Две спиновые волны

Теперь мы хотели бы выяснить, что происходит, когда имеется пара перевернутых спинов. Опять начнем с выбора системы базисных состояний. Выберем такие состояния, когда спины перевернуты в каких-то двух местах (так, как на фиг. 13.2). Эти состояния можно, скажем, отмечать х-координатами тех двух узлов решетки, в которых оказались электроны с перевернутым спином. То, что на рисунке, можно обозначить |х₂, х₅>. В общем случае базисные состояния будут |х_n, х_m> — дважды бесконечная совокупность! При таком способе описания состояние | x₄, х₉> и состояние | х₉, x₄> совпадают, потому что каждое из них просто говорит, что в точках 4 и 9 спин перевернут; порядок их не имеет значения. Не имзет также смысла состояние | x₄, x₄ > — такого просто быть не может. Любое состояние |ψ> мы можем описать, задав амплитуды того, что оно обнаружится в одном из базисных состояний.
 
Итак, C_m,n = <х_m, х_n | ψ> теперь означает амплитуду того, что система в состоянии | ψ> окажется в состоянии, когда у электронов, стоящих вблизи m-го и n-го атомов, спины смотрят вниз. Сложности, которые теперь возникнут, будут связаны не с усложнением идей,— это будут просто усложнения в бухгалтерии. (Одна из сложностей квантовой механики как раз и состоит в громоздкости бухгалтерии. Чем больше спинов перевернется, тем сложнее станут обозначения, тем больше будет индексов, тем страшнее будут выглядеть уравнения; но сами идеи вовсе не обязательно должны усложниться.)
 
Уравнения движения спиновой системы — это дифференциальные уравнения для С_n,m:

Пусть нам опять нужно найти стационарные состояния. Как обычно, производные по времени обратятся в E, умноженное на амплитуду, a C_m,n заменятся коэффициентами а_m,n. Затем надо аккуратно рассчитать влияние H на состояние с перевернутыми спинами m и n. Это сделать нетрудно. Представьте на минуту, что m далеко от n, так что не нужно думать, что будет, если ... и т. д. Обменная операция, производимая в точке х_n, передвинет перевернутый спин либо к (n + 1)-му, либо к (n — 1)-му атому, так что имеется ненулевая амплитуда того, что теперешнее состояние получилось из состояния | х_m, х_n+1>, и амплитуда того, что оно произошло из состояния |х_m,х_n–1>. Но передвинуться мог и второй спин, так что не исключена и какая-то амплитуда того, что C_m,n питается от С_m+1,n  или от C_m–1,n. Все эти эффекты должны быть одинаковы. Окончательный вид гамильтонова уравнения для С_m,n таков:

Это уравнение пригодно всегда, за исключением двух случаев. При т = n уравнения вообще нет, а при т = n + 1 пара членов в (13.16) должна пропасть. Этими исключениями мы пренебрежем. Мы просто будем игнорировать тот факт, что некоторые из этих уравнений слегка меняются. Ведь как-никак кристалл считается бесконечным и слагаемых в гамильтониане бесчисленно много; пренебрежение некоторым их числом вряд ли сильно на чем-то скажется. Итак, в первом грубом приближении давайте позабудем об изменениях уравнений. Иными словами, допустим, что (13.16) верно при всех m и n, даже когда m и n стоят по соседству. Это самое существенное в нашем приближении.
 
Теперь уже решение отыскать нетрудно. Мы немедленно получаем

Поразмыслим минутку о том, что было бы, если бы у нас были две независимые, отдельные спиновые волны (как в предыдущем параграфе), соответствующие k = k₁ и k = k₂; их энергии из  (13.12) имели бы вид

Заметьте, что энергия E в (13.19) является как раз их суммой:

Иными словами, наше решение можно толковать следующим образом. Имеются две частицы, т. е. пара спиновых волн, одна из которых обладает импульсом, описываемым числом k₁ а другая — числом k₂; энергия системы равна сумме энергий этих двух объектов. Обе частицы действуют совершенно независимо. Вот и все, что в этом есть — и ничего больше.
 
Конечно, мы сделали некоторые приближения, но в данный момент мы не будем обсуждать точность нашего ответа. Вы, однако, чувствуете, что в кристаллах разумного размера с миллиардами атомов и, стало быть, с миллиардами слагаемых в гамильтониане большой ошибки от пренебрежения немногими слагаемыми не выйдет. Если бы, конечно, перевернутых спинов стало так много, что их плотность была бы заметной, то пришлось бы позаботиться и о поправках.
 
(Интересно, что в случае, когда перевернутых спинов только два, можно написать и точное решение. Но результат особой важности не представляет. Просто интересно, что в этом случае уравнения можно решить точно. Решение таково:

и с волновыми числами k_с и k, связанными с k₁ и k₂ формулами

В этом решении отражено и «взаимодействие» пары спинов. Оно описывает тот факт, что когда спины сближаются, возникает какая-то вероятность их рассеяния. Поведение спинов очень похоже на взаимодействие частиц. Но подробная теория их рассеяния выходит за пределы того, о чем мы здесь собрались говорить.)