Тепер ми вже підготовлені до того, щоб відшукати матрицю перетворення Rji,що пов'язує два різні представлення. Володіючи нашим правилом об'єднання поворотів і нашим припущенням, що в просторі немає переважного напрямку, ми володіємо ключем для відшукання матриці будь-якого довільного повороту. Розв'язок тут лише один. Почнемо з перетворення, яке відповідає повороту навколо осі z. Нехай є два прилади S і T, поставлені один за одним уздовж однієї прямої; їхні осі паралельні й дивляться зі сторінки на вас (фіг. 4.4, а). Цей їхній напрямок ми приймемо за вісь z. Ясно, що якщо пучок у приладі S іде вгору (до + z), то те саме буде і в апараті T. Точно так само, якщо він у S іде вниз, то й у T він спрямується вниз.
Покладемо, однак, що прилад T був повернутий на якийсь кут, але його вісь, як і раніше, паралельна осі приладу S, як на фіг. 4.4, б. Інтуїтивно хочеться сказати, що пучок (+) у S буде, як і раніше, переходити в пучок (+) у T, тому що і поля, і їхні градієнти характеризуються тим самим фізичним напрямком. І це цілком правильно. Точно так само і пучок (—) у S переходитиме в пучок (—) у T. Той самий результат застосовний для будь-якої орієнтації T у площині ху приладу S. Що ж звідси випливає для зв'язку між С′+ = <+T | ψ>, С′_ = <–T | ψ> і С+ = <+S | ψ>, С_ = <–S | ψ>? Можна подумати, що будь-який поворот навколо осі z «системи відліку» базисних станів залишає амплітуди С± перебування «вгорі» і «внизу» тими самими, що й раніше, і написати С′+= С+ і С′_= С_. Але це невірно. Усе, що можна звідси укласти,— це те, що за таких поворотів ймовірності опинитися у «верхньому» пучку приладів S і T однакові, тобтоЗображення
Але ми не маємо права стверджувати, що фази амплітуд, які стосуються приладу T, не можуть у двох різних орієнтаціях а і б (фіг. 4.4) відрізнятися.Пари приладів, показаних на фіг. 4.4, насправді відрізняються один від одного, у чому можна переконатися таким чином. Припустімо, що ми перед приладом S поставили інший, що створює чистий (+x)-стан. (Вісь x спрямована на малюнку вниз.) Ці частинки розщеплювалися б у S на пучки (+z) і (—z), але на виході з S (у точці Р1) обидва пучки знову з'єднувалися б і відновлювали стан (+ x). Потім те саме відбувалося б у T. Якби за T поставити третій прилад U, вісь якого спрямована по (+ x), як показано на фіг. 4.5, а, то всі частинки пішли б у пучок (+) приладу U. Тепер уявімо, що станеться, якщо T і U разом повернути на 90°, як показано на фіг. 4.5, б. Прилад T знову пропускатиме все, що в нього надходить, так що частинки, які входять в U, будуть у (+ x)-стані стосовно S. Але U тепер аналізує стан (+y) (стосовно S), а це зовсім не те, що раніше. (Із симетрії слід очікувати, що крізь нього пройде тільки половина частинок.)
Що ж могло змінитися? Прилади T і U стосовно один одного розташовані однаково. Чи могла змінитися фізика просто через те, що T і U інакше орієнтовані? Ні, свідчить наше початкове припущення. Отже, відрізнятися у двох випадках, показаних на фіг. 4.5, повинні амплітуди стосовно T. Те саме повинно бути, отже, і на фіг. 4.4. Частинка повинна якось уміти дізнаватися, що в Р1 вона завернула за кут. Як же вона може про це повідати? Що ж, залишається тільки одне: величини С′+ і С′+ в обох випадках однакові, але можуть — а насправді повинні — мати різні фази. Ми приходимо до висновку, що С′+ і С+ повинні бути пов'язані формулоюЗображення
де λ і μ — дійсні числа, які якось повинні бути пов'язані з кутом між S і T.
У цей момент єдине, що ми можемо сказати про λ і μ,— це те, що вони не можуть бути рівними одне одному (крім показаного на фіг. 4.5, а особливого випадку, коли T і S орієнтовані однаково). Ми бачили, що зміна всіх амплітуд на одну й ту саму фазу ні до яких фізичних наслідків не приводить. З тієї ж причини завжди можна додати до λ і μ будь-яке стале число — це теж нічого не змінить. Отже, нам постає можливість вибрати λ і μ рівними плюс і мінус одному й тому самому числу. Завжди можна взяти
У цей момент єдине, що ми можемо сказати про λ і μ,— це те, що вони не можуть бути рівними одне одному (крім показаного на фіг. 4.5, а особливого випадку, коли T і S орієнтовані однаково). Ми бачили, що зміна всіх амплітуд на одну й ту саму фазу ні до яких фізичних наслідків не приводить. З тієї ж причини завжди можна додати до λ і μ будь-яке стале число — це теж нічого не змінить. Отже, нам постає можливість вибрати λ і μ рівними плюс і мінус одному й тому самому числу. Завжди можна взяти
Зображення
Отже, ми домовимося вважати μ = — λ і прийдемо до загального правила, що поворот приладу, стосовно якого ведеться відлік, навколо осі z на якийсь кут приводить до перетворення
Зображення
Абсолютні значення однакові, а фази різні. Саме ці фазові множники і відповідають за різні результати двох дослідів, показаних на фіг. 4.5.
Тепер треба дізнатися закон, що зв'язує λ з кутом між S і T. Для одного випадку відповідь відома. Якщо кут — нуль, то і λ — нуль. Тепер припустімо, що фазовий зсув λ є неперервною функцією кута φ між S і T (див. фіг. 4.4) при φ, що прямує до нуля. Очевидно, це єдине розумне припущення. Іншими словами, якщо звернути T з прямої лінії S на малий кут ε, то й λ теж буде малим числом, скажімо mε, де m — якийсь коефіцієнт. Ми пишемо mε, тому що можемо довести, що λ зобов'язана бути пропорційною ε. Якби ми поставили за T новий прилад T′, що теж утворює з T кут ε, а з S тим самим утворює кут 2ε, то стосовно T ми б мали
Тепер треба дізнатися закон, що зв'язує λ з кутом між S і T. Для одного випадку відповідь відома. Якщо кут — нуль, то і λ — нуль. Тепер припустімо, що фазовий зсув λ є неперервною функцією кута φ між S і T (див. фіг. 4.4) при φ, що прямує до нуля. Очевидно, це єдине розумне припущення. Іншими словами, якщо звернути T з прямої лінії S на малий кут ε, то й λ теж буде малим числом, скажімо mε, де m — якийсь коефіцієнт. Ми пишемо mε, тому що можемо довести, що λ зобов'язана бути пропорційною ε. Якби ми поставили за T новий прилад T′, що теж утворює з T кут ε, а з S тим самим утворює кут 2ε, то стосовно T ми б мали
Зображення
Але ми знаємо, що повинні були б отримати той самий результат, якби відразу за S поставили T′! Отже, коли кут подвоюється, то подвоюється і фаза. Ці аргументи ми можемо, природно, узагальнити і побудувати будь-який поворот із послідовних нескінченно малих поворотів. Ми доходимо висновку, що λ пропорційна φ для будь-якого кута φ. Тому завжди можна писати λ = mφ.
Загальний отриманий нами результат полягає, отже, у тому, що для T, повернутого навколо осі z відносно S на кут φ,
Загальний отриманий нами результат полягає, отже, у тому, що для T, повернутого навколо осі z відносно S на кут φ,
Зображення
Для кута φ і для всіх поворотів, які зустрінуться нам у майбутньому, ми домовимося вважати, що додатним поворотом буде поворот правого гвинта, який угвинчується в додатному напрямку z.
Тепер залишається дізнатися, яким повинно бути m. Спробуємо спершу таке міркування: нехай T повернувся на 360°; ясно, що тоді він знову опиниться під нулем градусів, і ми повинні будемо мати С′+ = С+ і С′_= С_, або, що те саме, eim2π= 1. Ми отримуємо m = 1. Це міркування не годиться!
Щоб переконатися в цьому, припустімо, що T повернутий на 180°. Якби б m дорівнювало одиниці, ми отримали б С′+= eiπ С+= – С+ і C′–= eiπ С_ = – С_. Але це просто знову вийшов би початковий стан. Обидві амплітуди просто помножені на —1; це повертає нас до вихідної фізичної системи. (Знову випадок загальної зміни фаз.) Це означає, що якщо кут між T і S на фіг. 4.5, б збільшується на 180°, то система (стосовно T) виявляється невідмінною від випадку 0°, і частинки повинні знову проходити через стан (+) приладу U. Але при 180° стан (+) приладу U — це стан (—x) початкового приладу S. Тож стан (+x) стане станом (—x). Але ж ми нічого не робили для зміни початкового стану; відповідь тому помилкова. Не може бути, щоб m = 1.
Ні, все повинно бути інакше: треба, щоб тільки поворот на 360° (і ні на які менші кути) відтворював той самий фізичний стан. Це станеться при m =1/2. Тоді і тільки тоді першим кутом, що відтворює той самий фізичний стан, буде кут φ = 360° *. При цьому буде
Тепер залишається дізнатися, яким повинно бути m. Спробуємо спершу таке міркування: нехай T повернувся на 360°; ясно, що тоді він знову опиниться під нулем градусів, і ми повинні будемо мати С′+ = С+ і С′_= С_, або, що те саме, eim2π= 1. Ми отримуємо m = 1. Це міркування не годиться!
Щоб переконатися в цьому, припустімо, що T повернутий на 180°. Якби б m дорівнювало одиниці, ми отримали б С′+= eiπ С+= – С+ і C′–= eiπ С_ = – С_. Але це просто знову вийшов би початковий стан. Обидві амплітуди просто помножені на —1; це повертає нас до вихідної фізичної системи. (Знову випадок загальної зміни фаз.) Це означає, що якщо кут між T і S на фіг. 4.5, б збільшується на 180°, то система (стосовно T) виявляється невідмінною від випадку 0°, і частинки повинні знову проходити через стан (+) приладу U. Але при 180° стан (+) приладу U — це стан (—x) початкового приладу S. Тож стан (+x) стане станом (—x). Але ж ми нічого не робили для зміни початкового стану; відповідь тому помилкова. Не може бути, щоб m = 1.
Ні, все повинно бути інакше: треба, щоб тільки поворот на 360° (і ні на які менші кути) відтворював той самий фізичний стан. Це станеться при m =1/2. Тоді і тільки тоді першим кутом, що відтворює той самий фізичний стан, буде кут φ = 360° *. При цьому буде
Зображення
Дуже курйозно раптом виявити, що поворот приладу на 360° приводить до нових амплітуд. Але насправді вони не нові, тому що одночасна зміна знака ні до якої нової фізики не приводить. Якщо хтось задумає перемінити всі знаки в усіх амплітуд, подумавши, що він повернувся на 360°, то це його справа — фізику він отримає ту саму, попередню. Отже, наша остаточна відповідь така: якщо ми знаємо амплітуди С + і С_ для частинок зі спіном 1/2 стосовно системи відліку S і якщо потім ми використовуємо базисну систему, пов'язану з T (T виходить із S поворотом на φ відносно осі z), то нові амплітуди виражаються через старі так:
Зображення
