Зміна середніх у часі

Тепер ми ознайомимо вас із ще однією цікавою річчю: ви дізнаєтеся, як середні змінюються в часі. Уявімо на хвилинку, що у нас є оператор A, у який час явним чином не входить. Мається на увазі такий оператор, як x або p. [Виключаються, скажімо, такі речі, як оператор зовнішнього потенціалу V(x, t), що змінюється в часі.] Тепер уявімо, що ми обчислили <A>_ср у якомусь стані |ψ>, тобто

Як <A>_ср залежатиме від часу? Але чому воно взагалі може залежати від часу? Ну, по-перше, може статися, що оператор сам явно залежить від часу, наприклад, якщо він був пов'язаний зі змінним потенціалом типу V(x, t). Але навіть якщо оператор від t не залежить, наприклад оператор A=x, то відповідне середнє може залежати від часу. Адже середнє положення частинки може переміщуватися. Але як може такий рух вийти з (18.76), якщо A від часу не залежить? Річ у тім, що в часі може змінюватися сам стан |ψ>. Для нестаціонарних станів ми часто навіть явно відзначали залежність від часу, записуючи їх як |ψ(t)>. Тепер ми хочемо  показати, що   швидкість зміни <A>_ср дається новим оператором, який ми позначимо A. Нагадаємо, що A це оператор, тож крапка над A зовсім не означає диференціювання за часом, а є просто способом запису нового оператора A, що визначається рівністю

Нашим завданням буде знайти оператор A.
 
Перш  за все, нам  відомо, що швидкість зміни стану дається гамільтоніаном.  Зокрема,

Це всього-на-всього абстрактна форма запису  нашого первісного визначення гамільтоніана

Якщо ми візьмемо комплексно спряжене цього рівняння, воно буде еквівалентним

Подивимося тепер, що станеться, якщо ми продиференціюємо (18.76)  за t. Оскільки кожне  ψ  залежить від t, ми маємо

Нарешті,  замінюючи похідні їхніми виразами  (18.78) і (18.80), отримуємо

а це те саме, що написати

Порівнюючи це рівняння з (18.77), ми бачимо, що

Це і є те цікаве співвідношення, яке ми обіцяли; і воно справедливе для будь-якого оператора A.
 
До речі, зазначимо, що якби оператор A сам залежав від часу, ми б отримали

Перевіримо (18.82) на якомусь прикладі, щоб подивитися, чи має воно взагалі сенс. Який, наприклад, оператор відповідає x? Ми стверджуємо, що це повинно бути

Що це таке? Один спосіб встановити, що це таке — перейти в координатне представлення і скористатися алгебраїчним оператором H. У цьому представленні комутатор дорівнює

Якщо ви подієте всім цим виразом на хвильову функцію ψ(x) і обчислите всюди, де потрібно, похідні, ви врешті-решт отримаєте

або що

Чудовий результат. Він означає, що якщо середнє значення x змінюється з часом, то переміщення центру ваги дорівнює середньому імпульсу, поділеному на масу m. Точно як у класичній механіці.
 
Інший приклад. Якою є швидкість зміни середнього імпульсу стану? Правила гри ті самі. Оператор цієї швидкості дорівнює

Знову все можна підрахувати в x-представленні. Нагадаємо, що p перетворюється на d/dx, а це означає, що вам доведеться диференціювати потенціальну енергію V (в H), але тільки в другому доданку. Врешті-решт залишається тільки один член, і ви отримуєте

Знову класичний результат. Справа стоїть сила, тож ми вивели закон Ньютона! Але пам'ятайте — це закони для операторів, які дають середні величини. Вони не описують детально, що відбувається всередині атома.
 
Істотна відмінність квантової механіки в тому, що рх не дорівнює хр. Вони відрізняються на найменшу дещицю — на мале число h. Але всі дивовижні складнощі інтерференції хвиль і тому подібного випливають з того невеликого факту, що хр—рх не зовсім нуль.
 
Історія цієї ідеї теж цікава. З різницею в кілька місяців у 1926 р. Гайзенберг і Шредінгер незалежно відшукали правильні закони, що описують атомну механіку. Шредінгер винайшов свою хвильову функцію ψ (x) і знайшов рівняння для неї, а Гайзенберг виявив, що природу можна було б описувати й класичними рівняннями, аби тільки хр—рх дорівнювало h/i, чого можна було досягти, визначивши їх за допомогою особливого виду матриць. Нашою теперішньою мовою він користувався енергетичним представленням і його матрицями. І те й інше — і матрична алгебра Гайзенберга, і диференціальне рівняння Шредінгера — пояснювали атом водню. Кількома місяцями пізніше Шредінгер зміг показати, що обидві теорії еквівалентні — ми щойно це бачили. Але дві різні математичні форми квантової механіки були відкриті незалежно.