11.1. Розглянемо нескінченний ланцюжок атомів, розташованих один від одного на рівних відстанях b (координата атома n дорівнює x =bn), і припустимо, що електрон може перебувати на кожному з атомів у двох станах i та j з різними енергіями Еi і Ej, тобто набір базисних станів можна записати так:
| електрон на атомі хn у стані i> = |xn, i>,
| електрон на атомі хn у стані j> = |xn, j>.
Припустимо далі, що електрон може перестрибувати зі свого атома на найближчий сусідній з амплітудами:
| електрон на атомі хn у стані i> = |xn, i>,
| електрон на атомі хn у стані j> = |xn, j>.
Припустимо далі, що електрон може перестрибувати зі свого атома на найближчий сусідній з амплітудами:
Зображення
Розглянемо випадок, коли Aij=Aji=B і Ajj=Aii=A. За допомогою процедури, описаної в розд. 11 «Лекцій», знайдіть допустимі значення енергії такої системи. Опишіть зонну структуру в граничних випадках |Ei—Ej| << 2В і |Ei—Ej| >> 2B. Порівняйте свою відповідь з розв'язком, знайденим у розд. 11.
11. 2. Розглянемо нескінченний ланцюжок, що складається з атомів двох типів a і b:
11. 2. Розглянемо нескінченний ланцюжок, що складається з атомів двох типів a і b:
Зображення
Нехай амплітуда виявлення електрона на n-му атомі типу a буде Сan, а на n-му атомі типу b — буде Сbn. Припустимо, що енергія електрона в атомі a дорівнює Е0+ ΔЕ, а в атомі b дорівнює Е0– ΔЕ; допустімо ще, що матричний елемент гамільтоніана для переходу між найближчими сусідами дорівнює —A. Відстань між атомами дорівнює с. Розрахуйте й наближено накресліть графік залежності енергії стаціонарного стану від хвильового числа k. (Для кожного заданого значення k вийдуть два значення енергії.) Які обмеження слід накласти на значення k, щоб урахувати кожний стан рівно один раз?
11.3. Розглянемо розсіяння на домішці (див. приклад, наведений у розд. 11, вип. 9). Нехай атом під номером n=0 відрізняється від усіх інших. Покладемо H00=E0, H01=H10=H0(–1)=H(–1)0=–В, де B≠A. Знайдіть β і γ та переконайтеся, що | β |2+ | γ |2= 1.
11.4. У попередній задачі, як і в прикладі, наведеному в розд. 11 (вип. 9), β=γ—1. Легко також перевірити, що в будь-якому загальнішому випадку, який є комбінацією цих двох, рівність β=γ—1 теж справедлива.
Отже, в загальному випадку одновимірного розсіяння існує «закон збереження числа частинок»
11.3. Розглянемо розсіяння на домішці (див. приклад, наведений у розд. 11, вип. 9). Нехай атом під номером n=0 відрізняється від усіх інших. Покладемо H00=E0, H01=H10=H0(–1)=H(–1)0=–В, де B≠A. Знайдіть β і γ та переконайтеся, що | β |2+ | γ |2= 1.
11.4. У попередній задачі, як і в прикладі, наведеному в розд. 11 (вип. 9), β=γ—1. Легко також перевірити, що в будь-якому загальнішому випадку, який є комбінацією цих двох, рівність β=γ—1 теж справедлива.
Отже, в загальному випадку одновимірного розсіяння існує «закон збереження числа частинок»
Зображення
а) Покажіть, що для його виконання необхідно, щоб
Зображення
б) Покажіть, що β можна записати так:
Зображення
де η — дійсне число. Величина η називається «зсувом фази при розсіянні» і містить інформацію як про фазу, так і про амплітуду розсіяної хвилі. (Це твердження в тривимірному випадку справедливе так само, як і в одновимірному.)
11.5. Розглянемо одновимірний аналог поверхні поділу, де нескінченний кристал зазнає зміни своїх властивостей. Нехай частинка падає зліва, як у розд. 11. Нехай в області I значення параметрів дорівнюють Е0, —А, b, а в області II дорівнюють Е′0, —A′, b′. Аналог амплітуд A і A′ для атомів, розташованих по обидва боки лінії поділу, позначимо літерою B. Припустимо, що A, A′ і B — дійсні числа.
а) Покажіть, що γ=B/A′ (1+β) у розриві між атомами n=0 і n=+1.
б) Виразіть β через А, A′, В, kb, k′b′.
Покажіть, що |β|=1 при уявному (k′b′). Який фізичний зміст цього результату? При яких значеннях (E—Е′0) виходить повне відбиття?
в) Перевірте закон збереження числа частинок, показавши, що
11.5. Розглянемо одновимірний аналог поверхні поділу, де нескінченний кристал зазнає зміни своїх властивостей. Нехай частинка падає зліва, як у розд. 11. Нехай в області I значення параметрів дорівнюють Е0, —А, b, а в області II дорівнюють Е′0, —A′, b′. Аналог амплітуд A і A′ для атомів, розташованих по обидва боки лінії поділу, позначимо літерою B. Припустимо, що A, A′ і B — дійсні числа.а) Покажіть, що γ=B/A′ (1+β) у розриві між атомами n=0 і n=+1.
б) Виразіть β через А, A′, В, kb, k′b′.
Покажіть, що |β|=1 при уявному (k′b′). Який фізичний зміст цього результату? При яких значеннях (E—Е′0) виходить повне відбиття?
в) Перевірте закон збереження числа частинок, показавши, що
Зображення
де vg і v′g — групові швидкості в різних областях. Як ви поясните появу множника при |γ|2?
До розділу 12. Напівпровідники
12.1. Нижче наведено звичайну схему проведення експериментів з циклотронного резонансу.
В= В0 — статичне магнітне поле, напрямлене вздовж осі z. Змінне електричне поле E=E0cosωt напрямлене вздовж осі x.
Частота циклотронного резонансу ωc визначається за максимумом потужності, що поглинається полем E. Елементарний розв'язок задачі про рух частинки в однорідному магнітному полі дає
До розділу 12. Напівпровідники
12.1. Нижче наведено звичайну схему проведення експериментів з циклотронного резонансу.В= В0 — статичне магнітне поле, напрямлене вздовж осі z. Змінне електричне поле E=E0cosωt напрямлене вздовж осі x.
Частота циклотронного резонансу ωc визначається за максимумом потужності, що поглинається полем E. Елементарний розв'язок задачі про рух частинки в однорідному магнітному полі дає
Зображення
де m* — ефективна маса. Припустимо, що ефективна маса не залежить від напрямку, за яким рухається частинка.
Рівняння руху електрона (або дірки) в напівпровіднику має вигляд
Рівняння руху електрона (або дірки) в напівпровіднику має вигляд
Зображення
де т — середній час між зіткненнями (див. «Лекції», вип. 7, розд. 32).
Нехай vx=v0еiωt, а Ex=E0eiωt. Покажіть, що
Нехай vx=v0еiωt, а Ex=E0eiωt. Покажіть, що
Зображення
Поглинана потужність пропорційна Re, [vx/Ex]. Чому? Як одержати відразу обидві величини т і m* з даних про циклотронний резонанс? Зверніть увагу на те, що для спостереження резонансу необхідно, щоб ωcт >1. Що це означає фізично?
12. 2. На рисунку (стор. 542) показано типову енергетичну діаграму для дірок у p — n-переході (наприклад, у напівпровідниковому діоді) за відсутності зовнішньої напруги. У рівноважному стані в цьому випадку є струм «теплових дірок» Ig.Ці дірки дифундують з області n в область p, а «струм народження» точно дорівнює «струму рекомбінації дірок» Ir що тече з області p в область n. Якщо прикласти «зворотну напругу» або «пряму напругу» до p — n-переходу, то енергетична діаграма зміниться (див. фіг. б і в). Розгляньте ці три випадки й покажіть, що вираз для результівного дірочного струму має вигляд
12. 2. На рисунку (стор. 542) показано типову енергетичну діаграму для дірок у p — n-переході (наприклад, у напівпровідниковому діоді) за відсутності зовнішньої напруги. У рівноважному стані в цьому випадку є струм «теплових дірок» Ig.Ці дірки дифундують з області n в область p, а «струм народження» точно дорівнює «струму рекомбінації дірок» Ir що тече з області p в область n. Якщо прикласти «зворотну напругу» або «пряму напругу» до p — n-переходу, то енергетична діаграма зміниться (див. фіг. б і в). Розгляньте ці три випадки й покажіть, що вираз для результівного дірочного струму має вигляд
Зображення
А який вираз вийде для повного струму? (V — напруга, прикладена до p — n-переходу.)
Зображення
До розділу 13. Наближення незалежних частинок
13.1. Структуру молекули бутадієну можна зобразити так:
13.1. Структуру молекули бутадієну можна зобразити так:
Зображення
Подумки вилучимо чотири електрони, що здійснюють подвійні зв'язки, а потім додаватимемо їх по одному. Таку задачу можна розглядати за допомогою моделі незалежних частинок. Зокрема, цю систему можна розглядати як сукупність чотирьох потенціальних ям з енергіями E0 і матричними елементами гамільтоніана — A. Чому дорівнює довжина хвилі випромінювання, що його випускають молекули бутадієну при переході з першого збудженого рівня на основний? Вважайте, що A = 1 еВ. В однократно іонізованій молекулі бутадієну є лише три електрони з подвійних зв'язків. Що ви можете сказати про розподіл цих електронів у молекулі?
13.2. Потрібно оцінити енергію, необхідну для розриву бензольного кільця, і розрахувати різницю енергій двох конфігурацій, показаних на рисунку. Використайте для цієї оцінки теорію молекулярних орбіт у наближенні незалежних частинок. Відповідь виразіть в еВ на молекулу, використовуючи той факт, що
13.2. Потрібно оцінити енергію, необхідну для розриву бензольного кільця, і розрахувати різницю енергій двох конфігурацій, показаних на рисунку. Використайте для цієї оцінки теорію молекулярних орбіт у наближенні незалежних частинок. Відповідь виразіть в еВ на молекулу, використовуючи той факт, що
Зображення
при переході з першого збудженого стану на основний молекули бензолу випускають випромінювання з довжиною хвилі 2000 Å.
13.3. До феромагнітної речовини при дуже низьких температурах застосовні ті міркування про спінові хвилі, що наведені в розд. 13 «Лекцій» (вип. 9). Зокрема, для будь-якого стану K з енергією ЕK≈К2b2А існує певна ймовірність (її можна знайти з термодинамічних міркувань) виявити кілька атомів у станах «спіном вниз», якщо за нульової температури всі атоми були в станах «спіном вгору». Покажіть, що середнє число атомів зі спінами, напрямленими вниз, пропорційне 1\еEк/кТ — 1. Якщо поширити ці міркування на тривимірний випадок, то ЕK≈Аb2(Кx2+Кy2+Кz2) і повне число атомів «спіном вниз» в одиниці об'єму визначається виразом
13.3. До феромагнітної речовини при дуже низьких температурах застосовні ті міркування про спінові хвилі, що наведені в розд. 13 «Лекцій» (вип. 9). Зокрема, для будь-якого стану K з енергією ЕK≈К2b2А існує певна ймовірність (її можна знайти з термодинамічних міркувань) виявити кілька атомів у станах «спіном вниз», якщо за нульової температури всі атоми були в станах «спіном вгору». Покажіть, що середнє число атомів зі спінами, напрямленими вниз, пропорційне 1\еEк/кТ — 1. Якщо поширити ці міркування на тривимірний випадок, то ЕK≈Аb2(Кx2+Кy2+Кz2) і повне число атомів «спіном вниз» в одиниці об'єму визначається виразом
Зображення
Доведіть це. У границі при Т→0 намагніченість виходить на насичення й набуває значення Мнасич. Покажіть, що при низьких температурах справедливий закон
Зображення
Обчисліть інтеграл, розклавши підінтегральний вираз у ряд.
До розділу 14. Залежність амплітуд від місця
14.1. Розглянемо одновимірний рух частинки з масою m у прямокутній потенціальній ямі. Для простоти припустимо, що V0→∞.
а) У стаціонарному стані з найменшою енергією Е0: ψ0(x,t)=u0(x)e–iE0t/h.
Ми повинні вважати, що и0(х)=0 в усіх точках поза ямою (тобто вже при x=—ε або x=a+ε). Чому?
б) Розв'яжіть рівняння Шредінгера всередині ями, використовуючи граничну умову, наведену в пункті (а). Знайдіть Е0 і зобразіть залежність и0(х). Нормувати и0 (х) не потрібно.
в) Знайдіть різницю енергій першого збудженого й основного станів.
г) Для найнижчого стану зобразіть грубо ймовірність виявити у частинки значення імпульсу в інтервалі від p до p+dp. Точного інтегрування не потрібно, про нормування теж не турбуйтеся. Але масштаб по осі імпульсів вкажіть.
14.2. Розглянемо рух частинки з масою m в одновимірній потенціальній ямі, яка зображена на фіг. 1.
а) Знайдіть таке значення V0, при якому енергія частинки в основному стані відрізняється на 10% від енергії основного стану при V0→∞.
б) Нехай V0— значення, знайдене в пункті (а). Не вдаючись до довгих обчислень, знайдіть енергію першого збудженого стану в ямі, зображеній на фіг. 2 і визначеній такими умовами:
До розділу 14. Залежність амплітуд від місця
14.1. Розглянемо одновимірний рух частинки з масою m у прямокутній потенціальній ямі. Для простоти припустимо, що V0→∞.а) У стаціонарному стані з найменшою енергією Е0: ψ0(x,t)=u0(x)e–iE0t/h.
Ми повинні вважати, що и0(х)=0 в усіх точках поза ямою (тобто вже при x=—ε або x=a+ε). Чому?
б) Розв'яжіть рівняння Шредінгера всередині ями, використовуючи граничну умову, наведену в пункті (а). Знайдіть Е0 і зобразіть залежність и0(х). Нормувати и0 (х) не потрібно.
в) Знайдіть різницю енергій першого збудженого й основного станів.
г) Для найнижчого стану зобразіть грубо ймовірність виявити у частинки значення імпульсу в інтервалі від p до p+dp. Точного інтегрування не потрібно, про нормування теж не турбуйтеся. Але масштаб по осі імпульсів вкажіть.
14.2. Розглянемо рух частинки з масою m в одновимірній потенціальній ямі, яка зображена на фіг. 1. а) Знайдіть таке значення V0, при якому енергія частинки в основному стані відрізняється на 10% від енергії основного стану при V0→∞.б) Нехай V0— значення, знайдене в пункті (а). Не вдаючись до довгих обчислень, знайдіть енергію першого збудженого стану в ямі, зображеній на фіг. 2 і визначеній такими умовами:
Зображення
14.3. Розглянемо таку одновимірну задачу. Частинка маси m перебуває в прямокутній потенціальній ямі:
Зображення
Нижче наведено дві рівності. Покажіть, що їх можна одержати, зажадавши, щоб хвильові функції, які є розв'язками рівняння Шредінгера, задовольняли необхідні граничні умови. Ідеться про такі рівності:
Зображення
Якщо V0a2=4h2/2m, оцініть значення енергії основного й першого збудженого станів. Нанесіть на графік хвильові функції цих станів. Скільки всього існує зв'язаних станів, якщо V0a2<(π2h2/8m)?
14.4. У розд. 14 «Лекцій» (вип. 9) було знайдено розкид за імпульсами для випадку, коли хвильова функція має гауссову форму. У загальному випадку, проте, просторова протяжність хвильового пакета не залишиться сталою, а збільшуватиметься:
14.4. У розд. 14 «Лекцій» (вип. 9) було знайдено розкид за імпульсами для випадку, коли хвильова функція має гауссову форму. У загальному випадку, проте, просторова протяжність хвильового пакета не залишиться сталою, а збільшуватиметься:
Зображення
Використовуючи рівняння Шредінгера, покажіть, що для вільної частинки
Зображення
Чому дорівнює c(t)? Якщо хвильова функція описує електрон, який спочатку перебував усередині області завширшки 1 Å, то якою буде ширина цієї «області локалізації» через 1 с? Перетворимо хвильову функцію в імпульсне представлення, тобто знайдемо ймовірність виявлення частинки із заданим значенням імпульсу p. Як змінюється з часом ширина розподілу ймовірностей для імпульсів? Покажіть, що знайдений таким чином «розкид за імпульсами» узгоджується з «розкидом за швидкостями», який можна безпосередньо одержати із залежності координатної хвильової функції від часу.
До розділу 16. Момент кількості руху
16.1. Деякий збуджений стан атома має спін 1 і може «розрядитися», випустивши фотон і перейшовши в стан зі спіном, що дорівнює нулю. Розглянемо збуджений атом, у якого проекція моменту на вісь z дорівнює нулю. Нехай A(θ) — амплітуда випускання фотона з правою круговою поляризацією в малий інтервал тілесних кутів ΔΩ у напрямку, що утворює з віссю z кут θ. Як A(θ) залежить від θ?
16.2. Частинка X, що має спін 1/2, розпадається за схемою
До розділу 16. Момент кількості руху
16.1. Деякий збуджений стан атома має спін 1 і може «розрядитися», випустивши фотон і перейшовши в стан зі спіном, що дорівнює нулю. Розглянемо збуджений атом, у якого проекція моменту на вісь z дорівнює нулю. Нехай A(θ) — амплітуда випускання фотона з правою круговою поляризацією в малий інтервал тілесних кутів ΔΩ у напрямку, що утворює з віссю z кут θ. Як A(θ) залежить від θ?
16.2. Частинка X, що має спін 1/2, розпадається за схемою
Зображення
де частинка Y має спін 1/2 і додатну парність. Якщо спін частинки X напрямлений уздовж осі z, то продукти розпаду, що рухаються вздовж осі z, можуть утворюватися у восьми станах, зображених на рисунку (стор. 548). Хвиляста і штрихована лінії зі стрілками вказують відповідно напрямок руху фотона й частинки Y, а стрілка біля Y — напрямок спіну цієї частинки.
а) Які амплітуди кінцевих станів обов'язково дорівнюють нулю?
б) Розрахуйте кутовий розподіл частинок Y, поляризованих уздовж напрямку свого руху, якщо частинки X перед розпадом поляризовані вздовж осі z.
в) Розрахуйте кутовий розподіл усіх частинок Y незалежно від їхньої поляризації.
г) Ретельні експерименти не виявили в цьому розпаді жодних відхилень від ізотропного кутового розподілу. Якою фізичною причиною це можна пояснити?
а) Які амплітуди кінцевих станів обов'язково дорівнюють нулю?
б) Розрахуйте кутовий розподіл частинок Y, поляризованих уздовж напрямку свого руху, якщо частинки X перед розпадом поляризовані вздовж осі z.
в) Розрахуйте кутовий розподіл усіх частинок Y незалежно від їхньої поляризації.
г) Ретельні експерименти не виявили в цьому розпаді жодних відхилень від ізотропного кутового розподілу. Якою фізичною причиною це можна пояснити?
Зображення
16.3. На синхротроні досліджується реакція
Зображення
Символом p* позначено збуджений стан протона, який розпадається на протон і π0-мезон. Відомо, що в певному інтервалі енергій фотона стан p* має повний момент 3/2. Припустимо, що пучок фотонів, які мають праву кругову поляризацію та енергію, що лежить у згаданому інтервалі, падає вздовж осі z на мішень, яка складається з неполяризованих протонів. Кутовий розподіл цієї реакції можна аналізувати, міркуючи так. Фотон і протон утворюють p* у стані |j=3/2, m=+1/2> з амплітудою а і в стані |3/2, +3/2> — з амплітудою b. Збуджений стан розпадається на π0-мезон з нульовим спіном і протон, що рухаються в протилежних напрямках. Нехай f — амплітуда вильоту протона вздовж осі z зі спіном, напрямленим угору, а g — зі спіном, напрямленим униз.
Поясніть, чому для стану p* дозволеними є тільки значення m=+3/2 і m=+1/2, а для кінцевого стану — тільки значення m′=+1/2 і m′=—1/2 (m′ позначає проекцію на напрямок випускання). Виразіть кутовий розподіл π0-мезонів через a, b і θ. Вважайте, що f=g.
16. 4. Розглянемо пружне розсіяння π+-мезонів на неполяризованій протонній мішені. Мезони мають спін 0; парність зберігається. Передбачається, що в розсіянні домінує процес, при якому протон переходить у збуджений стан з j=3/2, поглинаючи мезон. (Момент j=3/2 виходить за рахунок додавання спіну протона й орбітального моменту.) Потім мезон знову випускається, а протон переходить в основний стан. Покажіть, що з такого припущення випливає кутовий розподіл розсіяних мезонів, пропорційний (1+3cos2θ).
16.5. Основний стан атома має спін, що дорівнює нулю, і додатну парність. Спін першого збудженого стану дорівнює одиниці, а парність невідома. Нехай деяка кількість атомів перебуває в першому збудженому стані, і всі вони мають проекцію моменту m=1 на вісь z. Розглянемо фотони, які випускаються цими атомами при переході в основний стан.
а) Чи можна визначити парність збудженого стану, якщо вимірювати кутовий розподіл фотонів, що випускаються, не звертаючи уваги на їхню поляризацію?
б) Покажіть, що цю невідому парність можна визначити, вимірюючи кутові розподіли фотонів, поляризованих вздовж напрямків x′ і у′ (Вісь z′ вибирається в напрямку руху фотона і розташовується в площині x — z.)
Поясніть, чому для стану p* дозволеними є тільки значення m=+3/2 і m=+1/2, а для кінцевого стану — тільки значення m′=+1/2 і m′=—1/2 (m′ позначає проекцію на напрямок випускання). Виразіть кутовий розподіл π0-мезонів через a, b і θ. Вважайте, що f=g.
16. 4. Розглянемо пружне розсіяння π+-мезонів на неполяризованій протонній мішені. Мезони мають спін 0; парність зберігається. Передбачається, що в розсіянні домінує процес, при якому протон переходить у збуджений стан з j=3/2, поглинаючи мезон. (Момент j=3/2 виходить за рахунок додавання спіну протона й орбітального моменту.) Потім мезон знову випускається, а протон переходить в основний стан. Покажіть, що з такого припущення випливає кутовий розподіл розсіяних мезонів, пропорційний (1+3cos2θ).
16.5. Основний стан атома має спін, що дорівнює нулю, і додатну парність. Спін першого збудженого стану дорівнює одиниці, а парність невідома. Нехай деяка кількість атомів перебуває в першому збудженому стані, і всі вони мають проекцію моменту m=1 на вісь z. Розглянемо фотони, які випускаються цими атомами при переході в основний стан.
а) Чи можна визначити парність збудженого стану, якщо вимірювати кутовий розподіл фотонів, що випускаються, не звертаючи уваги на їхню поляризацію?
б) Покажіть, що цю невідому парність можна визначити, вимірюючи кутові розподіли фотонів, поляризованих вздовж напрямків x′ і у′ (Вісь z′ вибирається в напрямку руху фотона і розташовується в площині x — z.)