Нормування станів з визначеною координатою х

Тепер ми повернемося до обговорення тих змін в наших основних рівняннях, які необхідно зробити для роботи з континуумом базисних станів. Коли є скінченне число дискретних станів, то фундаментальна умова, якій повинна задовольняти система базисних станів, має вигляд

Якщо частинка перебуває в одному базисному стані, то амплітуда перебування в іншому базисному стані дорівнює нулю. За допомогою відповідного нормування можна так визначити амплітуду <i | j>, щоб вона дорівнювала одиниці. Обидві ці умови містяться в (14.36). Тепер ми хочемо зрозуміти, як треба видозмінити це співвідношення, коли користуються базисними станами частинки на прямій. Якщо відомо, що частинка перебуває в одному з базисних станів | x>, то яка амплітуда того, що вона перебуває в іншому базисному стані | x′>? Якщо x і x′ — дві різні точки прямої, то амплітуда <x | x′>, звичайно, дорівнює нулю, що узгоджується з (14.36). Але коли x і x′ рівні, то амплітуда <х | x′ > не дорівнюватиме одиниці через ту саму стару проблему нормування. Щоб побачити, як усе слід виправити, повернемося до (14.19) і застосуємо це рівняння до окремого випадку, коли стан | φ>  — просто-напросто базисний стан   |x′>.  Тоді вийде

Далі, амплітуда <x |ψ> — це якраз те, що ми назвали функцією ψ(x). Подібно до цього й амплітуда <x′|ψ>, оскільки вона стосується того самого стану ψ, є тією самою функцією змінної x′, а саме ψ (x′). Тому (14.37) можна переписати так:

Рівняння повинно виконуватися для будь-якого стану ψ і, отже, для будь-якої функції ψ(x). Ця вимога має повністю визначити природу амплітуди <x |x′>, яка, звичайно, є просто функцією, що залежить від x і x′.
 
Наше завдання тепер полягає в тому, щоб відшукати функцію f (х, x′), яка після множення на ψ (x) і інтегрування по всіх x дасть якраз величину ψ(x′). Але виявляється, що не існує математичної функції, яка вміє це робити! Принаймні не існує нічого схожого на те, що ми зазвичай маємо на увазі під словом «функція».
 
Виберемо якесь значення x′, наприклад 0, і визначимо амплітуду <0 |x> як якусь функцію x, скажімо f (x). Тоді (14.38) перетвориться на

Якого ж вигляду функція f(x) могла б задовольнити такому рівнянню? Раз інтеграл не повинен залежати від того, які значення набуває ψ (x) при x, відмінних від нуля, то ясно, що f(x) повинна дорівнювати нулю для всіх значень x, крім нуля. Але якщо f(x) всюди дорівнює нулю, то інтеграл теж дорівнюватиме нулю, і рівняння (14.39) не вдасться задовольнити. Виникає неможлива ситуація: нам потрібно, щоб функція була нулем усюди, крім однієї точки, і давала все ж таки скінченний інтеграл. Що ж, раз ми не в змозі відшукати функцію, яка так робить, то найпростіший вихід — просто сказати, що функція f(x) визначається рівнянням (14.39). І саме f(x) — така функція, яка робить (14.39) правильним. Функція, яка вміє це робити, вперше була винайдена Діраком і носить його ім'я. Ми позначаємо її δ(x). Усе, що про неї стверджується — це що функція δ(x) володіє дивною властивістю: якщо її підставити замість f(x) в (14.39), то інтеграл вибере те значення, яке ψ(x) набуває при x=0; і оскільки інтеграл не повинен залежати від ψ (x) при x, відмінних від нуля, то функція δ (x) повинна бути нулем усюди, крім x=0. Словом, ми пишемо

Подивіться, що вийде, якщо замість ψ в (14.41) підставити окрему функцію «1». Тоді вийде

Інакше кажучи, функція δ(x) володіє тією властивістю, що всюди, крім x=0, вона дорівнює нулю, але інтеграл від неї скінченний і дорівнює одиниці. Доводиться уявити, що функція δ(x) володіє в одній точці такою фантастичною нескінченністю, що повна площа виявляється рівною одиниці.
 
Як уявити собі, на що схожа δ-функція Дірака? Один зі способів — уявити послідовність прямокутників (або яку хочете іншу функцію з піком), яка стає все вужчою і вужчою і все вищою і вищою, увесь час зберігаючи одиничну площу, як показано на фіг. 14.2. Інтеграл від цієї функції від – ∞ до +∞ завжди дорівнює одиниці. Якщо ви помножите її на довільну функцію ψ(x) і проінтегруєте добуток, то одержите щось, що приблизно збігається зі значенням функції при x=0, причому наближення стає все кращим і кращим, у міру того як прямокутники стають вужчими і вужчими. Якщо хочете, можете уявляти δ-функцію за допомогою такого роду граничного процесу. Але єдино тут важливо те, що δ-функція визначена так, що (14.41) справедливе для кожної  хвильової функції ψ(x). Це однозначно визначає δ-функцію. Її властивості тоді виходять такими, як було сказано.
 
Замінимо аргумент δ-функції з x на x —x′ , і співвідношення обернуться на

Якщо в (14.38) замість амплітуди  <х | x′ > підставити δ(x — x′), то це рівняння буде виконано. У підсумку одержуємо, що  для наших базисних  станів з координатою x умова, що відповідає формулі (14.36), має  вигляд

Тепер ми завершили всі необхідні видозміни наших основних рівнянь, потрібні для роботи з континуумом базисних станів, що відповідають точкам на прямій. Узагальнення на три виміри цілком очевидне: по-перше, координата x замінюється вектором r; по-друге, інтеграли по x замінюються на інтеграли по x, у і z (іншими словами, вони стають інтегралами по об'єму); по-третє, одновимірну δ-функцію треба замінити просто добутком трьох δ-функцій від х, від y і від z: δ(x — x′) δ (y — y′) δ (z — z′). Зібравши все разом, одержуємо таку сукупність рівнянь для амплітуд частинки в тривимірному світі:

А що буває, коли частинок не одна, а більше? Ми розповімо вам, як упоратися з двома частинками, і ви одразу зрозумієте, що потрібно робити, якщо вам знадобиться оперувати з кількома частинками. Нехай є дві частинки; назвемо їх № 1 і № 2. Що застосувати як базисні стани? Одну цілком прийнятну сукупність можна задати, сказавши, що частинка № 1 перебуває в х₁, а частинка № 2 — в х₂, і записавши це у вигляді |х₁, х₂>. Зауважте, що вказівка координати тільки однієї частинки не визначає базисного стану. Кожен базисний стан повинен визначати умови всієї системи цілком. Ви не повинні думати, що кожна частинка рухається незалежно як тривимірна хвиля. Будь-який фізичний стан | ψ> можна визначити, задавши всі амплітуди <x₁ х₂ | ψ> того, що пара частинок буде виявлена в x₁ і x₂. Ця узагальнена амплітуда тому є функцією двох сукупностей координат x₁ і х₂. Ви бачите, що така функція — це вже не хвиля в сенсі коливання, яке розбігається в трьох вимірах. Так само це і не просто добуток двох самостійних хвиль, по одній для кожної частинки. Це в загальному випадку якась хвиля в шести вимірах, що визначаються числами х₁ і х₂. Якщо в природі є дві взаємодіючі частинки, то не існує способу описати те, що відбувається з однією з частинок, спробувавши виписати хвильову функцію для неї однієї. Відомі парадокси, які ми розглядали у перших розділах (де стверджувалося, що вимірювання, зроблені над однією частинкою, здатні передбачити, що буде з іншою, або що вони можуть зруйнувати інтерференцію), завдали людям чимало прикрощів, тому що вони намагалися вигадувати хвильову функцію однієї окремої частинки замість правильної хвильової функції координат обох частинок. Повний опис можна правильно провести тільки в термінах функцій координат обох частинок.