В одному з наступних розділів ми на якомусь прикладі детальніше розберемо розв'язання рівняння Шредінгера. А зараз ми хочемо показати вам, як виходить один із найпрекрасніших наслідків з рівняння Шредінгера — той вражаючий факт, що з диференціального рівняння, в яке входять тільки неперервні функції неперервних просторових змінних, можуть виникнути квантові ефекти, як, наприклад, дискретні рівні енергії в атомі. Нам треба зрозуміти такий істотний факт: як це може бути, що енергія електрона, який потрапив у потенціальний «колодязь» і змушений залишатися у визначеній області простору, з необхідністю набуває значень тільки з точно визначеної дискретної їх сукупності.Нехай мова йде про одновимірний випадок руху електрона, коли потенціальна енергія змінюється по x так, як показано на фіг. 14.3. Припустимо, що потенціал є статичним: з часом він не змінюється. Як ми вже робили багато разів, пошукаємо розв'язки, що відповідають станам визначеної енергії, тобто визначеної частоти. Випробуємо таку форму розв'язку:
Зображення
Якщо ми цю функцію підставимо в рівняння Шредінгера, то побачимо, що функція а (x) повинна підкорятися такому диференціальному рівнянню:
Зображення
Це рівняння говорить, що, яким би не було x, друга похідна а (x) по x пропорційна а (x) з коефіцієнтом пропорційності V — E. Друга похідна від а (x) — це швидкість зміни нахилу а (x). Якщо потенціал V більший за енергію E частинки, то швидкість зміни нахилу а (x) матиме той самий знак, що й а (x). Це означає, що крива а (x) повернута опуклістю до осі x, тобто більш-менш слідує ходу додатної або від'ємної експоненти е±х. Це означає, що на ділянці ліворуч від х1 (див. фіг. 14.3), де V більший за передбачувану енергію E, функція а (x) нагадуватиме одну з кривих на фіг. 14.4, а.Якщо ж потенціальна функція V менша за енергію E, то знак другої похідної а (x) по x протилежний знаку самої а (x) і крива а (x) буде завжди угнута до осі x, подібно до однієї з ліній на фіг. 14.4, б. Розв'язок на цій ділянці набуде форми шматочків синусоїд.
Тепер погляньмо, чи можемо ми графічно побудувати розв'язок для функції а(x), що відповідає частинці з енергією Еa при потенціалі V, показаному на фіг. 14.5. Раз нас цікавить таке положення, коли частинка укладена всередині потенціальної ями, то ми будемо шукати розв'язки, за яких амплітуда хвилі набуває після віддалення x за межі потенціальної ями дуже малих значень. Ми дуже легко можемо уявити собі криву на кшталт зображеної на фіг. 14.5, що прямує до нуля при великих від'ємних x і плавно піднімається при наближенні до х1. Оскільки V в точці х1 дорівнює Еa, то кривизна функції в цій точці дорівнює нулю. Між х1 і х2 величина V — Еa завжди від'ємна, так що функція а (x) увесь час угнута до осі, а кривизна тим більша, чим більша різниця між Еa і V. Якщо продовжити криву в область між х1 і х2, їй доведеться йти приблизно так, як на фіг. 14.5.
Тепер протягнемо цю криву правіше х2. Там вона викривляється геть від осі і рухається до великих додатних значень (фіг. 14.6). Для обраної нами енергії Еa розв'язок а(x) із зростанням x зростає все сильніше і сильніше. Дійсно, адже й кривизна розв'язку а(x) теж зростає (якщо потенціал залишається майже постійним). Амплітуда круто виростає до гігантських масштабів. Що це означає? Просто що частинка не «зв'язана» потенціальною ямою. Виявити її поза ямою нескінченно більш імовірно, ніж усередині. Для виготовленого нами розв'язку набагато більш імовірно зустріти електрон при x= + ∞, ніж будь-де ще. Знайти розв'язок для зв'язаної частинки нам не вдалося.
Що ж, спробуємо взяти іншу енергію, скажімо, трошки вищу ніж Еa, наприклад Еb (фіг. 14.7). Якщо ліворуч умови залишаться тими самими, то ми прийдемо до розв'язку, показаного на нижній частині фіг. 14.7. Спочатку він виглядає краще, але зрештою виявляється таким самим поганим, як і розв'язок для Еa, тільки тепер при зростанні x величина а(x) стає все більш і більш від'ємною.
Можливо, в цьому розгадка! Раз невелика зміна енергії від Еa до Еb приводить до того, що крива перекидається з одного боку осі на інший, то, можливо, існує енергія, що лежить між Еa і Еb, при якій крива для великих x прямуватиме до нуля. Так воно і є, і ми на фіг. 14.8 зобразили, як може виглядати розв'язок.Вам потрібно розуміти, що розв'язок, показаний на рисунку, це вельми окремий розв'язок. Якби ми навіть трошки підняли або знизили енергію, то функція перейшла б в інші криві, схожі на одну зі штрихових кривих фіг. 14.8, і знову для зв'язаної частинки не вийшло б належних умов. Ми дійшли висновку, що якщо частинка повинна перебувати в потенціальній ямі, то це може з нею статися тільки при цілком визначеній енергії.
Чи означає це, що у частинки, яка перебуває в зв'язаному стані в потенціальній ямі, може бути тільки одна енергія? Аж ніяк. Можуть бути й інші, але не занадто близько до Еc. Зверніть увагу, що хвильова функція на фіг. 14.8 чотири рази перетинає вісь на ділянці х1х2. Якби ми обрали енергію значно нижчу за Еc, то міг би вийти розв'язок, який перетнув би вісь тільки тричі, тільки двічі, тільки один раз або жодного разу. Можливі розв'язки намічені на фіг. 14.9. (Можуть бути й розв'язки, що відповідають вищим енергіям.) Висновок полягає в тому, що якщо частинка загнана в потенціальну яму, то її енергія набуває тільки визначених спеціальних значень, які утворюють дискретний енергетичний спектр. Ви розумієте тепер, як здатне диференціальне рівняння описати цей основний факт квантової фізики.Слід зауважити тільки одне. Якщо енергія E вища за верх потенціальної ями, то дискретних розв'язків уже не буде, і дозволені всі мислимі енергії. Такі розв'язки відповідають розсіянню вільних частинок на потенціальній ямі. Приклад таких розв'язків ми бачили, коли розглядали вплив атомів домішок у кристалі.