Стани з визначеним імпульсом

Нехай у нас є електрон у стані | ψ>, що описується амплітудою ймовірності <x | ψ> = ψ (x). Ми знаємо, що ψ (x) позначає стан, у якому електрон розмазаний по прямій за якимось законом, так що ймовірність виявити його у вузькому інтервалі dx біля точки x просто дорівнює

Що можна сказати про імпульс цього електрона? Можна запитати, якою є ймовірність того, що імпульс цього електрона дорівнює p? Почнемо з розрахунку амплітуди того, що стан | ψ> присутній в іншому стані | імп. p>, який ми визначимо як стан з визначеним імпульсом p. Цю амплітуду можна знайти, застосовуючи наше основне рівняння для розкладання амплітуд (14.20). У термінах станів | імп. р>

А ймовірність того, що в електрона буде виявлено імпульс p, виразиться квадратом абсолютної величини цієї амплітуди. Але знову виникає те саме питання щодо нормування. Адже взагалі можна говорити лише про ймовірність виявити електрон з імпульсом у вузькій області dp біля значення p. Імовірність того, що імпульс точно дорівнює p, дорівнює нулю (хіба що стан | ψ> виявиться станом з визначеним імпульсом). Лише ймовірність виявити імпульс в інтервалі dp біля значення p може виявитися скінченною. Нормування можна робити по-різному. Ми оберемо той спосіб нормування, який нам здається особливо зручним, хоча вам зараз це може так і не здатися.
 
Приймемо таке нормування, щоб імовірність була пов'язана з амплітудою рівністю

Це визначення дає нам нормування амплітуди <імп. p | x>. Амплітуда <імп. p | x>, звичайно, комплексно спряжена з амплітудою <x | імп. p>, а останню ми писали в (14.15). При нашому нормуванні виявляється, що коефіцієнт пропорційності перед експонентою якраз дорівнює одиниці, тобто

Тоді (14.21) перетворюється на

Разом з (14.22) це рівняння дає змогу знаходити розподіл імпульсів для будь-якого стану  |ψ>.
 
Візьмемо окремий приклад: скажімо, коли електрон розташований у якійсь області навколо x = 0. Нехай ми взяли хвильову функцію вигляду

Розподіл ймовірності мати те чи інше значення x для такої хвильової функції дається її квадратом

Функція густини ймовірності Р (x) — це крива Гаусса, показана на фіг. 14.1. Більша частина ймовірності зосереджена між x = +σ і x = — σ. Ми кажемо, що «півширина» кривої є σ. (Точніше, σ дорівнює середній квадратичній координаті x, якщо розкид координат відповідає цьому розподілу.) Коефіцієнт K слід було б обрати так, щоб густина ймовірності Р (x) не просто була пропорційна ймовірності (на одиницю довжини x) виявити електрон, а мала б такий масштаб, щоб Р (x) Δx дорівнювало ймовірності виявити електрон у Δx поблизу x. Коефіцієнт K, за якого  так і виходить, можна знайти з вимоги _–∞∫^+∞Р (x) dx = 1, бо ймовірність виявити електрон будь-де дорівнює одиниці. Ми знаходимо, що K = (2πσ²)^–1/4.
 
Тепер  знайдемо  розподіл за імпульсом. Нехай φ (p) є амплітуда того, що імпульс електрона виявиться рівним p:

Підстановка (14.25) у (14.24) дає

також переписати у формі

Зробимо тепер заміну u = x + 2ipσ²/h; інтеграл перетвориться на

Математикам, ймовірно, не сподобався б такий шлях розрахунку, однак підсумок, попри це, правильний:

Ми прийшли до цікавого результату — розподіл амплітуд за p має точно ту саму математичну форму, як і розподіл амплітуд за x, тільки ширина кривої Гаусса інша. Можна записати це так:

де півширина η розподілу за p пов'язана з півшириною σ розподілу за x формулою

Наш результат стверджує: якщо зробити розподіл за x дуже вузьким, узявши σ малим, то η стане великим і розподіл за p сильно розповзеться. Або навпаки, якщо розподіл за p вузький, то він відповідає широкому розподілу за x. Ми можемо, якщо завгодно, розглядати η і σ як певну міру невизначеності локалізації імпульсу і координати електрона в досліджуваному нами стані. Якщо позначити їх відповідно Δp і Δх, то (14.33) перетвориться на

Цікаво ось що: можна довести, що за будь-якого іншого вигляду розподілу за x або за p добуток ΔpΔx не може стати меншим, ніж у нас вийшло. Гаусів розподіл дає найменше можливе значення добутку середніх квадратичних. У загальному випадку

Це кількісне формулювання принципу невизначеності Гайзенберга, який якісно нам уже давно відомий. Ми зазвичай робили наближене твердження: найменше значення добутку ΔpΔx — це число порядку h.