Повороти на 180° і на 90° навколо осі у

Тепер спробуємо підібрати перетворення для повороту T (стосовно S) на 180° навколо осі, перпендикулярної до осі z, скажімо навколо осі y. (Осі координат ми визначили на фіг. 4.1.) Іншими словами, беруться два однакові прилади Штерна — Герлаха, і другий із них, T, перевертається відносно першого, S, «догори ногами» (фіг. 4.6). Якщо розглядати частинки як маленькі магнітні диполі, то частинка, яка перебуває в стані (+S) (у першому приладі вона обирає «верхній» шлях), і в другому приладі обирає «верхній» шлях, тобто опиниться стосовно T у мінус-стані. (У перевернутому приладі T перевертаються і поле, і напрямок його градієнта; для частинки із заданим напрямком магнітного моменту сила не змінюється.) Те, що для S було «верхом», для T буде «низом». Для такого взаємного розташування S і T перетворення, природно, повинні дати

Як і раніше, не можна виключити додаткові фазові множники; насправді може виявитися, що

де β і γ ще підлягають визначенню.
 
А що можна сказати про поворот навколо осі y на кут 360°? Ми вже знаємо відповідь для повороту на 360° навколо осі z: амплітуда перебування в будь-якому стані змінює знак. Повороти на 360° навколо будь-якої осі завжди приводять прилад у попереднє положення. Таким чином, результат будь-якого повороту на 360° повинен бути таким самим, як і при повороті на 360° навколо осі z,—усі амплітуди повинні просто перемінити знак. Тепер уявімо собі два послідовні повороти на 180° навколо осі y за формулою (4.20); після них повинен вийти результат (4.18). Іншими словами,

Отже,   γ =–β + π,  і  перетворення  для повороту на 180° навколо осі y може бути записане так:

Міркування, якими ми щойно користувалися, однаковою мірою застосовні до поворотів на 180° навколо будь-якої осі в площині ху, хоча, звичайно, повороти навколо різних осей дадуть для β різні числа. Але це єдине, чим вони можуть відрізнятися. У числі β є певне свавілля, але, щойно воно визначене для якоїсь однієї осі в площині ху, воно визначається і для всіх інших осей. Прийнято вибирати β=0 для поворотів на 180° навколо осі y.
 
Щоб показати, що свобода такого вибору в нас є, припустімо, що ми вирішили, що β не дорівнює нулю для повороту навколо осі y; тоді можна показати, що в площині ху існує якась інша вісь, для якої відповідна фаза буде нулем. Знайдемо фазовий множник β_A для осі A, що утворює з віссю y кут α, як показано на фіг. 4.7, а. (Для зручності на малюнку кут α від'ємний, але це неважливо.) Якщо тепер ми візьмемо прилад T, спочатку спрямований так само, як і S, а потім повернемо його навколо осі A на 180°, то його осі — назвемо їх х″, y″, z″— розташуються так, як на фіг. 4,7, а. Амплітуди стосовно T тоді стануть

Але тієї самої орієнтації можна досягти двома послідовними поворотами, показаними на фіг. 4.7, б і в. Візьмемо спочатку прилад U, повернутий стосовно S на 180° навколо осі y. Осі х′, y′ і z′ приладу U будуть такими, як на фіг. 4.7, б, а амплітуди стосовно U даватимуться формулою  (4.22).
Зауважте тепер, що від U до T можна перейти, повернувши прилад U навколо «осі z», тобто навколо z′, як показано на фіг. 4.7, в. З малюнка видно, що потрібний кут удвічі більший за кут α, але спрямований у протилежний бік (стосовно z′). Використовуючи перетворення (4.19) з φ=—2α, отримуємо

Підставляючи (4.22) в (4.24), отримуємо

Ці амплітуди, звичайно, повинні збігтися з отриманими в (4.23). Отже, β_A повинно бути пов'язане з α і β формулою

Це означає, що якщо кут α між віссю A і віссю y (приладу S) дорівнює β, то в перетворенні повороту на 180° навколо осі A  стоятиме β_A=0.
 
Але оскільки у якоїсь з осей, перпендикулярних до осі z, може виявитися β=0, то ніщо не заважає прийняти цю вісь за вісь y. Це всього лише питання домовленості, і ми приймемо це в загальному випадку. Підсумок: для повороту на 180° навколо осі y ми маємо

Продовжуючи міркувати про повороти навколо осі y, перейдемо тепер до матриці перетворення для поворотів на 90°. Ми в змозі встановити її вигляд, оскільки знаємо, що два послідовні повороти на 90° навколо однієї й тієї самої осі — це те саме, що один поворот на 180°. Напишемо перетворення для 90° у найзагальнішій формі:

Другий поворот на 90° навколо тієї самої осі мав би ті самі коефіцієнти:

Підставляючи (4.28) в (4.29), отримуємо

Однак з (4.27) нам відомо, що

тож повинно бути

Цих чотирьох рівнянь цілком достатньо, щоб визначити всі наші невідомі a, b, с і d. Зробити це неважко. Погляньте на друге й четверте рівняння. Ви бачите, що a²=d², звідки або a=d, або a=–d. Але останнє відпадає, тому що тоді не виконувалося б перше рівняння. Отже, d=a. А тоді відразу ж виходить b=1/2a і c=–1/2а. Тепер усе виражено через a. Підставляючи,  скажімо,  у друге рівняння значення b і с, отримуємо

З чотирьох розв'язків цього рівняння тільки два приводять до детермінанта стандартної форми. Ми можемо прийняти а=1/√2;тоді

Іншими словами, для двох приладів S і T за умови, що T повернутий відносно S на 90° навколо осі y, перетворення має вигляд

Ці рівняння можна, звичайно, розв'язати відносно С₊ і С_; це дасть нам перетворення при повороті навколо осі y на —90°. Переставивши ще й штрихи, ми напишемо