До розділу 1. Амплітуди ймовірності
1.1. У цьому розділі описано уявний експеримент з інтерференції електронів на подвійній щілині. За інтерференційною картиною, наведеною на фіг. 1.1 «Лекцій» (вип. 8, стор. 11), можна оцінити довжину хвилі λ, пов'язану з амплітудними функціями φ1 і φ2. Позначимо відстань між центрами щілин літерою a.
а) Чому дорівнює λ?
б) Користуючись кривими для P1 і Р2, розрахуйте очікувану величину Р12 в центрі смуги, у першому бічному максимумі та перших двох мінімумах інтерференційної картини. Порівняйте одержані результати з кривою Р12.
1.2. Розгляньте експеримент з інтерференції електронів на подвійній щілині, описаний у попередній задачі, припустивши, що відстані від електронної гармати до щілини і від щілин до екрана дуже великі порівняно з проміжком між щілинами, а ширина щілин набагато менша за цей проміжок. Дайте відповідь (по змозі кількісну) на такі запитання:
а) Що станеться з інтерференційною картиною Р12, якщо електронну гармату зсунути вгору на відстань D?
б) Як зміниться інтерференційна картина, якщо відстань між щілинами подвоїти?
в) Що трапиться, якщо першу щілину зробити вдвічі ширшою за другу?
1.3. Монохроматичне світло, поляризоване у вертикальній площині, падає на плівку — поляроїд, «вісь пропускання» якої утворює з вертикаллю кут θ.
Чому дорівнюватиме відношення інтенсивності світла, що пройшло крізь плівку, до інтенсивності світла, що падає? А що зробить поляроїд з одиничним фотоном, що падає?
1.4. Пучок електронів з енергією 20 кеВ проходить крізь тонку полікристалічну золоту фольгу, а потім потрапляє на фотопластинку. Ділянки почорніння на пластинці мають форму концентричних кілець із центрами на осі пучка. Чому? Розрахуйте діаметр кілець, якщо відстань від фольги до пластинки дорівнює 10 см.
1.5. Повернімося до звичайного інтерференційного досліду з подвійною щілиною (див. фіг. 1.1 «Лекцій», вип. 8, стор. 11). Якщо а1 і а2 — два комплексні числа, що дорівнюють амплітудам ймовірності знаходження електронів відповідно в щілинах 1 і 2, то який вигляд має формула для відносної інтенсивності розподілу електронів на екрані залежно від x — відстані від центральної точки? Вважайте x наближено малою величиною; відповідь має виражатися через відстані між щілинами та від щілин до екрана.
1.6. У дифракційному досліді (схему якого наведено на рисунку) частинки, що випускаються джерелом, мають імпульс р0, масу M і швидкість v.
а) Чому дорівнює відстань a між центральним максимумом і його найближчим сусідом? Вважайте
1.1. У цьому розділі описано уявний експеримент з інтерференції електронів на подвійній щілині. За інтерференційною картиною, наведеною на фіг. 1.1 «Лекцій» (вип. 8, стор. 11), можна оцінити довжину хвилі λ, пов'язану з амплітудними функціями φ1 і φ2. Позначимо відстань між центрами щілин літерою a.
а) Чому дорівнює λ?
б) Користуючись кривими для P1 і Р2, розрахуйте очікувану величину Р12 в центрі смуги, у першому бічному максимумі та перших двох мінімумах інтерференційної картини. Порівняйте одержані результати з кривою Р12.
1.2. Розгляньте експеримент з інтерференції електронів на подвійній щілині, описаний у попередній задачі, припустивши, що відстані від електронної гармати до щілини і від щілин до екрана дуже великі порівняно з проміжком між щілинами, а ширина щілин набагато менша за цей проміжок. Дайте відповідь (по змозі кількісну) на такі запитання:
а) Що станеться з інтерференційною картиною Р12, якщо електронну гармату зсунути вгору на відстань D?
б) Як зміниться інтерференційна картина, якщо відстань між щілинами подвоїти?
в) Що трапиться, якщо першу щілину зробити вдвічі ширшою за другу?
1.3. Монохроматичне світло, поляризоване у вертикальній площині, падає на плівку — поляроїд, «вісь пропускання» якої утворює з вертикаллю кут θ.
Чому дорівнюватиме відношення інтенсивності світла, що пройшло крізь плівку, до інтенсивності світла, що падає? А що зробить поляроїд з одиничним фотоном, що падає?
1.4. Пучок електронів з енергією 20 кеВ проходить крізь тонку полікристалічну золоту фольгу, а потім потрапляє на фотопластинку. Ділянки почорніння на пластинці мають форму концентричних кілець із центрами на осі пучка. Чому? Розрахуйте діаметр кілець, якщо відстань від фольги до пластинки дорівнює 10 см.
1.5. Повернімося до звичайного інтерференційного досліду з подвійною щілиною (див. фіг. 1.1 «Лекцій», вип. 8, стор. 11). Якщо а1 і а2 — два комплексні числа, що дорівнюють амплітудам ймовірності знаходження електронів відповідно в щілинах 1 і 2, то який вигляд має формула для відносної інтенсивності розподілу електронів на екрані залежно від x — відстані від центральної точки? Вважайте x наближено малою величиною; відповідь має виражатися через відстані між щілинами та від щілин до екрана.
1.6. У дифракційному досліді (схему якого наведено на рисунку) частинки, що випускаються джерелом, мають імпульс р0, масу M і швидкість v.
а) Чому дорівнює відстань a між центральним максимумом і його найближчим сусідом? Вважайте
Зображення
б) Зовнішня дія змінює фазу для верхнього шляху на δφ1, а для нижнього шляху на δφ1. Покажіть, що центральний максимум при цьому зміщується на відстань S, яка визначається виразом
Зображення
Таким чином, якщо величина (δφ1—δφ2) для всіх шляхів однакова, то на відстань S зміщується вся дифракційна картина, і ми можемо сказати, що на відстань S відхиляються всі частинки.в) Припустимо, що в області A частинки мають невелику потенціальну енергію, яка залежить лише від вертикальної координати. Тоді імпульс частинок на висоті x над центральною лінією [позначимо його р(x)] буде дещо відрізнятися від р(0) — свого значення на центральній лінії. Покажіть, що
Зображення
або, коли V(x) повільно змінюється з відстанню, p(x)=p(0)+Fx/v, де F=–dV/dx.
г) За умов, описаних у пункті (в), імпульси при русі по прямих (1) і (2) відрізнятимуться один від одного (як і довжини хвиль). Покажіть, що різниця фаз для верхнього та нижнього шляхів дорівнює
г) За умов, описаних у пункті (в), імпульси при русі по прямих (1) і (2) відрізнятимуться один від одного (як і довжини хвиль). Покажіть, що різниця фаз для верхнього та нижнього шляхів дорівнює
Зображення
(Зазначимо, що середня вертикальна відстань між цими двома прямими дорівнює d/2.) Покажіть, що інтерференційні смуги зміщуються вгору на величину 1/2Т2(F/M), де T=L/v — час прольоту (у класичному розумінні) від щілини до екрана. Поясніть зміст результату.
1.7. Електрони зі спіном 1/2 випускаються джерелом S, поміщеним перед екраном із двома щілинами, як показано на рисунку. Припустимо, що електрон, який досяг щілини, проходить крізь неї з амплітудою α, якщо його спін напрямлений угору, і з амплітудою β, якщо його спін напрямлений униз. Припустимо далі, що розрізнити, через яку щілину електрон пройшов, неможливо.
а) Якщо всі електрони випускаються «зі спіном угору», розрахуйте розподіл інтенсивностей на екрані в точці x, виразивши його через α, β та амплітуди <x|s> (див. вип. 8, стор. 12, 13).
б) Чим відрізняється цей розподіл від випадку, коли всі електрони випускаються «зі спіном униз», за інших рівних умов?
в) Якщо напрямок спінів випадковий, а всі інші умови досліду зберігаються, то чим відрізнятиметься інтерференційна картина від випадку (а)?
1.8. Хоч як це дивно, але великі інтерференційні ефекти можна спостерігати навіть тоді, коли одна з «інтерферуючих можливостей» має не дуже велику ймовірність. Покажіть, що в експерименті з дифракції на двох отворах, навіть коли ймовірність проникнути крізь один із них у 100 разів менша, ніж крізь інший, дифракційний максимум усе ще на 50% вищий за мінімум.
1.9. Діаметр найближчих до Землі зір надто малий, і його не можна визначити навіть за допомогою найкращих сучасних телескопів, оскільки їхня кутова роздільність більша за «кутовий діаметр» зір. Діаметр зір уперше визначив Майкельсон, користуючись оптичним інтерферометром. Але точності цього методу ледве вистачає для найближчих зір. У 1956 р. Браун і Твісс запропонували новий метод для таких вимірювань, названий ними «методом кореляції інтенсивностей» [Nature, 178, 1046 (1956)]. Вони випробували його на зорі Сіріус. Для цього вони взяли два параболічні рефлектори (автори використали дзеркала від старих прожекторів), у фокусі кожного з яких було встановлено фотопомножувач. Виходи помножувачів з'єднувалися коаксіальним кабелем з електронною схемою, яка реєструвала середнє значення від добутку струмів в обох помножувачах (так звану «кореляційну функцію»). За поведінкою цього добутку залежно від відстані між дзеркалами визначався кутовий діаметр зорі. У той час багато фізиків стверджували, що цей метод не годиться, оскільки світло — це фотони, а кожен фотон потрапляє або на одне дзеркало, або на інше, і ніякої кореляції двох струмів, отже, спостерігатися не може. Ви можете спростувати цей аргумент, розглядаючи такий ідеалізований експеримент. Два невеликі джерела світла, скажімо дві лампочки A і B, поміщено на великих відстанях від фотопомножувачів a і b. Геометричні умови досліду показано на рисунку. З детекторами a і b з'єднано лічильники, що лічать числа фотонів р1 і р2, які реєструє за секунду кожен лічильник. Лічильники a і b ввімкнено, крім того, ще й у «схему збігів», яка реєструє р12— кількість випадків за одиницю часу, коли фотоелектрони з'являються одночасно (тобто протягом одного малого проміжку часу т) в обох помножувачах. Нехай <а|A> — амплітуда появи фотона, випущеного джерелом A, у детекторі a протягом даного проміжку часу, що визначається роздільною здатністю схеми. Тоді <а|A>=сеiα1, де с — комплексна стала, а α1=kR1 (R1—відстань від A до a, k — стала). Аналогічно, <b|A>=сеiα1, де α2=kR2, а R2— відстань від A до b. Покажіть, що швидкість лічби збігів пропорційна 2+cos2k(R2—R1).
Як використати цей результат для визначення D, якщо R відоме? Знехтуйте тим, що реальний процес є «накладанням» таких простих модельних процесів, оскільки світло приходить від усіх ділянок поверхні зорі, а не лише від крайніх, діаметрально протилежних точок.
До розділу 2. Тотожні частинки
2.1. Радіопередавач випромінює потужність 1000 кет на частоті 1 Мгц.
а) Яка енергія (в еВ) кожного випроміненого кванта?
б) Скільки квантів випромінюється за кожен період коливань електромагнітного поля? (Висока міра когерентності цих квантів можлива, оскільки вони є бозе-частинками.)
2.2. Всередині порожнини в абсолютно чорному тілі величина I(ω)Δω — інтенсивність випромінювання в інтервалі частот від ω до ω+Δ ω на одиницю об'єму — дається формулою Планка.
а) Як поводиться I(ω) при малих ω? При великих ω?
б) При якій частоті на одиничний інтервал припадає максимальна енергія?
в) При якій довжині хвилі на одиничний інтервал довжин хвиль припадає максимальна енергія?
г) Оцініть температуру на поверхні Сонця, припускаючи, що максимум інтенсивності його випромінювання припадає на середину видимого спектра.
2.3. Оцініть напруженість магнітного поля, яка буде потрібна для того, щоб вишикувати спіни обох електронів в атомі гелію в одному напрямку. (Наближено розглядайте атом гелію як гармонічний осцилятор з основною частотою, що відповідає видимому світлу. В атомі гелію «в основному стані» обидва електрони перебувають на найнижчому рівні, і їхні спіни напрямлені в протилежні боки. Згідно з принципом заборони Паулі, для того щоб напрямки спінів електронів збіглися, одному з них доведеться перейти на наступний рівень.)
2.4. До відкриття нейтронів припускали, що ядра складаються з протонів і електронів. Покажіть, що в такому разі атом (атом азоту, маса ядра якого приблизно в 14 разів більша за масу протона) був би бозе-частинкою. Дослідні факти (спектр молекули) показують, що цей атом є фермі-частинкою. Це було перше свідчення на користь існування нової ядерної частинки. Покажіть, як нейтронна гіпотеза розв'язує цю задачу.
2.5. Припустимо, що в деякій системі можуть спостерігатися «переходи» між певними енергетичними рівнями, тобто заселеність рівнів, або число атомів на кожному рівні, змінюється, і це супроводжується випромінюванням або поглинанням квантів.
Два збуджені стани й основний стан перебувають у тепловій рівновазі між собою, тоді як уся система перебуває в полі випромінювання з частотою hω=ΔE. Прямі переходи з частотою 2ΔE/h заборонені.
1.7. Електрони зі спіном 1/2 випускаються джерелом S, поміщеним перед екраном із двома щілинами, як показано на рисунку. Припустимо, що електрон, який досяг щілини, проходить крізь неї з амплітудою α, якщо його спін напрямлений угору, і з амплітудою β, якщо його спін напрямлений униз. Припустимо далі, що розрізнити, через яку щілину електрон пройшов, неможливо.а) Якщо всі електрони випускаються «зі спіном угору», розрахуйте розподіл інтенсивностей на екрані в точці x, виразивши його через α, β та амплітуди <x|s> (див. вип. 8, стор. 12, 13).
б) Чим відрізняється цей розподіл від випадку, коли всі електрони випускаються «зі спіном униз», за інших рівних умов?
в) Якщо напрямок спінів випадковий, а всі інші умови досліду зберігаються, то чим відрізнятиметься інтерференційна картина від випадку (а)?
1.8. Хоч як це дивно, але великі інтерференційні ефекти можна спостерігати навіть тоді, коли одна з «інтерферуючих можливостей» має не дуже велику ймовірність. Покажіть, що в експерименті з дифракції на двох отворах, навіть коли ймовірність проникнути крізь один із них у 100 разів менша, ніж крізь інший, дифракційний максимум усе ще на 50% вищий за мінімум.
1.9. Діаметр найближчих до Землі зір надто малий, і його не можна визначити навіть за допомогою найкращих сучасних телескопів, оскільки їхня кутова роздільність більша за «кутовий діаметр» зір. Діаметр зір уперше визначив Майкельсон, користуючись оптичним інтерферометром. Але точності цього методу ледве вистачає для найближчих зір. У 1956 р. Браун і Твісс запропонували новий метод для таких вимірювань, названий ними «методом кореляції інтенсивностей» [Nature, 178, 1046 (1956)]. Вони випробували його на зорі Сіріус. Для цього вони взяли два параболічні рефлектори (автори використали дзеркала від старих прожекторів), у фокусі кожного з яких було встановлено фотопомножувач. Виходи помножувачів з'єднувалися коаксіальним кабелем з електронною схемою, яка реєструвала середнє значення від добутку струмів в обох помножувачах (так звану «кореляційну функцію»). За поведінкою цього добутку залежно від відстані між дзеркалами визначався кутовий діаметр зорі. У той час багато фізиків стверджували, що цей метод не годиться, оскільки світло — це фотони, а кожен фотон потрапляє або на одне дзеркало, або на інше, і ніякої кореляції двох струмів, отже, спостерігатися не може. Ви можете спростувати цей аргумент, розглядаючи такий ідеалізований експеримент. Два невеликі джерела світла, скажімо дві лампочки A і B, поміщено на великих відстанях від фотопомножувачів a і b. Геометричні умови досліду показано на рисунку. З детекторами a і b з'єднано лічильники, що лічать числа фотонів р1 і р2, які реєструє за секунду кожен лічильник. Лічильники a і b ввімкнено, крім того, ще й у «схему збігів», яка реєструє р12— кількість випадків за одиницю часу, коли фотоелектрони з'являються одночасно (тобто протягом одного малого проміжку часу т) в обох помножувачах. Нехай <а|A> — амплітуда появи фотона, випущеного джерелом A, у детекторі a протягом даного проміжку часу, що визначається роздільною здатністю схеми. Тоді <а|A>=сеiα1, де с — комплексна стала, а α1=kR1 (R1—відстань від A до a, k — стала). Аналогічно, <b|A>=сеiα1, де α2=kR2, а R2— відстань від A до b. Покажіть, що швидкість лічби збігів пропорційна 2+cos2k(R2—R1).Як використати цей результат для визначення D, якщо R відоме? Знехтуйте тим, що реальний процес є «накладанням» таких простих модельних процесів, оскільки світло приходить від усіх ділянок поверхні зорі, а не лише від крайніх, діаметрально протилежних точок.
До розділу 2. Тотожні частинки
2.1. Радіопередавач випромінює потужність 1000 кет на частоті 1 Мгц.
а) Яка енергія (в еВ) кожного випроміненого кванта?
б) Скільки квантів випромінюється за кожен період коливань електромагнітного поля? (Висока міра когерентності цих квантів можлива, оскільки вони є бозе-частинками.)
2.2. Всередині порожнини в абсолютно чорному тілі величина I(ω)Δω — інтенсивність випромінювання в інтервалі частот від ω до ω+Δ ω на одиницю об'єму — дається формулою Планка.
а) Як поводиться I(ω) при малих ω? При великих ω?
б) При якій частоті на одиничний інтервал припадає максимальна енергія?
в) При якій довжині хвилі на одиничний інтервал довжин хвиль припадає максимальна енергія?
г) Оцініть температуру на поверхні Сонця, припускаючи, що максимум інтенсивності його випромінювання припадає на середину видимого спектра.
2.3. Оцініть напруженість магнітного поля, яка буде потрібна для того, щоб вишикувати спіни обох електронів в атомі гелію в одному напрямку. (Наближено розглядайте атом гелію як гармонічний осцилятор з основною частотою, що відповідає видимому світлу. В атомі гелію «в основному стані» обидва електрони перебувають на найнижчому рівні, і їхні спіни напрямлені в протилежні боки. Згідно з принципом заборони Паулі, для того щоб напрямки спінів електронів збіглися, одному з них доведеться перейти на наступний рівень.)
2.4. До відкриття нейтронів припускали, що ядра складаються з протонів і електронів. Покажіть, що в такому разі атом (атом азоту, маса ядра якого приблизно в 14 разів більша за масу протона) був би бозе-частинкою. Дослідні факти (спектр молекули) показують, що цей атом є фермі-частинкою. Це було перше свідчення на користь існування нової ядерної частинки. Покажіть, як нейтронна гіпотеза розв'язує цю задачу.
2.5. Припустимо, що в деякій системі можуть спостерігатися «переходи» між певними енергетичними рівнями, тобто заселеність рівнів, або число атомів на кожному рівні, змінюється, і це супроводжується випромінюванням або поглинанням квантів.
Два збуджені стани й основний стан перебувають у тепловій рівновазі між собою, тоді як уся система перебуває в полі випромінювання з частотою hω=ΔE. Прямі переходи з частотою 2ΔE/h заборонені.
Зображення
а) Виразіть відношення N1/N0 і N2/N1 через число фотонів n(ω).
б) Одержіть простий вираз для числа фотонів n(ω), беручи до уваги, що фотони є бозонами. Шуканий вираз має містити лише ΔE/kT.
в) Знайдіть наближені вирази для n(ω) у двох граничних випадках:
б) Одержіть простий вираз для числа фотонів n(ω), беручи до уваги, що фотони є бозонами. Шуканий вираз має містити лише ΔE/kT.
в) Знайдіть наближені вирази для n(ω) у двох граничних випадках:
Зображення
2.6. У лазері велике число атомів одночасно переводиться у збуджений стан. Потім поява невеликої кількості світла певного типу індукує лавиноподібне випромінювання, до якого роблять внесок усі збуджені атоми, що призводить до утворення дуже великого числа фотонів із цілком однаковою довжиною хвилі, які випускаються строго в одному напрямку. Чи можна сподіватися, що в один прекрасний день хтось створить подібний пристрій, який випромінюватиме нейтрино (частинка з масою, що дорівнює нулю, і спіном 1/2)?
2.7. Покажіть, що для двох неоднакових частинок, які не взаємодіють, ймовірність того, що одна переміститься з a в b, тоді як інша переміститься з c в d, є добутком двох співмножників Pаь і Рcd де Раь — ймовірність, що перша частинка за відсутності другої частинки переміститься з a в b, а Pcd — ймовірність, що друга частинка за відсутності першої переміститься з c в d. Чи є неоднаковість частинок істотною обставиною?
2.8. Дейтрон є бозе-частинкою зі спіном одиниця; таким чином, пучок дейтронів може перебувати в одному з трьох станів із проекціями спіну +1, 0, –1. Проводиться дослід, у якому дейтрони розсіюються на дейтронах. Як залежить ймовірність реєстрації дейтронів від кута розсіяння θ (кут між напрямками руху дейтрона до і після зіткнення в системі центра мас)? Припустимо, що напрямок спіну в процесі розсіяння не змінюється, а f(θ) — це амплітуда відхилення на кут θ.
2.9. Нехай f1(θ) — амплітуда розсіяння π-мезона на протоні, а f2(θ) — на нейтроні. Як виразити ймовірність того, що π-мезон розсіється на ядрі гелію на кут θ через Р1 і P2— ймовірності розсіяння на протоні та на нейтроні? Розгляньте два випадки:
а) віддача протона або нейтрона після розсіяння руйнує ядро;
б) віддача настільки слабка, що ядро залишається «не пошкодженим».
Чи можете ви сказати, в якому випадку розсіяння сильніше? Ваші відповіді мають залежати від припущень, зроблених при описі процесу (а).
2.10. Припустимо, що в експерименті з розсіяння пучок нейтронів падає на нейтронну мішень. Детектор встановлено таким чином, щоб він реєстрував нейтрони, розсіяні на кут θ у системі центра мас; f — амплітуда розсіяння частинки на цей кут без зміни спінового стану; g — амплітуда розсіяння на той самий кут із «переворотом» спіну (за рахунок обміну напрямками спінів із частинкою мішені). Якщо припустити, що f і g не залежать від θ, то яка буде ймовірність, що детектор зареєструє нейтрон, якщо:
а) спіни обох нейтронів (і того, що розсіюється, і того, що розсіює) напрямлені вздовж осі +z;
б) спіни нейтронів пучка вишикувані вздовж додатного напрямку осі z, а нейтрони мішені — вздовж від'ємного;
в) пучок, що падає, не поляризований, а мішень поляризована в напрямку +z; г) і пучок, і мішень не поляризовані;
д) як зміниться відповідь на запитання (а), якщо мішень складатиметься з поляризованих протонів за рівності амплітуд нейтрон -нейтронного й нейтрон-протонного розсіяння?
Вважайте, що детектор однаково ефективно реєструє і нейтрони, і протони.
2.11. Пучок нерелятивістських протонів проходить крізь тонку мішень із рідкого водню, а потім, як показано на рисунку, розсіяні протони реєструються під деяким кутом α до пучка, що падає. Процес розсіяння можна аналізувати в системі центра мас, як показано на рисунку.
2.7. Покажіть, що для двох неоднакових частинок, які не взаємодіють, ймовірність того, що одна переміститься з a в b, тоді як інша переміститься з c в d, є добутком двох співмножників Pаь і Рcd де Раь — ймовірність, що перша частинка за відсутності другої частинки переміститься з a в b, а Pcd — ймовірність, що друга частинка за відсутності першої переміститься з c в d. Чи є неоднаковість частинок істотною обставиною?
2.8. Дейтрон є бозе-частинкою зі спіном одиниця; таким чином, пучок дейтронів може перебувати в одному з трьох станів із проекціями спіну +1, 0, –1. Проводиться дослід, у якому дейтрони розсіюються на дейтронах. Як залежить ймовірність реєстрації дейтронів від кута розсіяння θ (кут між напрямками руху дейтрона до і після зіткнення в системі центра мас)? Припустимо, що напрямок спіну в процесі розсіяння не змінюється, а f(θ) — це амплітуда відхилення на кут θ.
2.9. Нехай f1(θ) — амплітуда розсіяння π-мезона на протоні, а f2(θ) — на нейтроні. Як виразити ймовірність того, що π-мезон розсіється на ядрі гелію на кут θ через Р1 і P2— ймовірності розсіяння на протоні та на нейтроні? Розгляньте два випадки:
а) віддача протона або нейтрона після розсіяння руйнує ядро;
б) віддача настільки слабка, що ядро залишається «не пошкодженим».
Чи можете ви сказати, в якому випадку розсіяння сильніше? Ваші відповіді мають залежати від припущень, зроблених при описі процесу (а).
2.10. Припустимо, що в експерименті з розсіяння пучок нейтронів падає на нейтронну мішень. Детектор встановлено таким чином, щоб він реєстрував нейтрони, розсіяні на кут θ у системі центра мас; f — амплітуда розсіяння частинки на цей кут без зміни спінового стану; g — амплітуда розсіяння на той самий кут із «переворотом» спіну (за рахунок обміну напрямками спінів із частинкою мішені). Якщо припустити, що f і g не залежать від θ, то яка буде ймовірність, що детектор зареєструє нейтрон, якщо:
а) спіни обох нейтронів (і того, що розсіюється, і того, що розсіює) напрямлені вздовж осі +z;
б) спіни нейтронів пучка вишикувані вздовж додатного напрямку осі z, а нейтрони мішені — вздовж від'ємного;
в) пучок, що падає, не поляризований, а мішень поляризована в напрямку +z; г) і пучок, і мішень не поляризовані;
д) як зміниться відповідь на запитання (а), якщо мішень складатиметься з поляризованих протонів за рівності амплітуд нейтрон -нейтронного й нейтрон-протонного розсіяння?
Вважайте, що детектор однаково ефективно реєструє і нейтрони, і протони.
2.11. Пучок нерелятивістських протонів проходить крізь тонку мішень із рідкого водню, а потім, як показано на рисунку, розсіяні протони реєструються під деяким кутом α до пучка, що падає. Процес розсіяння можна аналізувати в системі центра мас, як показано на рисунку.
Зображення
Два протони (р1 і р2) рухаються назустріч один одному з однаковими швидкостями; після зіткнення два протони (р′1 і р′2) розлітаються вздовж прямої, яка утворює кут θ з первісним напрямком. Якщо ми виберемо за вісь z напрямок, перпендикулярний до площини розсіяння, то кожен протон може мати значення Jz (проекції спінового моменту на цю вісь), що дорівнює ±h/2. Ми говоритимемо про це, що спін може бути напрямлений «угору» або «униз». Припустимо, що спін обох протонів напрямлений угору і що f(θ) є амплітудою розсіяння протона р1 на кут θ з потраплянням у детектор. Оскільки ми не можемо сказати, який протон зареєстровано лічильником, то амплітуда того, що якийсь протон вилетить під кутом θ, дорівнює f(θ)—f(π—θ). Знак мінус з'являється тому, що протони — фермі-частинки. Тому ми можемо сказати, що ймовірність зареєструвати протон під кутом θ дорівнює
Зображення
Припустимо тепер, що спін протона р1 напрямлений угору, а спін р2 — униз, амплітуда розсіяння частинки р1 в напрямку детектора без перевороту спіну дорівнює f′(θ), а з переворотом спіну g(θ); амплітуда розсіяння залежить від відносної орієнтації спінів.
У цьому випадку амплітуду появи в детекторі протона зі спіном, напрямленим угору, можна записати у вигляді f′(θ)+g(π—θ).
а) Який зв'язок між θ і α?
б) Яка амплітуда появи в детекторі протона зі спіном униз, якщо до розсіяння спіни протонів, що зіштовхуються, були напрямлені в різні боки?
в) Припустимо, що «звичайний» пучок неполяризованих протонів розсіюється на звичайній неполяризованій мішені і що детектор не реагує на поляризацію. Чому дорівнює ймовірність розсіяння на кут θ.
г) Покажіть, що при f′=f і g=0 розсіяння протонів з хаотично орієнтованими спінами являє собою суміш «суто ферміонного розсіяння» з амплітудою f(θ) —f(π—θ) та «суто бозонного» розсіяння, амплітуда якого дорівнює
У цьому випадку амплітуду появи в детекторі протона зі спіном, напрямленим угору, можна записати у вигляді f′(θ)+g(π—θ).
а) Який зв'язок між θ і α?
б) Яка амплітуда появи в детекторі протона зі спіном униз, якщо до розсіяння спіни протонів, що зіштовхуються, були напрямлені в різні боки?
в) Припустимо, що «звичайний» пучок неполяризованих протонів розсіюється на звичайній неполяризованій мішені і що детектор не реагує на поляризацію. Чому дорівнює ймовірність розсіяння на кут θ.
г) Покажіть, що при f′=f і g=0 розсіяння протонів з хаотично орієнтованими спінами являє собою суміш «суто ферміонного розсіяння» з амплітудою f(θ) —f(π—θ) та «суто бозонного» розсіяння, амплітуда якого дорівнює
Зображення
2.12. Припустимо, що N електронів перебувають у дуже великому ящику об'єму V у стані з найменшою можливою енергією. Покажіть, що, нехтуючи взаємодією між електронами, кожен рівень у ящику зайнятий двома електронами, причому імпульс, що відповідає кожному рівню, hk=p, менший за величину рмакс, яка визначається співвідношенням
Зображення
Чому дорівнює енергія U всіх електронів? Зв'яжіть цю внутрішню енергію U з об'ємом ящика і знайдіть таким чином тиск цього так званого «виродженого електронного» газу. Покажіть, що об'єм і тиск пов'язані співвідношенням PVγ=const, і знайдіть γ.
2.13. Матерія в зорях, відомих під назвою «білі карлики», стиснена так сильно, що до неї застосовна теорія, розглянута в останній задачі. Якщо ρ — густина речовини зорі, то ρ/2Мp — число протонів в 1 м3 цієї речовини (Мp — маса протона; крім того, ми припускаємо, що ядра містять приблизно стільки ж протонів, скільки й нейтронів). У рівнянні до задачі 2.12 покладемо N/V=ρ/2Mp. Рівняння рівноваги зорі з такої речовини, рівноваги, що підтримується гравітаційним тяжінням, можна знайти в книжках з астрофізики, і вони записуються таким чином:
2.13. Матерія в зорях, відомих під назвою «білі карлики», стиснена так сильно, що до неї застосовна теорія, розглянута в останній задачі. Якщо ρ — густина речовини зорі, то ρ/2Мp — число протонів в 1 м3 цієї речовини (Мp — маса протона; крім того, ми припускаємо, що ядра містять приблизно стільки ж протонів, скільки й нейтронів). У рівнянні до задачі 2.12 покладемо N/V=ρ/2Mp. Рівняння рівноваги зорі з такої речовини, рівноваги, що підтримується гравітаційним тяжінням, можна знайти в книжках з астрофізики, і вони записуються таким чином:
Зображення
Чи можете ви пояснити вигляд цих рівнянь і вивести формулу або вказати чисельне значення для A? Вважайте, що весь тиск створюється виродженим електронним газом, а присутність нуклонів практично не позначається (до речі, чому?).
До розділу 3. Спін одиниця
3.1. Доведіть висловлене в розд. 3 «Лекцій» (вип. 8) твердження, що якщо прилад C можна розділити на дві частини A і В, то
До розділу 3. Спін одиниця
3.1. Доведіть висловлене в розд. 3 «Лекцій» (вип. 8) твердження, що якщо прилад C можна розділити на дві частини A і В, то
Зображення
3.2. Три «вдосконалені» прилади Штерна — Герлаха, описані в розд. 3, які розділяють пучок на компоненти, що відповідають різним значенням проекції спіну (але без просторового розділення пучка), встановлюються послідовно один за одним, і крізь них пропускається пучок частинок зі спіном одиниця. Перша і третя установки орієнтовані в одному й тому самому напрямку, а середня встановлюється під довільним кутом. У позначеннях, які використовувалися в розд. 3, це виглядатиме так:
Зображення
а) В установці T відкрита одна щілина. Чи залежатиме розподіл пучка за трьома станами в кінцевому стані S від вхідного стану, тобто від пропорцій, у яких змішано стани +S, 0 S і –S у початковому пучку. Чому?
б) А якщо дві щілини в установці T відкриті?
в) А якщо всі три щілини в T відкриті?
3.3. Потрійний «вдосконалений» експеримент Штерна — Герлаха проводиться з частинками зі спіном I за такою схемою:
б) А якщо дві щілини в установці T відкриті?
в) А якщо всі три щілини в T відкриті?
3.3. Потрійний «вдосконалений» експеримент Штерна — Герлаха проводиться з частинками зі спіном I за такою схемою:
Зображення
Усі три прилади розташовані на одній прямій, але середній прилад T повернутий на 90° відносно двох інших. Пучок частинок зі спіном 1 падає зліва. Пучок, що виходить з першого приладу S, має інтенсивність N1 частинок за секунду.
а) Чому дорівнює N2— інтенсивність пучка на виході з приладу Т?
б) Яка інтенсивність пучка N3 на виході з останнього приладу S?
в) Якими будуть значення N2 і N3, якщо заслінку з приладу T вилучити?
3.4. Розглянемо послідовність «удосконалених» приладів Штерна — Герлаха S, T і S′, крізь які проходить пучок частинок зі спіном 1. (Прилад T повернутий навколо осі x на 90° відносно S і S′.)
а) Якщо з приладу S виходить N0 частинок, знайдіть, яку кількість частинок слід очікувати на виході приладу S′ у станах |+ S′> і |0 S′ >. (Позначимо відповідні значення N+S′ і N0S′ .)
б) Припустимо, що ми маємо «прозорі детектори», які можна розміщувати в пучках + і — приладу T. Властивість цих детекторів полягає в тому, що коли частинка проходить крізь такий детектор, він сигналізує про це, не змінюючи спінового стану частинки. Крім того, імпульс частинки не змінюється скільки-небудь помітно в тому розумінні, що її траєкторія всередині установки однакова як за наявності детектора, так і без нього.
Якщо детектори встановлені в позиціях + і – приладу T (позиція 0 заблокована), якими будуть очікувані числа відліків N+T, N–T, N+S′ і N0S′ , якщо з приладу S вилітає N0 частинок?
в) Як зміниться результат для N+S′ в описаному експерименті, якщо після його проведення виявиться, що числа відліків N+T і N–T не реєструвалися?
г) Якщо ефективність кожного детектора дорівнює 50% (тобто у половині випадків частинка, що пролітає крізь детектор, не взаємодіє з ним), чому тоді дорівнюватимуть значення N+S′ і N0S′ ?
д) Чому дорівнюватимуть N+S′ і N0S′ , якщо блокування станів +S і —S вилучені і A′0 частинок виходить з S (детектори з приладу T вилучені)1 Вважайте пучок неполяризованим.
До розділу 4. Спін одна друга
4.1. Уявіть собі, що пучок атомів зі спіном 1/2 фільтрується двома «удосконаленими» приладами Штерна — Герлаха, встановленими один за одним. Припускається, що кожен прилад пропускає лише один пучок, як зображено на фіг. 1.
а) Чому дорівнює N2— інтенсивність пучка на виході з приладу Т?
б) Яка інтенсивність пучка N3 на виході з останнього приладу S?
в) Якими будуть значення N2 і N3, якщо заслінку з приладу T вилучити?
3.4. Розглянемо послідовність «удосконалених» приладів Штерна — Герлаха S, T і S′, крізь які проходить пучок частинок зі спіном 1. (Прилад T повернутий навколо осі x на 90° відносно S і S′.)а) Якщо з приладу S виходить N0 частинок, знайдіть, яку кількість частинок слід очікувати на виході приладу S′ у станах |+ S′> і |0 S′ >. (Позначимо відповідні значення N+S′ і N0S′ .)
б) Припустимо, що ми маємо «прозорі детектори», які можна розміщувати в пучках + і — приладу T. Властивість цих детекторів полягає в тому, що коли частинка проходить крізь такий детектор, він сигналізує про це, не змінюючи спінового стану частинки. Крім того, імпульс частинки не змінюється скільки-небудь помітно в тому розумінні, що її траєкторія всередині установки однакова як за наявності детектора, так і без нього.
Якщо детектори встановлені в позиціях + і – приладу T (позиція 0 заблокована), якими будуть очікувані числа відліків N+T, N–T, N+S′ і N0S′ , якщо з приладу S вилітає N0 частинок?
в) Як зміниться результат для N+S′ в описаному експерименті, якщо після його проведення виявиться, що числа відліків N+T і N–T не реєструвалися?
г) Якщо ефективність кожного детектора дорівнює 50% (тобто у половині випадків частинка, що пролітає крізь детектор, не взаємодіє з ним), чому тоді дорівнюватимуть значення N+S′ і N0S′ ?
д) Чому дорівнюватимуть N+S′ і N0S′ , якщо блокування станів +S і —S вилучені і A′0 частинок виходить з S (детектори з приладу T вилучені)1 Вважайте пучок неполяризованим.
До розділу 4. Спін одна друга
4.1. Уявіть собі, що пучок атомів зі спіном 1/2 фільтрується двома «удосконаленими» приладами Штерна — Герлаха, встановленими один за одним. Припускається, що кожен прилад пропускає лише один пучок, як зображено на фіг. 1.
Зображення
На фіг. 2 наведено кілька варіантів взаємного розташування приладів. Нехай у прилад P потрапляє N неполяризованих атомів. Скільки атомів має з'явитися в точці Q?
Зображення
4.2. У якийсь прилад потрапляє N частинок зі спіном 1/2, причому амплітуди для напрямку спіну вгору і вниз уздовж осі дорівнюють відповідно a і b. Покажіть, що ймовірність виявлення цієї частинки в будь-якій точці всередині приладу дорівнює |aX+bY|2, де X і Y — деякі комплексні сталі, що характеризують прилад. Як виражатиметься ця ймовірність через X і Y, якщо:
1) спін частинки, що влетіла, напрямлений вгору? вниз?
2) спін напрямлений уздовж осі +x? —x?
3) спін напрямлений уздовж осі, напрямок якої визначається полярними кутами θ і φ?
Уявити собі, що спіновий стан частинок, які падають, визначається «волею випадку», можна кількома способами:
а) щоб вирішити, у додатний чи від'ємний бік осі z буде напрямлений спін даного електрона, щоразу кидається монета; б) робиться те саме, але вздовж осі x;
в) спін кожного електрона орієнтується в деякому напрямку θ, φ, але цей напрямок щоразу вибирається випадково, так що потім доводиться все усереднювати за тілесним кутом sinθdθdφ/4π.
Покажіть, що ймовірність виявлення частинки однакова для всіх трьох видів визначення поняття «випадкова орієнтація». Припустимо, що частинки зі спіном 1/2 вилітають з отвору в стінці, а перед цим напрямок їхнього спіну визначається одним із трьох указаних способів. Чи можете ви вигадати якийсь спосіб, за допомогою якого, перебуваючи по «цей» бік стінки, можна визначити, який усе-таки з трьох методів насправді використовувався?
4.3. Три прилади Штерна — Герлаха встановлені один за одним у послідовності, показаній на фіг.1.
Виразіть N, число атомів зі спіном 1/2, що виходять з приладу U, через N0, а число атомів, що виходять з S,—через величини типу <+T"|+U> і т. д.
Потім розгляньте ту саму послідовність приладів, але для випадку, коли поля B орієнтовані згідно зі схемою, наведеною на фіг. 2.
1) спін частинки, що влетіла, напрямлений вгору? вниз?
2) спін напрямлений уздовж осі +x? —x?
3) спін напрямлений уздовж осі, напрямок якої визначається полярними кутами θ і φ?
Уявити собі, що спіновий стан частинок, які падають, визначається «волею випадку», можна кількома способами:
а) щоб вирішити, у додатний чи від'ємний бік осі z буде напрямлений спін даного електрона, щоразу кидається монета; б) робиться те саме, але вздовж осі x;
в) спін кожного електрона орієнтується в деякому напрямку θ, φ, але цей напрямок щоразу вибирається випадково, так що потім доводиться все усереднювати за тілесним кутом sinθdθdφ/4π.
Покажіть, що ймовірність виявлення частинки однакова для всіх трьох видів визначення поняття «випадкова орієнтація». Припустимо, що частинки зі спіном 1/2 вилітають з отвору в стінці, а перед цим напрямок їхнього спіну визначається одним із трьох указаних способів. Чи можете ви вигадати якийсь спосіб, за допомогою якого, перебуваючи по «цей» бік стінки, можна визначити, який усе-таки з трьох методів насправді використовувався?
4.3. Три прилади Штерна — Герлаха встановлені один за одним у послідовності, показаній на фіг.1.
Виразіть N, число атомів зі спіном 1/2, що виходять з приладу U, через N0, а число атомів, що виходять з S,—через величини типу <+T"|+U> і т. д.
Потім розгляньте ту саму послідовність приладів, але для випадку, коли поля B орієнтовані згідно зі схемою, наведеною на фіг. 2.
Зображення
Зокрема,
I) поле B приладу T повернуте антипаралельно
полю B приладу S;
II) поле B приладу U утворює кут θ з віссю z,
а) Отримайте явні вирази для <+Т|–S> і <–T|–S >.
б) Знайдіть явний вигляд <+U|–S>, використовуючи для вправи лише таблиці перетворень під час обертань навколо осей z і y.
в) Розгляньте результат випадку (б) для граничних значень
I) поле B приладу T повернуте антипаралельно
полю B приладу S;
II) поле B приладу U утворює кут θ з віссю z,
а) Отримайте явні вирази для <+Т|–S> і <–T|–S >.
б) Знайдіть явний вигляд <+U|–S>, використовуючи для вправи лише таблиці перетворень під час обертань навколо осей z і y.
в) Розгляньте результат випадку (б) для граничних значень
Зображення
Поясніть відповідь при θ=π, порівнюючи її з <+T|—S> для випадку (а).
4.4. Призма з кальциту розщеплює пучок світла, напрямлений уздовж осі z, на два пучки x і у. Окремий фотон, що падає на цю призму, характеризується певною амплітудою потрапляння в один із цих пучків x, у. Такий самий зразок кальциту, але перевернутий, можна використати для з'єднання цих променів знову в один і т. д., аналогічно до того, як це робиться з частинками в приладі Штерна — Герлаха. Вісь іншої призми T можна розташовувати під кутом θ у площині x — y, переводячи пучок у стани x′, у′ або хТ, уТ. Отримайте амплітуди <xT|xS>, <yt|yS > і т. д., використовуючи свої знання класичної теорії поляризації світла, вважаючи, що за великого числа фотонів у пучку інтенсивність буде добре описуватися цими класичними результатами. Розглядайте повороти лише навколо осі z, оскільки світло не можна «зупинити». (Повороти навколо інших осей можна описувати радше за їхньою дією на напрямок поширення світла, а не на поляризацію; у цьому розумінні світло, хоча воно й є системою з двома станами, дуже сильно відрізняється від електрона, який теж являє собою систему з двома станами.)
4.5. Знайдіть усі чотири елементи матриці <j|A|i>, де індекси i і j можуть набувати значень x і y, для таких приладів, крізь які пропускається світло:
а) x, у — аналізатор із кальциту і такий самий синтезатор, причому промінь y заблокований;
б) той самий прилад, повернутий на кут θ;
в) поляроїд, вісь якого напрямлена вздовж осі x;
г) поляроїд, вісь якого утворює з віссю x кут θ;
д) аналізатор і синтезатор із кальциту, між якими є шар скла, що зсуває фазу
променя x на кут φ;
е) аналізатор і синтезатор із кальциту, причому обидва промені проходять крізь те саме скло;
ж) аналізатор і синтезатор, повернуті на 45°, а також шар скла в промені x, що збільшує фазу на 90°;
з) пластинка завтовшки λ/4;
и) пластинка з двопроменезаломлювальної речовини, причому оптична вісь паралельна осі x (отримайте загальну формулу для довільної товщини шару цієї речовини);
к) розчин цукру, який повертає площину поляризації праворуч на кут θ;
л) пристрій, який розщеплює вихідний промінь на x і y, переводить промінь x у площину y (пропускаючи його крізь розчин цукру, який повертає площину поляризації на 90°) і знову з'єднує обидва промені в один.
м) Покажіть, що за допомогою приладу, описаного в пункті (л), можна збудувати вічний двигун.
4.6. Згідно з теорією бета-розпаду, в одному з окремих випадків цього ядерного перетворення (в тому, що називається «дозволений фермівський перехід» і відбувається без зміни моменту кількості руху та парності ядра) електрон, що рухається вздовж осі z зі швидкістю v, випускається зі спіном уздовж осі z з амплітудою A√1—v/csinθ/2 і зі спіном проти осі z з амплітудою A√1+v/ccosθ/2. (Тут A — деяка константа, θ — кут, який утворює з віссю z напрямок випускання нейтрино. Так уже сталося, що спін антинейтрино завжди орієнтований уздовж напрямку його руху.)
а) Чому дорівнює ймовірність того, що спін напрямлений вгору вздовж осі z? А вниз?
б) Обчисліть ймовірність того, що спін напрямлений уздовж осі +x (нейтрино вилітає в площині xz)? Уздовж напрямку осі —х?
в) Уздовж напрямків ±y? (Строго кажучи, це стосується системи координат, що рухається разом з електроном.)
г) Якщо антинейтрино, як звичайно, не реєструється (тобто за всіма напрямками його випускання проводиться усереднення), якою буде відповідь на питання (а)?
До розділу 5. Залежність амплітуд від часу
5.1. Частинка зі спіном 1 і магнітним моментом μ в магнітному полі, напрямленому вздовж осі z, може перебувати в станах +, 0 і —, енергії яких дорівнюють +μB, 0 і —μB відповідно. Покажіть методами квантової механіки, що в неоднорідному магнітному полі пучок таких частинок розщепиться на три, і знайдіть закони, за якими ці пучки відхиляються, вважаючи відхилення малим. Відповідь має виражатися через протяжність області, в якій діє поле, початковий імпульс частинки і т. д. Потім покажіть, що така частинка буде «прецесувати» (у квантовомеханічному розумінні), використовуючи при цьому коефіцієнти, наведені в § 7 розд. 3 (вип. 8), і міркування розд. 5 (вип. 8). Запропонуйте принаймні два незалежних способи експериментального визначення величини μ.
До розділу 6. Гамільтонова матриця
6.1. Пучок частинок зі спіном 1/2 і магнітним моментом μ проходить крізь фільтр Штерна — Герлаха, що пропускає лише частинки в стані |+ > зі спіном, напрямленим уздовж додатного напрямку осі z. Потім частинки проводять час T в однорідному магнітному полі В0, паралельному осі x. Залишивши це поле, вони потрапляють у другий фільтр Штерна — Герлаха, який пропускає лише частинки в стані |— > (зі спіном вниз) відносно осі z. Вважайте, що μ, і J паралельні.
а) Яке мінімальне значення В0, за якого всі частинки пройдуть крізь другий фільтр?
б) Якщо частинки перебувають у магнітному полі лише половину часу, чому дорівнює ймовірність того, що вони пройдуть крізь другий фільтр?
6.2. Пучок частинок зі спіном 1/2 і магнітним моментом μ проходить крізь прилад Штерна — Герлаха, що пропускає лише частинки в стані |+ > зі спіном, напрямленим уздовж додатного напрямку осі z. Потім пучок потрапляє в магнітне поле, напрямлене під кутом 45° до осі z у площині x—z.
Яка ймовірність того, що по закінченні часу T ці частинки будуть виявлені в станах з Jx=h/2 або Jy=h/2? Вектори μ і J знову вважайте паралельними.
6.3. У момент часу t=0 спін частинки напрямлений уздовж осі +z (величина спіну 1/2). Частинку поміщено всередину приладу, який задає постійну амплітуду перевороту спіну частинки за одиницю часу, що дорівнює iA/h, тобто H12=H21=—A, де A — додатна константа. Крім того, H11=H22 і їх можна покласти рівними нулю.
а) Чому дорівнює ймовірність виявити частинку в момент часу T у стані +z?
б) Знайдіть дві лінійні комбінації амплітуд станів + і —, які відповідали б стаціонарним станам. Чому дорівнюють енергії цих стаціонарних станів?
в) У будь-який момент часу T існує напрямок, уздовж якого спін напрямлений вгору з імовірністю одиниця. Знайдіть цей напрямок.
г) Чи можете ви вигадати фізичний прилад для реалізації розглянутого ефекту.
До розділу 7. Аміачний мазер
7.1. У розд. 7 «Лекцій» (вип. 8) розраховувалася ймовірність переведення молекули аміаку зі стану |II> в стан |I> за допомогою опромінення її радіохвилями з дуже короткою довжиною хвилі; стан |II> має меншу енергію, ніж стан |I>, тому такий перехід відповідає поглинанню енергії випромінювання. Спробуйте розвинути ці ідеї та застосувати їх до обчислення ймовірності індукувати випромінювання молекули аміаку. Яке відношення ймовірності випромінювання до ймовірності поглинання? Як ця ймовірність пов'язана з коефіцієнтами Ейнштейна Атn і Втn, які були визначені у вип. 4, стор. 79? Знайдіть інтенсивність спонтанного випромінювання молекули аміаку.
7.2. Протони з магнітним моментом μ, що перебувають у водному зразку, поміщені в однорідне магнітне поле. Амплітуда поля постійна, а напрямок змінюється з часом (проводиться експеримент з ядерного магнітного резонансу — ЯМР):
4.4. Призма з кальциту розщеплює пучок світла, напрямлений уздовж осі z, на два пучки x і у. Окремий фотон, що падає на цю призму, характеризується певною амплітудою потрапляння в один із цих пучків x, у. Такий самий зразок кальциту, але перевернутий, можна використати для з'єднання цих променів знову в один і т. д., аналогічно до того, як це робиться з частинками в приладі Штерна — Герлаха. Вісь іншої призми T можна розташовувати під кутом θ у площині x — y, переводячи пучок у стани x′, у′ або хТ, уТ. Отримайте амплітуди <xT|xS>, <yt|yS > і т. д., використовуючи свої знання класичної теорії поляризації світла, вважаючи, що за великого числа фотонів у пучку інтенсивність буде добре описуватися цими класичними результатами. Розглядайте повороти лише навколо осі z, оскільки світло не можна «зупинити». (Повороти навколо інших осей можна описувати радше за їхньою дією на напрямок поширення світла, а не на поляризацію; у цьому розумінні світло, хоча воно й є системою з двома станами, дуже сильно відрізняється від електрона, який теж являє собою систему з двома станами.)
4.5. Знайдіть усі чотири елементи матриці <j|A|i>, де індекси i і j можуть набувати значень x і y, для таких приладів, крізь які пропускається світло:
а) x, у — аналізатор із кальциту і такий самий синтезатор, причому промінь y заблокований;
б) той самий прилад, повернутий на кут θ;
в) поляроїд, вісь якого напрямлена вздовж осі x;
г) поляроїд, вісь якого утворює з віссю x кут θ;
д) аналізатор і синтезатор із кальциту, між якими є шар скла, що зсуває фазу
променя x на кут φ;
е) аналізатор і синтезатор із кальциту, причому обидва промені проходять крізь те саме скло;
ж) аналізатор і синтезатор, повернуті на 45°, а також шар скла в промені x, що збільшує фазу на 90°;
з) пластинка завтовшки λ/4;
и) пластинка з двопроменезаломлювальної речовини, причому оптична вісь паралельна осі x (отримайте загальну формулу для довільної товщини шару цієї речовини);
к) розчин цукру, який повертає площину поляризації праворуч на кут θ;
л) пристрій, який розщеплює вихідний промінь на x і y, переводить промінь x у площину y (пропускаючи його крізь розчин цукру, який повертає площину поляризації на 90°) і знову з'єднує обидва промені в один.
м) Покажіть, що за допомогою приладу, описаного в пункті (л), можна збудувати вічний двигун.
4.6. Згідно з теорією бета-розпаду, в одному з окремих випадків цього ядерного перетворення (в тому, що називається «дозволений фермівський перехід» і відбувається без зміни моменту кількості руху та парності ядра) електрон, що рухається вздовж осі z зі швидкістю v, випускається зі спіном уздовж осі z з амплітудою A√1—v/csinθ/2 і зі спіном проти осі z з амплітудою A√1+v/ccosθ/2. (Тут A — деяка константа, θ — кут, який утворює з віссю z напрямок випускання нейтрино. Так уже сталося, що спін антинейтрино завжди орієнтований уздовж напрямку його руху.)
а) Чому дорівнює ймовірність того, що спін напрямлений вгору вздовж осі z? А вниз?
б) Обчисліть ймовірність того, що спін напрямлений уздовж осі +x (нейтрино вилітає в площині xz)? Уздовж напрямку осі —х?
в) Уздовж напрямків ±y? (Строго кажучи, це стосується системи координат, що рухається разом з електроном.)
г) Якщо антинейтрино, як звичайно, не реєструється (тобто за всіма напрямками його випускання проводиться усереднення), якою буде відповідь на питання (а)?
До розділу 5. Залежність амплітуд від часу
5.1. Частинка зі спіном 1 і магнітним моментом μ в магнітному полі, напрямленому вздовж осі z, може перебувати в станах +, 0 і —, енергії яких дорівнюють +μB, 0 і —μB відповідно. Покажіть методами квантової механіки, що в неоднорідному магнітному полі пучок таких частинок розщепиться на три, і знайдіть закони, за якими ці пучки відхиляються, вважаючи відхилення малим. Відповідь має виражатися через протяжність області, в якій діє поле, початковий імпульс частинки і т. д. Потім покажіть, що така частинка буде «прецесувати» (у квантовомеханічному розумінні), використовуючи при цьому коефіцієнти, наведені в § 7 розд. 3 (вип. 8), і міркування розд. 5 (вип. 8). Запропонуйте принаймні два незалежних способи експериментального визначення величини μ.
До розділу 6. Гамільтонова матриця
6.1. Пучок частинок зі спіном 1/2 і магнітним моментом μ проходить крізь фільтр Штерна — Герлаха, що пропускає лише частинки в стані |+ > зі спіном, напрямленим уздовж додатного напрямку осі z. Потім частинки проводять час T в однорідному магнітному полі В0, паралельному осі x. Залишивши це поле, вони потрапляють у другий фільтр Штерна — Герлаха, який пропускає лише частинки в стані |— > (зі спіном вниз) відносно осі z. Вважайте, що μ, і J паралельні.
а) Яке мінімальне значення В0, за якого всі частинки пройдуть крізь другий фільтр?
б) Якщо частинки перебувають у магнітному полі лише половину часу, чому дорівнює ймовірність того, що вони пройдуть крізь другий фільтр?
6.2. Пучок частинок зі спіном 1/2 і магнітним моментом μ проходить крізь прилад Штерна — Герлаха, що пропускає лише частинки в стані |+ > зі спіном, напрямленим уздовж додатного напрямку осі z. Потім пучок потрапляє в магнітне поле, напрямлене під кутом 45° до осі z у площині x—z.
Яка ймовірність того, що по закінченні часу T ці частинки будуть виявлені в станах з Jx=h/2 або Jy=h/2? Вектори μ і J знову вважайте паралельними.
6.3. У момент часу t=0 спін частинки напрямлений уздовж осі +z (величина спіну 1/2). Частинку поміщено всередину приладу, який задає постійну амплітуду перевороту спіну частинки за одиницю часу, що дорівнює iA/h, тобто H12=H21=—A, де A — додатна константа. Крім того, H11=H22 і їх можна покласти рівними нулю.
а) Чому дорівнює ймовірність виявити частинку в момент часу T у стані +z?
б) Знайдіть дві лінійні комбінації амплітуд станів + і —, які відповідали б стаціонарним станам. Чому дорівнюють енергії цих стаціонарних станів?
в) У будь-який момент часу T існує напрямок, уздовж якого спін напрямлений вгору з імовірністю одиниця. Знайдіть цей напрямок.
г) Чи можете ви вигадати фізичний прилад для реалізації розглянутого ефекту.
До розділу 7. Аміачний мазер
7.1. У розд. 7 «Лекцій» (вип. 8) розраховувалася ймовірність переведення молекули аміаку зі стану |II> в стан |I> за допомогою опромінення її радіохвилями з дуже короткою довжиною хвилі; стан |II> має меншу енергію, ніж стан |I>, тому такий перехід відповідає поглинанню енергії випромінювання. Спробуйте розвинути ці ідеї та застосувати їх до обчислення ймовірності індукувати випромінювання молекули аміаку. Яке відношення ймовірності випромінювання до ймовірності поглинання? Як ця ймовірність пов'язана з коефіцієнтами Ейнштейна Атn і Втn, які були визначені у вип. 4, стор. 79? Знайдіть інтенсивність спонтанного випромінювання молекули аміаку.
7.2. Протони з магнітним моментом μ, що перебувають у водному зразку, поміщені в однорідне магнітне поле. Амплітуда поля постійна, а напрямок змінюється з часом (проводиться експеримент з ядерного магнітного резонансу — ЯМР):
Зображення
У початковий момент t=0 спіни всіх протонів напрямлені вздовж магнітного поля (перебувають у стані +1/2). Припустимо, що θ, полярний кут у сферичних координатах, дуже малий. Яким має бути значення ω, щоб спостерігався резонанс? Яка ймовірність того, що частинка має спін, напрямлений вниз у момент часу t, якщо частота ω має резонансне значення?
До розділу 8. Інші системи з двома станами
8.1. Частинку зі спіном 1/2 поміщено в сильне магнітне поле В0. У напрямку, перпендикулярному до В0, прикладено осцилююче магнітне поле2Вn cosω t, причому Вn << В0. Якщо спін частинки спочатку був орієнтований антипаралельно вектору В0, яка ймовірність того, що в момент часу T спін буде напрямлений паралельно цьому вектору?
До розділу 9. Ще системи з двома станами
9.1. Покажіть, що спінові матриці Паулі можна розглядати як компоненти вектора σ, для якого справедливі такі співвідношення:
До розділу 8. Інші системи з двома станами
8.1. Частинку зі спіном 1/2 поміщено в сильне магнітне поле В0. У напрямку, перпендикулярному до В0, прикладено осцилююче магнітне поле2Вn cosω t, причому Вn << В0. Якщо спін частинки спочатку був орієнтований антипаралельно вектору В0, яка ймовірність того, що в момент часу T спін буде напрямлений паралельно цьому вектору?
До розділу 9. Ще системи з двома станами
9.1. Покажіть, що спінові матриці Паулі можна розглядати як компоненти вектора σ, для якого справедливі такі співвідношення:
Зображення
Знайдіть добуток σxσyσz.
9.2. Молекула діоксиду вуглецю має лінійну структуру (ОСО) і з легкістю приєднує зайвий електрон, перетворюючись тим самим на негативний іон. Припустимо, що цей електрон матиме енергію Е0, якщо приєднається до атома кисню, та енергію ЕC, якщо до атома вуглецю. Жодна з цих енергій, однак, не відповідатиме стаціонарному стану, оскільки завжди існує невелика ймовірність переходу зайвого електрона з кисню на вуглець і назад. (Ми вважатимемо ймовірність того, що електрон «перестрибне» безпосередньо з одного атома кисню на інший, нехтовно малою.)
а) Отримайте значення енергії рівнів іона CO2, виразивши їх через Е0, ЕC і ще один параметр.
б) Дайте фізичний опис кожного стаціонарного стану для випадку, коли значення енергій Е0 і ЕC збігаються.
9.3. У молекулі метану CH4 атоми водню розташовуються у вершинах тетраедра, а єдиний атом вуглецю — у центрі тетраедра. В іоні метану бракує електрона на одному з цих чотирьох зв'язків, а замість нього залишається «дірка», яка може «перестрибувати» з одного зв'язку на інший. Це приклад системи з чотирма станами. Спираючись на міркування симетрії, зведіть до мінімуму число різних матричних елементів гамільтоніана та передбачте число різних енергетичних рівнів, які мають спостерігатися в електронній оболонці іона метану. Коливальною і обертальною взаємодією атомів знехтуйте. Виразіть відстань між рівнями через мінімально можливе число матричних елементів.
9.4. Розглянемо шість атомів, розташованих по колу на однакових відстанях один від одного. Додамо зайвий електрон і позначимо базисні стани символами |1 >, |2>, ..., |6>, де |1 > означає, що цей додатковий електрон перебуває в атомі 1, і т. д. Припустимо далі, що цей електрон може перестрибувати зі «свого» атома лише на один із двох сусідніх, але не далі.
Покажіть, що |I> — це стаціонарний стан, якщо амплітуди Сi=<i|I> (де |i> — i-й базисний стан) усі дорівнюють (1/√6)exp(—iEIt/h). Знайдіть ЕI. Скільки ще існує стаціонарних станів у такої системи?
Можна показати, що якщо ψ — стаціонарний стан, то амплітуди Ci= <i| ψ > пов'язані між собою таким чином (за належного вибору сталої δ):
9.2. Молекула діоксиду вуглецю має лінійну структуру (ОСО) і з легкістю приєднує зайвий електрон, перетворюючись тим самим на негативний іон. Припустимо, що цей електрон матиме енергію Е0, якщо приєднається до атома кисню, та енергію ЕC, якщо до атома вуглецю. Жодна з цих енергій, однак, не відповідатиме стаціонарному стану, оскільки завжди існує невелика ймовірність переходу зайвого електрона з кисню на вуглець і назад. (Ми вважатимемо ймовірність того, що електрон «перестрибне» безпосередньо з одного атома кисню на інший, нехтовно малою.)
а) Отримайте значення енергії рівнів іона CO2, виразивши їх через Е0, ЕC і ще один параметр.
б) Дайте фізичний опис кожного стаціонарного стану для випадку, коли значення енергій Е0 і ЕC збігаються.
9.3. У молекулі метану CH4 атоми водню розташовуються у вершинах тетраедра, а єдиний атом вуглецю — у центрі тетраедра. В іоні метану бракує електрона на одному з цих чотирьох зв'язків, а замість нього залишається «дірка», яка може «перестрибувати» з одного зв'язку на інший. Це приклад системи з чотирма станами. Спираючись на міркування симетрії, зведіть до мінімуму число різних матричних елементів гамільтоніана та передбачте число різних енергетичних рівнів, які мають спостерігатися в електронній оболонці іона метану. Коливальною і обертальною взаємодією атомів знехтуйте. Виразіть відстань між рівнями через мінімально можливе число матричних елементів.
9.4. Розглянемо шість атомів, розташованих по колу на однакових відстанях один від одного. Додамо зайвий електрон і позначимо базисні стани символами |1 >, |2>, ..., |6>, де |1 > означає, що цей додатковий електрон перебуває в атомі 1, і т. д. Припустимо далі, що цей електрон може перестрибувати зі «свого» атома лише на один із двох сусідніх, але не далі.Покажіть, що |I> — це стаціонарний стан, якщо амплітуди Сi=<i|I> (де |i> — i-й базисний стан) усі дорівнюють (1/√6)exp(—iEIt/h). Знайдіть ЕI. Скільки ще існує стаціонарних станів у такої системи?
Можна показати, що якщо ψ — стаціонарний стан, то амплітуди Ci= <i| ψ > пов'язані між собою таким чином (за належного вибору сталої δ):
Зображення
Чому дорівнюють ці «належним чином» вибрані значення δ? Побудуйте діаграму рівнів розглядуваної системи й знайдіть відстані між рівнями.
9.5. Молекула складається з трьох однакових атомів, розташованих у вершинах рівностороннього трикутника. У негативному іоні такої молекули є додатковий електрон, здатний перестрибувати з кожного з трьох атомів на будь-який інший.
а) Нехай матричний елемент такого переходу дорівнює —A. Обчисліть відстань між рівнями молекулярного іона.
б) Іон поміщено в електричне поле, напрямок якого лежить у площині іона, а щодо його вершин поле напрямлене так, як показано на рисунку. Якщо напруженість поля така, що потенціальна енергія електрона, розташованого «у вершині» трикутника, на εA=0,01A більша, ніж у двох інших вершинах, як зміняться відстані між рівнями?
До розділу 10. Надтонке розщеплення у водні
10.1. Обчисліть величини розщеплень рівня атома водню з j = 1, поміщеного в міжзоряний простір, де напруженість магнітного поля становить 10–5 гс, на поверхні Землі (приблизно 0,5 гс) і в найсильнішому магнітному полі, яке можна отримати в лабораторних умовах (порядку 100 000 гс). Відповідь виразіть через частоту й через довжину хвилі.
9.5. Молекула складається з трьох однакових атомів, розташованих у вершинах рівностороннього трикутника. У негативному іоні такої молекули є додатковий електрон, здатний перестрибувати з кожного з трьох атомів на будь-який інший.а) Нехай матричний елемент такого переходу дорівнює —A. Обчисліть відстань між рівнями молекулярного іона.
б) Іон поміщено в електричне поле, напрямок якого лежить у площині іона, а щодо його вершин поле напрямлене так, як показано на рисунку. Якщо напруженість поля така, що потенціальна енергія електрона, розташованого «у вершині» трикутника, на εA=0,01A більша, ніж у двох інших вершинах, як зміняться відстані між рівнями?
До розділу 10. Надтонке розщеплення у водні
10.1. Обчисліть величини розщеплень рівня атома водню з j = 1, поміщеного в міжзоряний простір, де напруженість магнітного поля становить 10–5 гс, на поверхні Землі (приблизно 0,5 гс) і в найсильнішому магнітному полі, яке можна отримати в лабораторних умовах (порядку 100 000 гс). Відповідь виразіть через частоту й через довжину хвилі.