У попередньому параграфі ми написали гамільтоніан (13.15) для двочастинкової системи. Потім, користуючись наближенням, еквівалентним знехтуванню будь-якою «взаємодією» між двома частинками, ми знайшли стаціонарні стани, що описуються формулами (13.17) і (13.18). Цей стан просто є добутком двох одночастинкових станів. Але розв'язок, який ми написали для аm,n [формула (13.18)], насправді задовольнити нас не може. Ми з самого початку підкреслювали, що стан | х9, x4> не відрізняється від стану |x4, x9>,що порядок хm і хn неважливий. Взагалі кажучи, алгебраїчний вираз для амплітуди Сm,n не повинен змінюватися від перестановки значень хm і хn, тому що вона не змінює стану. У будь-якому разі вона представлятиме амплітуду того, що спін, спрямований униз, виявиться в хm і в хn. Але зверніть увагу, що (13.18) несиметричне по хm і хn, оскільки k1 і k2, взагалі кажучи, різні.
Уся справа в тому, що ми не змусили наш розв'язок (13.15) підкоритися цій додатковій умові. На щастя, поки що неважко все виправити. Зауважте, по-перше, що анітрохи не гірший за формулу (13.18) інший розв'язок рівняння Гамільтона:
Уся справа в тому, що ми не змусили наш розв'язок (13.15) підкоритися цій додатковій умові. На щастя, поки що неважко все виправити. Зауважте, по-перше, що анітрохи не гірший за формулу (13.18) інший розв'язок рівняння Гамільтона:
Зображення
І навіть енергія тут та сама, що була в (13.18). Отже, будь-яка лінійна комбінація (13.18) і (13.23) також буде розв'язком системи і матиме, як і раніше, енергію, дану (13.19). Розв'язок, який треба вибрати за вимогами симетрії,— просто сума (13.18) і (13.23):
Зображення
Тепер при даних k1 і к2 амплітуда Сm,n не залежить від того, у якому порядку ми беремо хm і хn; якщо ми випадково поставимо хm і хn у зворотному порядку, ми отримаємо ту саму амплітуду. І наше тлумачення рівняння (13.24) мовою «магнонів» теж стане іншим. Уже не можна казати, що рівняння представляє одну частинку з хвильовим числом k1 і іншу частинку з хвильовим числом k2. Амплітуда (13.24) представляє один стан з двома частинками (магнонами). Стан характеризується двома хвильовими числами k1 і k2. Наш розв'язок виглядає як складений стан однієї частинки з імпульсом р1 = k1/h і другої частинки з імпульсом р2 = k2/h, але в цьому стані не можна сказати, де яка частинка.
У цю мить корисно згадати розд. 2 (вип. 8) і нашу розповідь про тотожні частинки. Ми щойно просто показали, що частинки спінових хвиль (магнони) поводяться як тотожні бозе-частинки. Усі амплітуди повинні бути симетричні за координатами двох частинок; це все одно, що сказати, що після «обміну двома частинками» ми знову отримаємо ту саму амплітуду з тим самим знаком. Але ви можете подумати: «Чому ж ми все-таки вирішили в (13.24) додати два члени? Чому не відняти?» Адже при знаку мінус обмін хm і хn просто змінив би знак аm,n, а це не рахується, це не має значення. Але ж обмін хm з хn нічого не змінює — усі електрони кристала залишаться там само, де й були, так що навіть для зміни знака немає, здавалося б, жодного приводу. Але це, звісно, поганий аргумент.
Наше обговорення мало подвійну мету: по-перше, розповісти вам дещо про спінові хвилі; по-друге, продемонструвати стан, амплітуда якого дорівнює добутку двох амплітуд, а енергія дорівнює сумі енергій, що відповідають цим амплітудам. Для незалежних частинок амплітуда виходить множенням, а енергія — додаванням. Чому додаванням — легко зрозуміти. Енергія — це коефіцієнт при t в уявному показнику експоненти; вона пропорційна частоті. Якщо пара об'єктів щось здійснює, один з амплітудою e–iE2t/h, а інший з амплітудою e–iE1t/h , і якщо амплітуда того, що обидві ці речі відбудуться разом, є добутком окремих амплітуд, то в добутку з'явиться єдина частота, що дорівнює сумі двох частот. Енергія, що відповідає добутку амплітуд, є сумою обох енергій.
Нам знадобилося доволі довго говорити, щоб повідомити дуже просту річ: коли ви не враховуєте взаємодії між частинками, ви маєте право розглядати кожну частинку незалежно. Вони можуть окремо існувати в усіляких станах, у яких вони перебували б і порізно, і давати той самий внесок в енергію, який давали б порізно. Однак слід пам'ятати, що якщо частинки тотожні, то вони можуть поводитися як бозе- або фермі-частинки залежно від задачі. Наприклад, пара електронів, додана до кристала, поводиться як фермі-частинки. Обмін місцеположеннями двох електронів приводить до зміни знака амплітуди. У рівнянні, що відповідає (13.24), між двома доданками стоїть знак мінус. Як наслідок цього: дві фермі-частинки не можуть перебувати в точності в одних і тих самих умовах — з однаковими спінами й однаковими k. Амплітуда такого стану нуль.
У цю мить корисно згадати розд. 2 (вип. 8) і нашу розповідь про тотожні частинки. Ми щойно просто показали, що частинки спінових хвиль (магнони) поводяться як тотожні бозе-частинки. Усі амплітуди повинні бути симетричні за координатами двох частинок; це все одно, що сказати, що після «обміну двома частинками» ми знову отримаємо ту саму амплітуду з тим самим знаком. Але ви можете подумати: «Чому ж ми все-таки вирішили в (13.24) додати два члени? Чому не відняти?» Адже при знаку мінус обмін хm і хn просто змінив би знак аm,n, а це не рахується, це не має значення. Але ж обмін хm з хn нічого не змінює — усі електрони кристала залишаться там само, де й були, так що навіть для зміни знака немає, здавалося б, жодного приводу. Але це, звісно, поганий аргумент.
Наше обговорення мало подвійну мету: по-перше, розповісти вам дещо про спінові хвилі; по-друге, продемонструвати стан, амплітуда якого дорівнює добутку двох амплітуд, а енергія дорівнює сумі енергій, що відповідають цим амплітудам. Для незалежних частинок амплітуда виходить множенням, а енергія — додаванням. Чому додаванням — легко зрозуміти. Енергія — це коефіцієнт при t в уявному показнику експоненти; вона пропорційна частоті. Якщо пара об'єктів щось здійснює, один з амплітудою e–iE2t/h, а інший з амплітудою e–iE1t/h , і якщо амплітуда того, що обидві ці речі відбудуться разом, є добутком окремих амплітуд, то в добутку з'явиться єдина частота, що дорівнює сумі двох частот. Енергія, що відповідає добутку амплітуд, є сумою обох енергій.
Нам знадобилося доволі довго говорити, щоб повідомити дуже просту річ: коли ви не враховуєте взаємодії між частинками, ви маєте право розглядати кожну частинку незалежно. Вони можуть окремо існувати в усіляких станах, у яких вони перебували б і порізно, і давати той самий внесок в енергію, який давали б порізно. Однак слід пам'ятати, що якщо частинки тотожні, то вони можуть поводитися як бозе- або фермі-частинки залежно від задачі. Наприклад, пара електронів, додана до кристала, поводиться як фермі-частинки. Обмін місцеположеннями двох електронів приводить до зміни знака амплітуди. У рівнянні, що відповідає (13.24), між двома доданками стоїть знак мінус. Як наслідок цього: дві фермі-частинки не можуть перебувати в точності в одних і тих самих умовах — з однаковими спінами й однаковими k. Амплітуда такого стану нуль.