Повороти навколо осі х

Ви, мабуть, подумаєте: «Це стає смішним. Чого ж нас тепер будуть учити — поворотів на 47° навколо осі y, потім на 33° навколо x? Чи довго це триватиме?» Ні, виявляється, я майже все розповів. Знаючи лише два перетворення — на 90° навколо осі y і на довільний кут навколо осі z (як ви пам'ятаєте, саме з цього ми почали),— ми вже здатні виконувати будь-які повороти.
 
Для ілюстрації припустімо, що нас цікавить поворот на кут α навколо осі x. Ми знаємо, як бути з поворотом на кут α навколо осі z, але нам потрібен поворот навколо осі x. Як його визначити? Спершу повернемо вісь z вниз до осі x, а це є поворот на +90° навколо осі y (фіг. 4.8). Потім навколо осі z′ повернемося на кут α. А потім повернемося на —90° навколо осі y″. Підсумок цих трьох поворотів той самий, що й при повороті навколо осі x на кут α. Такою є властивість простору.
 
(Усі ці поєднання поворотів і їхній результат дуже важко собі уявити. Чи не дивно, що, живучи в трьох вимірах, ми все ж насилу сприймаємо, що станеться, якщо спершу повернутися так, а потім ще якось. Імовірно, якби ми були птахами чи рибами і якби ми на власному досвіді знали, що буває, коли весь час крутиш різні сальто в просторі, нам було б легше сприймати  подібні речі.)
 
У всякому разі, давайте виведемо перетворення для повороту на кут α навколо осі x, користуючись тим, що нам уже відомо. При першому повороті на +90° навколо осі y амплітуди  підпорядковуються закону (4.32). Якщо повернуті осі позначити x′, y′ і z′ , то наступний поворот на кут α навколо осі z′ переводить нас у систему відліку х″,   у″,   z″, для якої

Останній поворот на —90° навколо осі y″ переводить нас у систему х′″, у′″, z′″; з (4.33) випливає

Поєднуючи ці два останні перетворення, отримуємо

Підставляючи  сюди замість С′₊ і С′_ (4.32),   прийдемо до повного перетворення

А якщо згадати, що

то ці формули можна записати простіше:

Це і є наше шукане перетворення для повороту навколо осі x на будь-який кут α. Воно лише трохи складніше за решту.