У попередньому розділі ми, користуючись як прикладом системою зі спіном 1, накидали загальні принципи квантової механіки.
Будь-який стан ψ можна описати через сукупність базисних станів, задавши амплітуди перебування в кожному з них.
Амплітуда переходу з одного стану в інший може бути в загальному випадку записана у вигляді суми добутків амплітуд переходу в один із базисних станів на амплітуди переходу з цих базисних станів у кінцеве положення; у суму неодмінно входять члени, що стосуються кожного базисного стану:
Будь-який стан ψ можна описати через сукупність базисних станів, задавши амплітуди перебування в кожному з них.
Амплітуда переходу з одного стану в інший може бути в загальному випадку записана у вигляді суми добутків амплітуд переходу в один із базисних станів на амплітуди переходу з цих базисних станів у кінцеве положення; у суму неодмінно входять члени, що стосуються кожного базисного стану:
Зображення
Базисні стани ортогональні один одному — амплітуда перебування в одному, якщо ви перебуваєте в іншому, дорівнює нулю:
Зображення
Амплітуда переходу з одного стану в інший комплексно спряжена амплітуді зворотного переходу
Зображення
Ми трохи поговорили про те, що базис для станів може бути не один і що можна скористатися (4.1), щоб перейти від одного базису до іншого. Нехай, наприклад, ми знаємо амплітуди <iS |ψ > виявлення стану ψ у будь-якому з базисних станів i базисної системи S, але потім вирішуємо, що краще описувати стан у термінах іншої сукупності базисних станів — скажімо, станів j, що належать до базису T. Ми тоді можемо підставити в загальну формулу (4.1) jT замість x і отримати
Зображення
Амплітуди виявлення стану (ψ) у базисних станах (jT) пов'язані з амплітудами його виявлення в базисних станах (iS) сукупністю коефіцієнтів <jT | iS>. Якщо базисних станів N, то таких коефіцієнтів усього N2. Цю сукупність коефіцієнтів часто називають «матрицею перетворення від представлення S до представлення T». Математично це виглядає страшнувато, але варто все трохи позначити інакше, і виявляється, що нічого страшного немає. Якщо позначити через Сi амплітуду того, що стан ψ перебуває в базисному стані iS, тобто Ci = < iS | ψ>, а через C′j назвати відповідні амплітуди для базисної системи T, тобто C′j= <jT | ψ>, то (4.4) можна записати у вигляді
Зображення
де Rji — те саме, що й <jT | iS>. Кожна амплітуда C′j є сумою за всіма i одного ряду коефіцієнтів Rji, помножених на кожну амплітуду Сi. Це виглядає так само, як перетворення вектора від однієї системи координат до іншої.
Але не будемо надто довго захоплюватися абстракцією. Ми вже наводили пару прикладів цих коефіцієнтів для випадку спіну 1, і ви самі можете розібратися, як ними користуватися практично. Але, з іншого боку, у квантової механіки є дуже гарна властивість: з того факту, що станів тільки три, використовуючи лише властивості симетрії простору щодо обертань, вона вміє суто відстороненим шляхом обчислити ці коефіцієнти. Наводити на такій ранній стадії ці міркування було б недобре: перш ніж ви «повернулися б на землю», ви могли б утонути в новому морі абстракцій. Однак усе це настільки гарно, що ми свого часу це неодмінно зробимо.
У цьому ж розділі ми покажемо вам, як можна отримати коефіцієнти перетворень для частинок зі спіном 1/2. Ми обрали цей випадок тому, що він простіший за спін 1. Завдання полягає в тому, щоб визначити коефіцієнти Rji для частинки, або атомної системи, яка в апараті Штерна — Герлаха розщеплюється на два пучки. Ми збираємося вивести всі коефіцієнти для перетворення від одного представлення до іншого шляхом чистого міркування плюс кілька припущень. Якісь припущення завжди потрібні для того, щоб користуватися «чистими» міркуваннями! Хоча наші докази будуть абстрактними і трохи заплутаними, результат, який ми отримаємо, сформулювати легко і зрозуміти просто; сам же по собі він буде дуже важливим. Можете, якщо завгодно, розглядати це як свого роду культурний захід. Ми ж уже домовилися, що все суттєве, виведене тут, буде також виводитися в міру потреби в наступних розділах іншим шляхом. Тож не бійтеся втратити нитку нашого викладу квантової механіки, якщо повністю пропустите цей розділ або вивчите його пізніше. Захід «культурний» у тому сенсі, що він має показати вам, що принципи квантової механіки не тільки цікаві, а й настільки глибокі, що, додавши до них лише кілька додаткових гіпотез про структуру простору, ми зможемо вивести величезну кількість властивостей фізичних систем. Крім того, важливо розуміти, звідки випливають різні наслідки квантової механіки. Поки наші закони фізики неповні (а так воно і є насправді), завжди цікаво з'ясувати, у яких місцях наші теорії перестають узгоджуватися з досвідом — там, де наша логіка найкраща, чи там, де вона найгірша. Дотепер виявлялося, що там, де наша логіка найбільш абстрактна, там вона завжди дає правильні результати — теорія узгоджується з досвідом. Тільки тоді, коли ми намагаємося будувати конкретні моделі внутрішньої будови елементарних частинок та їхньої взаємодії, тільки тоді ми виявляємося не в змозі знайти теорію, узгоджену з експериментом. Та теорія, яку ми маємо намір описати тут, узгоджується з досвідом усюди, де її випробовували; вона так само добра для дивних частинок, як і для електронів, протонів тощо.
Ще одне неприємне (але важливе) зауваження: коефіцієнти Rji неможливо визначити однозначно, тому що в амплітудах ймовірностей завжди є якесь свавілля. Якщо у вас є ряд яких завгодно амплітуд, скажімо амплітуд приходу в якесь місце за цілою множиною різних шляхів, і якщо ви помножите кожну окрему амплітуду на один і той самий фазовий множник, скажімо на еiδ то вийде інша сукупність, яка буде анітрохи не гіршою за першу. Отже, завжди можна довільно змінити фазу всіх амплітуд у будь-якій задачі, якщо ви цього забажаєте.
Припустімо, ви обчислюєте якусь ймовірність, беручи суму кількох амплітуд, скажімо (А + B + C +...), і підносячи її модуль до квадрата. Потім хтось інший обчислює те саме, складаючи амплітуди (А′ + B′ + C′ + . . . ) і підносячи їхній модуль до квадрата. Якщо всі А′, В′, С′ і т. д. відрізняються від А, B, C і т. д. лише множником еiδ то всі ймовірності, одержувані піднесенням модуля до квадрата, виявляться точно однаковими, тому що тоді (А′ + B′ + C′ +... ) дорівнює еiδ(А + B + C + ...). Або припустімо, наприклад, що ми рахували щось за рівнянням (4.1), але потім раптово змінили всі фази певної базисної системи. Кожну з амплітуд < i | ψ> тоді довелося б помножити на один і той самий множник еiδ. Точно так само змінилися б у еiδ разів і всі амплітуди; < i | x>, але амплітуди <х | i> комплексно спряжені амплітудам < i | x>; тим самим вони набули б множника е–iδ. Плюс і мінус iδ в експонентах знищаться, і вийде той самий вираз, що був і раніше. Отже, загальне правило таке, що зміна на одну й ту саму фазу всіх амплітуд стосовно даної базисної системи або навіть просто зміна всіх амплітуд у будь-якій задачі на одну й ту саму фазу нічого не змінює. Отже, існує певна свобода у виборі фаз нашої матриці перетворення. Ми раз у раз будемо вдаватися до такого довільного вибору, завжди дотримуючись загальноприйнятих угод.
Але не будемо надто довго захоплюватися абстракцією. Ми вже наводили пару прикладів цих коефіцієнтів для випадку спіну 1, і ви самі можете розібратися, як ними користуватися практично. Але, з іншого боку, у квантової механіки є дуже гарна властивість: з того факту, що станів тільки три, використовуючи лише властивості симетрії простору щодо обертань, вона вміє суто відстороненим шляхом обчислити ці коефіцієнти. Наводити на такій ранній стадії ці міркування було б недобре: перш ніж ви «повернулися б на землю», ви могли б утонути в новому морі абстракцій. Однак усе це настільки гарно, що ми свого часу це неодмінно зробимо.
У цьому ж розділі ми покажемо вам, як можна отримати коефіцієнти перетворень для частинок зі спіном 1/2. Ми обрали цей випадок тому, що він простіший за спін 1. Завдання полягає в тому, щоб визначити коефіцієнти Rji для частинки, або атомної системи, яка в апараті Штерна — Герлаха розщеплюється на два пучки. Ми збираємося вивести всі коефіцієнти для перетворення від одного представлення до іншого шляхом чистого міркування плюс кілька припущень. Якісь припущення завжди потрібні для того, щоб користуватися «чистими» міркуваннями! Хоча наші докази будуть абстрактними і трохи заплутаними, результат, який ми отримаємо, сформулювати легко і зрозуміти просто; сам же по собі він буде дуже важливим. Можете, якщо завгодно, розглядати це як свого роду культурний захід. Ми ж уже домовилися, що все суттєве, виведене тут, буде також виводитися в міру потреби в наступних розділах іншим шляхом. Тож не бійтеся втратити нитку нашого викладу квантової механіки, якщо повністю пропустите цей розділ або вивчите його пізніше. Захід «культурний» у тому сенсі, що він має показати вам, що принципи квантової механіки не тільки цікаві, а й настільки глибокі, що, додавши до них лише кілька додаткових гіпотез про структуру простору, ми зможемо вивести величезну кількість властивостей фізичних систем. Крім того, важливо розуміти, звідки випливають різні наслідки квантової механіки. Поки наші закони фізики неповні (а так воно і є насправді), завжди цікаво з'ясувати, у яких місцях наші теорії перестають узгоджуватися з досвідом — там, де наша логіка найкраща, чи там, де вона найгірша. Дотепер виявлялося, що там, де наша логіка найбільш абстрактна, там вона завжди дає правильні результати — теорія узгоджується з досвідом. Тільки тоді, коли ми намагаємося будувати конкретні моделі внутрішньої будови елементарних частинок та їхньої взаємодії, тільки тоді ми виявляємося не в змозі знайти теорію, узгоджену з експериментом. Та теорія, яку ми маємо намір описати тут, узгоджується з досвідом усюди, де її випробовували; вона так само добра для дивних частинок, як і для електронів, протонів тощо.
Ще одне неприємне (але важливе) зауваження: коефіцієнти Rji неможливо визначити однозначно, тому що в амплітудах ймовірностей завжди є якесь свавілля. Якщо у вас є ряд яких завгодно амплітуд, скажімо амплітуд приходу в якесь місце за цілою множиною різних шляхів, і якщо ви помножите кожну окрему амплітуду на один і той самий фазовий множник, скажімо на еiδ то вийде інша сукупність, яка буде анітрохи не гіршою за першу. Отже, завжди можна довільно змінити фазу всіх амплітуд у будь-якій задачі, якщо ви цього забажаєте.
Припустімо, ви обчислюєте якусь ймовірність, беручи суму кількох амплітуд, скажімо (А + B + C +...), і підносячи її модуль до квадрата. Потім хтось інший обчислює те саме, складаючи амплітуди (А′ + B′ + C′ + . . . ) і підносячи їхній модуль до квадрата. Якщо всі А′, В′, С′ і т. д. відрізняються від А, B, C і т. д. лише множником еiδ то всі ймовірності, одержувані піднесенням модуля до квадрата, виявляться точно однаковими, тому що тоді (А′ + B′ + C′ +... ) дорівнює еiδ(А + B + C + ...). Або припустімо, наприклад, що ми рахували щось за рівнянням (4.1), але потім раптово змінили всі фази певної базисної системи. Кожну з амплітуд < i | ψ> тоді довелося б помножити на один і той самий множник еiδ. Точно так само змінилися б у еiδ разів і всі амплітуди; < i | x>, але амплітуди <х | i> комплексно спряжені амплітудам < i | x>; тим самим вони набули б множника е–iδ. Плюс і мінус iδ в експонентах знищаться, і вийде той самий вираз, що був і раніше. Отже, загальне правило таке, що зміна на одну й ту саму фазу всіх амплітуд стосовно даної базисної системи або навіть просто зміна всіх амплітуд у будь-якій задачі на одну й ту саму фазу нічого не змінює. Отже, існує певна свобода у виборі фаз нашої матриці перетворення. Ми раз у раз будемо вдаватися до такого довільного вибору, завжди дотримуючись загальноприйнятих угод.