Оператор імпульсу. Оператори. Фейнманівські лекції з фізики

Фейнманівські лекції з фізики

Тепер ми хочемо розрахувати середній імпульс електрона, знову почавши з одновимірного випадку. Нехай Р(p) dp — ймовірність того, що вимірювання приведе до імпульсу в інтервалі між p і p+dp. Тоді

Позначимо тепер через <p |ψ> амплітуду того, що стан | ψ> є стан з визначеним імпульсом | p>. Це та сама амплітуда, яку в розд. 14, § 3, ми позначали <імп. p | ψ>; вона є функцією від p, як <x | ψ> є функцією від x. Потім ми виберемо таке нормування амплітуди, щоб було

що дуже схоже на те, що ми мали для <x>_ср.

Якщо бажаєте, можна продовжити ту саму гру, якій ми віддавалися з <x>_ср. По-перше, цей інтеграл можна записати так:

Тепер ви повинні впізнати в цьому рівнянні розклад амплітуди <ψ|β> — розклад за базисними станами з визначеним імпульсом. З (18.45) випливає, що стан | β> визначається в імпульсному представленні рівнянням

Іншими словами, тепер можна писати

де оператор p визначається мовою р-представлення рівнянням (18.47).
[
І знову, якщо бажаєте, можна показати, що матричний запис p такий:

Виводиться це так само, як і для x.]
Тепер виникає цікаве питання. Ми можемо написати <р>_ср так, як ми це зробили в (18.45) і (18.48); зміст оператора p в імпульсному представленні нам теж відомий. Але як витлумачити p в координатному представленні? Це буває потрібно знати, якщо у нас є хвильова функція ψ(x) і ми збираємося обчислити її середній імпульс. Дозвольте пояснити чіткіше, що мається на увазі. Якщо ми почнемо з того, що задамо <p>_cр рівнянням (18.48), то це рівняння можна буде розкласти за p-представленням і повернутися до (18.45). Якщо нам задано p-представлення стану, а саме амплітуду <р|ψ> як алгебраїчну функцію імпульсу p, то з (18.47) можна одержати <p|β> і продовжити обчислення інтеграла. Питання тепер таке: а що робити, якщо нам задано опис стану в х-представленні, а саме хвильова функція ψ(x) = <x|ψ>?

Ну що ж, почнемо розкладати (18.48) у x-представленні. Напишемо

Але тепер треба знати інше: як виглядає стан |β> у x-представленні. Якщо ми дізнаємося це, ми зможемо взяти інтеграл. Отже, наше завдання — знайти функцію β(x)=<x|β>. Її можна знайти таким чином. Ми бачили в розд. 14, § 3, як <р|β> пов'язано з <x|β>. Згідно з рівнянням (14.24),

Якщо нам відомо <р|β>, то, розв'язавши це рівняння, ми знайдемо <x|β>. Але результат, звісно, слід було б якось виразити через ψ(x)=<x|ψ>, тому що вважається, що саме ця величина нам відома. Виходитимемо тепер із (18.47) і, знову застосувавши (14.24), напишемо

Інтеграл береться за x, тому p можна внести під інтеграл

Тепер порівняємо це з (18.53). Може, ви подумали, що <x|β> дорівнює pψ(x)? Ні, даремно! Хвильова функція <x|β> = β(x) може залежати тільки від x, але не від p. У цьому й уся трудність.

На щастя, хтось помітив, що інтеграл у (18.55) можна проінтегрувати частинами. Похідна e^–^ipx^/^h за x дорівнює (—i/h)^–^ipx^/^h , тому інтеграл (18.55) це все одно, що

Якщо це проінтегрувати частинами, воно перетвориться на

Поки йдеться тільки про зв'язані стани, ψ (x) прямує до нуля при x→-± ∞, дужка дорівнює нулю і ми маємо

А ось тепер порівняємо цей результат з (18.53). Ви бачите, що

Усе необхідне, щоб взяти інтеграл у (18.52), у нас уже є. Остаточна відповідь така:

Ми дізналися, як виглядає (18.48) у координатному представленні. Перед нами поступово починає вимальовуватися цікава картина. Коли ми поставили питання про середню енергію стану |ψ>, то відповідь була така:

Те саме в координатному світі записується так:

Тут H — алгебраїчний оператор, який діє на функцію від x.

Коли ми поставили питання про середнє значення x, то теж виявили, що відповідь має вигляд

У координатному світі відповідні рівняння такі:

Коли ми поставили питання про середнє значення p, то відповідь виявилася

У координатному світі еквівалентні рівняння мали б вигляд

У всіх наших трьох прикладах ми виходили зі стану |ψ> і створювали новий (гіпотетичний) стан за допомогою квантовомеханічного оператора. У координатному представленні ми генеруємо відповідну хвильову функцію, діючи на хвильову функцію ψ(x) алгебраїчним оператором. Можна говорити про взаємно однозначну відповідність (для одновимірних задач) між

У цьому переліку ми ввели новий символ Ρ_x для алгебраїчного оператора (h/i)∂/∂x:

і поставили під P значок x, щоб нагадати, що маємо поки справу лише з однією x-компонентою імпульсу.

Цей результат легко узагальнюється на три виміри. Для інших компонент імпульсу

При бажанні можна навіть говорити про оператор вектора імпульсу і писати

де е_x, е_y і е_z — одиничні вектори в трьох напрямках. Можна записати це і ще вишуканіше:

Остаточний висновок наш такий: принаймні для деяких квантовомеханічних операторів існують відповідні їм алгебраїчні оператори в координатному представленні. Усе, що ми досі вивели (з урахуванням тривимірності світу), підсумовано в табл. 18.1. Кожен оператор може бути представлений у двох рівноцінних видах:

або

або

Тепер ми дамо кілька ілюстрацій застосування цих ідей. Для початку виявимо зв'язок між P і H. Якщо застосувати P_x двічі, отримаємо

Це означає, що можна написати рівність

Або, у векторних позначеннях,

(Члени в алгебраїчному операторі, над якими немає символу оператора ˆ, означають просте множення.) Це рівняння дуже приємне, тому що його легко запам'ятати, якщо ви ще не забули курс класичної фізики. Добре відомо, що енергія (нерелятивістська) складається з кінетичної енергії р²/2m плюс потенціальна, а у нас H — теж оператор повної енергії. Цей результат справив на деяких діячів таке сильне враження, що вони почали прагнути будь-що вбити студенту в голову всю класичну фізику, перш ніж перейти до квантової. (Ми думаємо інакше!) Паралелі дуже часто оманливі. Якщо у вас є оператори, то важливий порядок різних множників, а в класичному рівнянні він байдужий.

У розд. 15 ми визначили оператор р_x через оператор зміщення D_x [див. формулу (15.27)]:

де δ — мале зміщення. Ми повинні показати, що це еквівалентно нашому новому визначенню. Відповідно до того, що ми щойно довели, це рівняння повинне означати те саме, що й

Але в правій частині стоїть просто розклад ψ(x + δ) у ряд Тейлора, а ψ(x + δ)— те, що вийде, якщо зсунути стан ліворуч на δ (або зсунути на стільки ж праворуч систему координат). Обидва наші визначення p узгоджуються!

Скористаємося цим, щоб довести ще дещо. Нехай у нас у якійсь складній системі є безліч частинок, яким ми присвоїмо номери 1, 2, 3, .... (Для простоти зупинимося на одновимірному випадку.) Хвильова функція, що описує стан, є функцією всіх координат х₁, х₂, х₃,... . Запишемо її у вигляді ψ (x₁, х₂, x₃, ...). Зсунемо тепер систему (ліворуч) на δ. Нова хвильова функція

Згідно з рівнянням (18.65), оператор імпульсу стану |ψ > (назвемо його повним імпульсом) дорівнює

Оператори імпульсу підпорядковуються тому правилу, що повний імпульс є сума імпульсів окремих частин. Тут, як бачите, усе дивовижним чином переплетено і різні речі взаємно узгоджуються.