани | i> є станами з визначеною енергією. Для них H |j> = E_j|j>, так що <i | H | j> = E_jδ_ij і

що цілком природно.
 
Рівняння (18.19), до речі, можна узагальнити і на інші фізичні вимірювання, які ви здатні виразити у вигляді оператора. Наприклад, нехай L_z є оператором z-компоненти моменту кількості руху L. Середня z-компонента для стану |ψ> дорівнює

Один зі способів довести цю формулу — придумати таку задачу, в якій енергія пропорційна моменту кількості руху. Тоді всі міркування просто повторяться. Підсумовуючи, скажемо, що якщо фізично спостережувана величина A пов'язана з відповідним квантовомеханічним оператором A, то середнє значення A в стані |ψ> дається формулою