Дві спінові хвилі

Тепер ми хотіли б з'ясувати, що відбувається, коли є пара перевернутих спінів. Знову почнемо з вибору системи базисних станів. Виберемо такі стани, коли спіни перевернуті у якихось двох місцях (так, як на фіг. 13.2). Ці стани можна, скажімо, позначати х-координатами тих двох вузлів ґратки, у яких опинилися електрони з перевернутим спіном. Те, що на малюнку, можна позначити |х₂, х₅>. У загальному випадку базисні стани будуть |х_n, х_m> — двічі нескінченна сукупність! При такому способі опису стан | x₄, х₉> і стан | х₉, x₄> збігаються, бо кожен із них просто каже, що в точках 4 і 9 спін перевернутий; порядок їх не має значення. Не має також сенсу стан | x₄, x₄ > — такого просто не може бути. Будь-який стан |ψ> ми можемо описати, задавши амплітуди того, що він виявиться в одному з базисних станів.
 
Отже, C_m,n = <х_m, х_n | ψ> тепер означає амплітуду того, що система в стані | ψ> опиниться в стані, коли в електронів, що стоять поблизу m-го і n-го атомів, спіни дивляться вниз. Складнощі, які тепер виникнуть, будуть пов'язані не з ускладненням ідей,— це будуть просто ускладнення в бухгалтерії. (Одна зі складнощів квантової механіки якраз і полягає в громіздкості бухгалтерії. Що більше спінів перевернеться, то складнішими стануть позначення, то більше буде індексів, то страшнішими виглядатимуть рівняння; але самі ідеї зовсім не обов'язково мають ускладнитися.)
 
Рівняння руху спінової системи — це диференціальні рівняння для С_n,m:

Нехай нам знову треба знайти стаціонарні стани. Як завжди, похідні за часом обернуться на E, помножене на амплітуду, a C_m,n заміняться коефіцієнтами а_m,n. Потім треба акуратно розрахувати вплив H на стан з перевернутими спінами m і n. Це зробити неважко. Уявіть на хвилину, що m далеко від n, так що не треба думати, що буде, якщо ... і т. д. Обмінна операція, що виконується в точці х_n, перемістить перевернутий спін або до (n + 1)-го, або до (n — 1)-го атома, так що є ненульова амплітуда того, що теперішній стан вийшов зі стану | х_m, х_n+1>, і амплітуда того, що він походить зі стану |х_m,х_n–1>. Але перемістися міг і другий спін, так що не виключена й якась амплітуда того, що C_m,n живиться від С_m+1,n  або від C_m–1,n. Усі ці ефекти повинні бути однакові. Остаточний вигляд гамільтонового рівняння для С_m,n такий:

Це рівняння придатне завжди, за винятком двох випадків. При т = n рівняння взагалі немає, а при т = n + 1 пара членів у (13.16) повинна зникнути. Цими винятками ми знехтуємо. Ми просто будемо ігнорувати той факт, що деякі з цих рівнянь трохи змінюються. Адже як-не-як кристал вважається нескінченним, і доданків у гамільтоніані незліченно багато; знехтування деякою їх кількістю навряд чи сильно на чомусь позначиться. Отже, у першому грубому наближенні забудьмо про зміни рівнянь. Іншими словами, припустімо, що (13.16) правильне при всіх m і n, навіть коли m і n стоять по сусідству. Це найсуттєвіше в нашому наближенні.
 
Тепер уже розв'язок знайти неважко. Ми негайно отримуємо

Поміркуємо хвилинку про те, що було б, якби в нас були дві незалежні, окремі спінові хвилі (як у попередньому параграфі), що відповідають k = k₁ і k = k₂; їхні енергії з  (13.12) мали б вигляд

Зауважте, що енергія E в (13.19) є якраз їхньою сумою:

Іншими словами, наш розв'язок можна тлумачити так. Є дві частинки, тобто пара спінових хвиль, одна з яких має імпульс, що описується числом k₁, а інша — числом k₂; енергія системи дорівнює сумі енергій цих двох об'єктів. Обидві частинки діють цілком незалежно. Оце і все, що тут є — і нічого більше.
 
Звісно, ми зробили деякі наближення, але наразі ми не будемо обговорювати точність нашої відповіді. Ви, однак, відчуваєте, що в кристалах розумного розміру з мільярдами атомів і, отже, з мільярдами доданків у гамільтоніані великої помилки від знехтування небагатьма доданками не вийде. Якби, звісно, перевернутих спінів стало так багато, що їхня густина була б помітною, то довелося б подбати і про поправки.
 
(Цікаво, що у випадку, коли перевернутих спінів тільки два, можна написати й точний розв'язок. Але результат особливої важливості не становить. Просто цікаво, що в цьому випадку рівняння можна розв'язати точно. Розв'язок такий:

і з хвильовими числами k_с і k, пов'язаними з k₁ і k₂ формулами

У цьому розв'язку відображено й «взаємодію» пари спінів. Він описує той факт, що коли спіни зближуються, виникає якась імовірність їхнього розсіяння. Поведінка спінів дуже схожа на взаємодію частинок. Але докладна теорія їхнього розсіяння виходить за межі того, про що ми тут зібралися говорити.)