У розд. 11 ми розробили теорію поширення електрона чи будь-якої іншої «частинки», наприклад атомного збудження, вздовж кристалічної ґратки. У попередньому розділі ми застосували цю теорію до напівпровідників. Але хоча електронів у нас завжди було багато, ми тим не менш незмінно нехтували будь-якою взаємодією між ними. Це, звісно, було не більш ніж наближення, і ми зараз спробуємо глибше розібратися в самій думці про те, що взаємодією між електронами дозволяється нехтувати. Ми до того ж скористаємося нагодою продемонструвати нові застосування теорії поширення частинок. Оскільки ми, як і раніше, продовжуватимемо нехтувати взаємодією між частинками, то фактично в цьому розділі буде дуже мало нового, хіба що нові застосування. Однак перший приклад, який ми хочемо розглянути,— це приклад, у якому є можливість цілком точно виписати правильні рівняння для випадку, коли «частинок» більше ніж одна. З них ми зможемо побачити, як робиться наближення знехтування взаємодією. Утім, ми не будемо надто ретельно аналізувати цю проблему.
Як перший приклад розглянемо «спінову хвилю» у феромагнітному кристалі.
Теорії феромагнетизму ми торкалися в розд.36 (вип. 7). При нульовій температурі всі спіни електронів, які дають внесок у магнетизм усього феромагнітного кристала, паралельні між собою. Між спінами існує енергія взаємодії, яка найнижча тоді, коли всі спіни спрямовані вниз. Але при ненульовій температурі є якась імовірність того, що частина спінів перевернеться. Цю ймовірність тоді ми наближено підраховували. Цього разу ми розвинемо квантовомеханічну теорію явища, щоб знати, що робити, якщо треба буде розв'язати задачу точніше. Але ми все ще будемо вдаватися до ідеалізації: будемо вважати, що електрони розташовані поблизу атомів, а спіни взаємодіють лише зі своїми сусідами.
Розглянемо таку модель: нехай у кожному атомі всі електрони, крім одного, спарені, і весь магнітний ефект зобов'язаний тому, що в кожному атомі залишається один неспарений електрон зі спіном 1/2. Уявімо ще, що ці електрони розташовані в тих самих вузлах ґратки, де перебувають атоми. Модель у загальних рисах відповідає металевому нікелю.
Крім того, припустімо, що будь-яка пара електронів-сусідів, які обертаються, взаємодіє одна з одною і що кожна така взаємодія додає в енергію системи по доданку:
Як перший приклад розглянемо «спінову хвилю» у феромагнітному кристалі.
Теорії феромагнетизму ми торкалися в розд.36 (вип. 7). При нульовій температурі всі спіни електронів, які дають внесок у магнетизм усього феромагнітного кристала, паралельні між собою. Між спінами існує енергія взаємодії, яка найнижча тоді, коли всі спіни спрямовані вниз. Але при ненульовій температурі є якась імовірність того, що частина спінів перевернеться. Цю ймовірність тоді ми наближено підраховували. Цього разу ми розвинемо квантовомеханічну теорію явища, щоб знати, що робити, якщо треба буде розв'язати задачу точніше. Але ми все ще будемо вдаватися до ідеалізації: будемо вважати, що електрони розташовані поблизу атомів, а спіни взаємодіють лише зі своїми сусідами.
Розглянемо таку модель: нехай у кожному атомі всі електрони, крім одного, спарені, і весь магнітний ефект зобов'язаний тому, що в кожному атомі залишається один неспарений електрон зі спіном 1/2. Уявімо ще, що ці електрони розташовані в тих самих вузлах ґратки, де перебувають атоми. Модель у загальних рисах відповідає металевому нікелю.
Крім того, припустімо, що будь-яка пара електронів-сусідів, які обертаються, взаємодіє одна з одною і що кожна така взаємодія додає в енергію системи по доданку:
Зображення
Тут σ являють собою спіни, а підсумовування йде по всіх парах електронів-сусідів. Ми вже говорили про подібну енергію взаємодії, розглядаючи надтонке розщеплення водню, викликане взаємодією магнітних моментів електрона й протона в атомі водню. Тоді ми виражали це у вигляді Аσe·σp. Цього разу для даної пари, скажімо для електронів з атома № 4 і з атома № 5, гамільтоніан має вигляд —Кσ4σ5. Кожна така пара дає по одному доданку, а весь гамільтоніан (як це буває і з класичними енергіями) є сумою таких доданків для кожної взаємодіючої пари. Енергія написана з множником —K, так що додатне K відповідає феромагнетизму, тобто тому випадку, коли найнижча енергія виходить при паралельності сусідніх спінів. У реальному кристалі можуть з'явитися й інші доданки — взаємодія із сусідом через одного і т. д., але на нашому рівні такі ускладнення нам не знадобляться.
Маючи гамільтоніан (13.1), ми маємо й повний опис феромагнетика (у рамках нашого наближення), тож із нього мають вийти всі магнітні властивості. Крім того, з нього ж мають вийти й термодинамічні властивості при намагнічуванні. Якщо ми зможемо визначити всі рівні енергії, то можна буде знайти й властивості кристала при температурі T, виходячи з того, що для системи ймовірність опинитися в даному стані з енергією E пропорційна е–Е/kT. Ця задача ніколи не була розв'язана до кінця.
Деякі задачі ми зможемо розібрати на простому прикладі, коли всі атоми лежать на одній прямій — випадок одновимірної ґратки. Усі ці уявлення ви потім легко зможете поширити на тривимірну ґратку. Біля кожного атома є електрон; у нього є два можливих стани — або спіном вгору, або вниз, і вся система описується переліком напрямків спінів. Як гамільтоніан системи візьмемо оператор енергії взаємодії. Інтерпретуючи спінові вектори (13.1) як сигма-оператори, або сигма-матриці, ми напишемо для лінійної ґратки
Маючи гамільтоніан (13.1), ми маємо й повний опис феромагнетика (у рамках нашого наближення), тож із нього мають вийти всі магнітні властивості. Крім того, з нього ж мають вийти й термодинамічні властивості при намагнічуванні. Якщо ми зможемо визначити всі рівні енергії, то можна буде знайти й властивості кристала при температурі T, виходячи з того, що для системи ймовірність опинитися в даному стані з енергією E пропорційна е–Е/kT. Ця задача ніколи не була розв'язана до кінця.
Деякі задачі ми зможемо розібрати на простому прикладі, коли всі атоми лежать на одній прямій — випадок одновимірної ґратки. Усі ці уявлення ви потім легко зможете поширити на тривимірну ґратку. Біля кожного атома є електрон; у нього є два можливих стани — або спіном вгору, або вниз, і вся система описується переліком напрямків спінів. Як гамільтоніан системи візьмемо оператор енергії взаємодії. Інтерпретуючи спінові вектори (13.1) як сигма-оператори, або сигма-матриці, ми напишемо для лінійної ґратки
Зображення
У цьому рівнянні для зручності написано множник A/2 (так що деякі з подальших рівнянь у точності збіжаться з рівняннями з розд. 11).
Яким же є найнижчий стан системи? Стан найнижчої енергії — це той стан, коли всі спіни паралельні, скажімо всі дивляться вгору. Цей стан можна позначити I ... + + + + ...>, або | осн.>, щоб підкреслити, що він «основний», найнижчий. Енергію цього стану легко собі уявити. Можна, наприклад, розписати всі сигма-вектори через σx, σy, і σz, акуратно підрахувати, який внесок кожного з них в енергію основного стану, і все потім скласти. Шлях, однак, можна сильно скоротити. У розд. 10, § 2 (вип. 8) ми бачили, що σi·σj може бути виражене через спін-обмінний оператор Паулі:
Яким же є найнижчий стан системи? Стан найнижчої енергії — це той стан, коли всі спіни паралельні, скажімо всі дивляться вгору. Цей стан можна позначити I ... + + + + ...>, або | осн.>, щоб підкреслити, що він «основний», найнижчий. Енергію цього стану легко собі уявити. Можна, наприклад, розписати всі сигма-вектори через σx, σy, і σz, акуратно підрахувати, який внесок кожного з них в енергію основного стану, і все потім скласти. Шлях, однак, можна сильно скоротити. У розд. 10, § 2 (вип. 8) ми бачили, що σi·σj може бути виражене через спін-обмінний оператор Паулі:
Зображення
де оператор рijспин.обм обмінює спіни i-го й j-го електронів. Після цієї підстановки гамільтоніан перетворюється на
Зображення
Тепер уже легко підрахувати, що відбувається в різних станах. Наприклад, якщо і i, і j дивляться вгору, то обмін спінами нічого не змінює, так що Pij, діючи на стан, знову приводить до того самого стану, тобто це рівнозначно множенню на +1. Вираз Pij— 1/2 просто дорівнює 1/2. (Надалі слова «спін-обм» над P ми писати не будемо.)
У основному стані всі спіни спрямовані вгору; отже, обмін будь-якою парою спінів знову приводить до вихідного стану. Основний стан є стаціонарним. Якщо подіяти на нього гамільтоніаном, вийде знову той самий стан, помножений на суму чисел —(A/2), по одному на кожну пару спінів. Іншими словами, енергія системи в основному стані становить по —A/2 на атом.
Тепер підрахуємо енергії деяких збуджених станів. Зручно буде відлічувати енергії від основного стану, тобто як нульову енергію вибрати енергію основного стану. Цього можна досягти, додавши до кожного доданка в гамільтоніані по енергії A/2. Тоді 1/2 в (13.4) просто заміниться одиницею. Наш новий гамільтоніан дорівнюватиме
У основному стані всі спіни спрямовані вгору; отже, обмін будь-якою парою спінів знову приводить до вихідного стану. Основний стан є стаціонарним. Якщо подіяти на нього гамільтоніаном, вийде знову той самий стан, помножений на суму чисел —(A/2), по одному на кожну пару спінів. Іншими словами, енергія системи в основному стані становить по —A/2 на атом.
Тепер підрахуємо енергії деяких збуджених станів. Зручно буде відлічувати енергії від основного стану, тобто як нульову енергію вибрати енергію основного стану. Цього можна досягти, додавши до кожного доданка в гамільтоніані по енергії A/2. Тоді 1/2 в (13.4) просто заміниться одиницею. Наш новий гамільтоніан дорівнюватиме
Зображення
При такому гамільтоніані енергія найнижчого стану дорівнює нулю; спін-обмінний оператор рівнозначний множенню на одиницю (для основного стану), що скорочується з одиницею в кожному доданку.
Для опису станів, відмінних від основного, нам знадобиться своя сукупність базисних станів. Зручно підійти до справи так: згрупувати стани відповідно до того, у скількох електронів спін спрямований вниз: в одного, у двох і т. д. Звісно, станів, коли один спін спрямований вниз, дуже багато: він може бути перевернутий, скажімо, в атома № 4 або в № 5, або в № 6... І можна, звісно, як базисні стани вибрати саме такі стани, позначивши їх |4>, |5>, |6>, ... Однак надалі зручніше, якщо ми будемо позначати «атом, що випадає з ряду» (той, у якого спін спрямований вниз) його координатою x. Іншими словами, ми визначимо стан | х5> як такий, у якому всі електрони обертаються спінами вгору, і лише один (той, що біля атома в точці х5) обертається спіном униз (фіг. 13.1). Взагалі, | хn> позначатиме стан з одним перевернутим спіном, розташованим у координаті хn n-го атома.
Як же діє гамільтоніан (13.5) на стан | х5 >? Один із членів гамільтоніана — це, скажімо, — A (Р7,8—1). Оператор Р7,8 обмінює спінами два сусідні атоми № 7 і № 8. Але в стані | х5> вони обидва спрямовані вгору, так що нічого не змінюється; Р7,8 рівнозначно множенню на одиницю:
Для опису станів, відмінних від основного, нам знадобиться своя сукупність базисних станів. Зручно підійти до справи так: згрупувати стани відповідно до того, у скількох електронів спін спрямований вниз: в одного, у двох і т. д. Звісно, станів, коли один спін спрямований вниз, дуже багато: він може бути перевернутий, скажімо, в атома № 4 або в № 5, або в № 6... І можна, звісно, як базисні стани вибрати саме такі стани, позначивши їх |4>, |5>, |6>, ... Однак надалі зручніше, якщо ми будемо позначати «атом, що випадає з ряду» (той, у якого спін спрямований вниз) його координатою x. Іншими словами, ми визначимо стан | х5> як такий, у якому всі електрони обертаються спінами вгору, і лише один (той, що біля атома в точці х5) обертається спіном униз (фіг. 13.1). Взагалі, | хn> позначатиме стан з одним перевернутим спіном, розташованим у координаті хn n-го атома.
Як же діє гамільтоніан (13.5) на стан | х5 >? Один із членів гамільтоніана — це, скажімо, — A (Р7,8—1). Оператор Р7,8 обмінює спінами два сусідні атоми № 7 і № 8. Але в стані | х5> вони обидва спрямовані вгору, так що нічого не змінюється; Р7,8 рівнозначно множенню на одиницю:
Зображення
Отже, усі члени гамільтоніана, крім тих, куди входить атом № 5, дадуть нуль. Операція Р4,5, діючи на стан |х5>, обмінює спінами атом № 4 (зі спіном угору) і атом № 5 (зі спіном униз). У результаті з'являється стан, у якому всі спіни дивляться вгору, крім атома в точці 4. Іншими словами,
Зображення
Отже, з усього гамільтоніана виживуть тільки члени — A(Р4,5 —1) і —A(P5,6 — 1). Діючи на |х5>, вони дадуть відповідно —A |x4> + A|х5> і —A |x6>+A | х5>. У підсумку
Зображення
Коли гамільтоніан діє на стан | х5>, то виникає певна амплітуда опинитися в станах | x4> і | х6>. Це просто означає, що існує певна амплітуда того, що спрямований донизу спін перескочить до сусіднього атома. Отже, через взаємодію між спінами, якщо спочатку один спін був спрямований вниз, є певна ймовірність того, що пізніше замість нього вниз дивитиметься інший. При дії на стан | хn> гамільтоніан дає
Зображення
Зауважте, зокрема, що якщо взяти повну систему станів лише з одним спіном-«перевертнем», то вони будуть перемішуватися тільки між собою. Гамільтоніан ніколи не перемішає ці стани з іншими, у яких спінів-«перевертнів» більше. Поки ви тільки обмінюєтеся спінами, ви ніколи не зможете змінити загальну кількість перевертнів. Зручно буде використовувати для гамільтоніана матричне позначення, скажімо, Hn,m≡ <xn |H |хm>; рівняння (13.7) еквівалентне такому:
Зображення
Якими ж тепер є рівні енергії для станів з одним перевернутим спіном? Нехай, як завжди, Сn — амплітуда того, що якийсь стан |ψ> перебуває в стані | хn >.Якщо ми хочемо, щоб |ψ> був станом з визначеною енергією, то всі Сn повинні однаково змінюватися з часом, а саме за правилом
Зображення
Підставимо цей пробний розв'язок у наше звичайне рівняння Гамільтона
Зображення
використовуючи як матричні елементи (13.8). Ми, звісно, отримаємо нескінченну кількість рівнянь, але всі їх можна буде записати у вигляді
Зображення
Перед нами знову точнісінько та сама задача, що й у розд. 11, тільки там, де раніше стояло Е0, тепер стоїть 2А. Розв'язки відповідають амплітудам Сn (амплітудам з перевернутим спіном), які поширюються вздовж ґратки зі сталою поширення k і енергією
Зображення
де b — стала ґратки.
Розв'язки з визначеною енергією відповідають «хвилям» перевороту спіна, які називаються «спіновими хвилями». І для кожної довжини хвилі є відповідна енергія. Для великих довжин хвиль (малих k) ця енергія змінюється за законом
Розв'язки з визначеною енергією відповідають «хвилям» перевороту спіна, які називаються «спіновими хвилями». І для кожної довжини хвилі є відповідна енергія. Для великих довжин хвиль (малих k) ця енергія змінюється за законом
Зображення
Як і раніше, ми можемо тепер узяти локалізований хвильовий пакет (що містить, однак, лише довгі хвилі), який відповідає тому, що електрон-«перевертень» опиниться в такій-то частині ґратки. Цей перевернутий спін поводитиметься як «частинка». Оскільки її енергія пов'язана з k формулою (13.13), то ефективна маса «частинки» дорівнюватиме
Зображення
Такі «частинки» іноді називають «магнонами».