З'ясуймо тепер, як у квантовій механіці амплітуди ймовірності змінюються в просторі. У деяких попередніх розділах у вас могло виникнути смутне відчуття, що про щось ми замовчуємо. Наприклад, коли ми говорили про молекулу аміаку, ми вирішили описувати її через два базисні стани. За один з них ми взяли випадок, коли атом азоту перебуває «вище» площини трьох атомів водню, а як другий базисний стан обрали такі умови, коли атом азоту стоїть «нижче» площини трьох атомів водню. Чому ж ми обрали саме цю пару станів? Чому б не вважати, що атом азоту може опинитися або на відстані 2А від площини трьох атомів водню, або на відстані 3А, а може, й 4А. Адже атом азоту може займати безліч положень. Або коли йшлося про молекулярний іон водню, у якому є електрон, розподілений між двома протонами, ми теж уявили два базисні стани. Один — коли електрон перебуває по сусідству з протоном № 1, і другий, коли він перебуває в околі протона № 2. Ясно, що багато деталей ми випустили. Адже електрон перебуває не точно біля самого протона № 2, а лише в його околі. Він може опинитися і десь вище протона, і десь нижче, і десь ліворуч, і десь праворуч.
Ми навмисно уникали уточнення таких деталей. Ми казали, що нас цікавлять лише певні сторони проблеми, і уявляли, що коли вже електрон перебуває поблизу протона № 1, то він набуває якогось досить визначеного положення. Насправді за цих умов імовірність виявити електрон має якийсь визначений розподіл у просторі поблизу протона. Але нас такі деталі не турбували.
Можна уявити справу і інакше. Коли ми розглядали молекулярний іон водню, то обрали наближений підхід, описуючи стан справ мовою двох базисних станів. Насправді ж таких станів безліч. Електрон може потрапити поблизу протона у свій найнижчий, або основний, стан, але є ще й безліч збуджених станів. У кожному з них електрон якось по-особливому розподілений поблизу протона. Ці збуджені стани ми ігнорували, кажучи, що нас цікавлять лише умови за найнижчої енергії. Але саме вони, ці збуджені стани, і приводять до того, що можливі різні розподіли електрона навколо протона. Якщо ми хочемо детально описати молекулярний іон водню, то слід узяти до уваги і ці інші допустимі базисні стани. Це можна зробити багатьма способами, і один з них — детальніше розглянути стани, коли розташування електрона в просторі описується ретельніше.
Ми вже достатньо підготовлені, щоб узятися за складнішу процедуру, яка дасть нам змогу докладніше говорити про місцезнаходження електрона, задаючи амплітуду ймовірності того, що він буде виявлений у будь-якому місці за даної ситуації. Ця повніша теорія дасть змогу підкріпити ті наближення, якими ми раніше користувалися. Наші попередні рівняння в якомусь сенсі зможуть бути виведені як своєрідні наближення до повнішої теорії.
Вас може здивувати, чому ми не почали одразу з повнішої теорії і не робили наближень у міру просування вперед. Але ми вважали, що, відштовхнувшись від наближення двох станів і поступово підходячи до повнішої теорії, вам буде легше досягти розуміння всієї механіки квантової механіки. Наш підхід, мабуть, протилежний тому, який ви знайдете в багатьох книжках.
Коли ми звернемося до теми цього розділу, ви помітите, що ми порушуємо правило, якого в минулому незмінно дотримувалися. Якої б теми ми не торкалися, ми завжди намагалися більш-менш повно викласти вам фізику справи, вказуючи якомога повніше, куди ведуть ці ідеї. Ми прагнули поряд з описом загальних наслідків теорії подати також деякі характерні деталі, щоб вам було ясно, куди веде ця теорія. А тепер нам доведеться порушити це правило. Ми розповімо про амплітуди ймовірності перебування електрона десь у просторі і продемонструємо вам диференціальні рівняння, яким вони задовольняють. Але в нас не буде часу заглибитися і обговорити багато очевидних висновків, що випливають із теорії.
Більше того, нам навіть не вдасться пов'язати цю теорію з деякими наближеними формулюваннями, до яких ми раніше вдавалися, скажімо, коли вивчали молекулу водню або молекулу аміаку. Цього разу доведеться покинути справу на півдорозі, не завершивши її. Наш курс наближається до кінця, і хочеш не хочеш, доведеться обійтися самим лише вступом до загальних уявлень. Ми вкажемо зв'язок з тим, про що йшлося раніше, а також деякі інші підходи до задач квантової механіки. Сподіваємося, що цих уявлень вам вистачить, щоб потім рушити самостійно і вже з книжок дізнатися багато висновків із наведених тут рівнянь. Все ж таки треба лишити щось і на майбутнє.
Згадаймо ще раз, що нам відомо про те, як електрон може просуватися вздовж лінії атомів. Коли електрон може з якоюсь амплітудою перестрибувати від одного атома до сусіднього, то є стани визначеної енергії, в яких амплітуда ймовірності виявити електрон розподіляється вздовж ґратки у вигляді біжучої хвилі. Для довгих хвиль (малих значень хвильового числа k) енергія стану пропорційна квадрату хвильового числа. Для кристалічної ґратки зі сталою b, у якій амплітуда того, що електрон за одиницю часу перестрибне від одного атома до наступного, дорівнює iA/h, енергія стану пов'язана з k (при малих kb) формулою
Ми навмисно уникали уточнення таких деталей. Ми казали, що нас цікавлять лише певні сторони проблеми, і уявляли, що коли вже електрон перебуває поблизу протона № 1, то він набуває якогось досить визначеного положення. Насправді за цих умов імовірність виявити електрон має якийсь визначений розподіл у просторі поблизу протона. Але нас такі деталі не турбували.
Можна уявити справу і інакше. Коли ми розглядали молекулярний іон водню, то обрали наближений підхід, описуючи стан справ мовою двох базисних станів. Насправді ж таких станів безліч. Електрон може потрапити поблизу протона у свій найнижчий, або основний, стан, але є ще й безліч збуджених станів. У кожному з них електрон якось по-особливому розподілений поблизу протона. Ці збуджені стани ми ігнорували, кажучи, що нас цікавлять лише умови за найнижчої енергії. Але саме вони, ці збуджені стани, і приводять до того, що можливі різні розподіли електрона навколо протона. Якщо ми хочемо детально описати молекулярний іон водню, то слід узяти до уваги і ці інші допустимі базисні стани. Це можна зробити багатьма способами, і один з них — детальніше розглянути стани, коли розташування електрона в просторі описується ретельніше.
Ми вже достатньо підготовлені, щоб узятися за складнішу процедуру, яка дасть нам змогу докладніше говорити про місцезнаходження електрона, задаючи амплітуду ймовірності того, що він буде виявлений у будь-якому місці за даної ситуації. Ця повніша теорія дасть змогу підкріпити ті наближення, якими ми раніше користувалися. Наші попередні рівняння в якомусь сенсі зможуть бути виведені як своєрідні наближення до повнішої теорії.
Вас може здивувати, чому ми не почали одразу з повнішої теорії і не робили наближень у міру просування вперед. Але ми вважали, що, відштовхнувшись від наближення двох станів і поступово підходячи до повнішої теорії, вам буде легше досягти розуміння всієї механіки квантової механіки. Наш підхід, мабуть, протилежний тому, який ви знайдете в багатьох книжках.
Коли ми звернемося до теми цього розділу, ви помітите, що ми порушуємо правило, якого в минулому незмінно дотримувалися. Якої б теми ми не торкалися, ми завжди намагалися більш-менш повно викласти вам фізику справи, вказуючи якомога повніше, куди ведуть ці ідеї. Ми прагнули поряд з описом загальних наслідків теорії подати також деякі характерні деталі, щоб вам було ясно, куди веде ця теорія. А тепер нам доведеться порушити це правило. Ми розповімо про амплітуди ймовірності перебування електрона десь у просторі і продемонструємо вам диференціальні рівняння, яким вони задовольняють. Але в нас не буде часу заглибитися і обговорити багато очевидних висновків, що випливають із теорії.
Більше того, нам навіть не вдасться пов'язати цю теорію з деякими наближеними формулюваннями, до яких ми раніше вдавалися, скажімо, коли вивчали молекулу водню або молекулу аміаку. Цього разу доведеться покинути справу на півдорозі, не завершивши її. Наш курс наближається до кінця, і хочеш не хочеш, доведеться обійтися самим лише вступом до загальних уявлень. Ми вкажемо зв'язок з тим, про що йшлося раніше, а також деякі інші підходи до задач квантової механіки. Сподіваємося, що цих уявлень вам вистачить, щоб потім рушити самостійно і вже з книжок дізнатися багато висновків із наведених тут рівнянь. Все ж таки треба лишити щось і на майбутнє.
Згадаймо ще раз, що нам відомо про те, як електрон може просуватися вздовж лінії атомів. Коли електрон може з якоюсь амплітудою перестрибувати від одного атома до сусіднього, то є стани визначеної енергії, в яких амплітуда ймовірності виявити електрон розподіляється вздовж ґратки у вигляді біжучої хвилі. Для довгих хвиль (малих значень хвильового числа k) енергія стану пропорційна квадрату хвильового числа. Для кристалічної ґратки зі сталою b, у якій амплітуда того, що електрон за одиницю часу перестрибне від одного атома до наступного, дорівнює iA/h, енергія стану пов'язана з k (при малих kb) формулою
Зображення
(див. розд. 11, § 1). Ми бачили також, що групи таких хвиль з близькими енергіями утворюють хвильовий пакет, який поводиться як класична частинка з масою mеф:
Зображення
Раз хвилі амплітуди ймовірності в кристалі поводяться як частинки, то природно очікувати, що загальний квантовомеханічний опис частинки виявить таку саму хвильову поведінку, яку ми спостерігали в ґратці. Припустімо, ми взяли одновимірну ґратку і уявили, що стала ґратки b стає все меншою і меншою. У границі вийшло б, що електрон може опинитися в будь-якій точці лінії. Нам довелося б перейти до неперервного розподілу амплітуд ймовірності. В електрона з'явилася б амплітуда опинитися в будь-якому місці лінії. Таким був би один зі шляхів опису руху електронів у вакуумі. Іншими словами, якщо ми уявимо, що весь простір можна пронумерувати нескінченним числом дуже тісно розташованих точок, і зможемо вивести рівняння, що зв'язують між собою амплітуди в одній точці з амплітудами в сусідніх, то отримаємо квантовомеханічні закони руху електрона в просторі.
Почнемо з того, що нагадаємо деякі загальні принципи квантової механіки. Нехай є частинка, яка може в квантовомеханічній системі існувати за різних умов. Будь-які задані умови, в яких може бути виявлений електрон, ми називаємо «станом» і позначаємо їх за допомогою вектора стану, скажімо | φ>. За якихось інших умов і мітка буде інша, скажімо вектор стану | ψ>. Далі ми вводимо ідею базисних станів. Ми кажемо, що є сукупність станів |1>, |2>, |3>, |4>і т. д., яка має такі властивості. По-перше, всі ці стани цілком різні — ми кажемо, що вони ортогональні. Під цим ми розуміємо, що для будь-якої пари базисних станів | i> і | j> амплітуда <i | j> того, що електрон, перебуваючи у стані | j>, опиниться також і в стані <i | , дорівнює нулю, якщо тільки, звичайно, | i> і | j> не позначають одного й того самого стану. Усе це символічно подається так:
Почнемо з того, що нагадаємо деякі загальні принципи квантової механіки. Нехай є частинка, яка може в квантовомеханічній системі існувати за різних умов. Будь-які задані умови, в яких може бути виявлений електрон, ми називаємо «станом» і позначаємо їх за допомогою вектора стану, скажімо | φ>. За якихось інших умов і мітка буде інша, скажімо вектор стану | ψ>. Далі ми вводимо ідею базисних станів. Ми кажемо, що є сукупність станів |1>, |2>, |3>, |4>і т. д., яка має такі властивості. По-перше, всі ці стани цілком різні — ми кажемо, що вони ортогональні. Під цим ми розуміємо, що для будь-якої пари базисних станів | i> і | j> амплітуда <i | j> того, що електрон, перебуваючи у стані | j>, опиниться також і в стані <i | , дорівнює нулю, якщо тільки, звичайно, | i> і | j> не позначають одного й того самого стану. Усе це символічно подається так:
Зображення
Згадайте, що δij = 0, якщо i і j різні, і δij = 1, якщо i і j однакові числа.
Далі, базисні стани | i> повинні бути повною сукупністю, так щоб будь-який стан міг бути виражений їхньою мовою. Іншими словами, будь-який стан | φ> може бути повністю описаний заданням усіх амплітуд <i | φ> того, що частинка в стані | φ> виявиться також у стані | i>. Вектор стану | φ> подається сумою базисних станів, кожен з яких помножений на коефіцієнт, що є амплітудою того, що стан | φ> перебуває також у стані | i>:
Далі, базисні стани | i> повинні бути повною сукупністю, так щоб будь-який стан міг бути виражений їхньою мовою. Іншими словами, будь-який стан | φ> може бути повністю описаний заданням усіх амплітуд <i | φ> того, що частинка в стані | φ> виявиться також у стані | i>. Вектор стану | φ> подається сумою базисних станів, кожен з яких помножений на коефіцієнт, що є амплітудою того, що стан | φ> перебуває також у стані | i>:
Зображення
Нарешті, якщо розглянути будь-які два стани | φ> і | ψ>, то амплітуду того, що стан |ψ> опиниться також у стані | φ>, можна знайти, проєктуючи спершу стан |ψ> на базисні стани, а потім кожен з базисних станів — на стан | φ>. Це записується так:
Зображення
Підсумовування, звичайно, проводиться по всій сукупності базисних станів | i>.
У розд. 11, коли ми розраховували, що буває з електроном, поміщеним у лінійний ланцюжок атомів, ми обрали сукупність базисних станів, в яких електрон був розташований поблизу того чи іншого з атомів ланцюжка. Базисний стан | n> являв електрон, локалізований (розташований) біля атома номер n. (Звичайно, не важливо, позначати наші базисні стани |n> чи | i>.) Трохи пізніше ми виявили, що базисні стани зручніше позначати координатою атома, а не номером атома в ланцюжку. Стан | хn> — це просто інший спосіб запису стану | n>. Тоді, дотримуючись загального правила, будь-який стан | ψ> можна описати заданням того, що електрон у стані | ψ> перебуває також в одному зі станів | хn>. Для зручності ми вирішили позначати ці амплітуди символом
У розд. 11, коли ми розраховували, що буває з електроном, поміщеним у лінійний ланцюжок атомів, ми обрали сукупність базисних станів, в яких електрон був розташований поблизу того чи іншого з атомів ланцюжка. Базисний стан | n> являв електрон, локалізований (розташований) біля атома номер n. (Звичайно, не важливо, позначати наші базисні стани |n> чи | i>.) Трохи пізніше ми виявили, що базисні стани зручніше позначати координатою атома, а не номером атома в ланцюжку. Стан | хn> — це просто інший спосіб запису стану | n>. Тоді, дотримуючись загального правила, будь-який стан | ψ> можна описати заданням того, що електрон у стані | ψ> перебуває також в одному зі станів | хn>. Для зручності ми вирішили позначати ці амплітуди символом
Зображення
Оскільки базисні стани пов'язані з місцезнаходженням електрона на лінії, то амплітуду Сn можна розглядати як функцію координати x і писати її у вигляді С (хn). Амплітуди С (хn) будуть у загальному випадку змінюватися в часі і тому суть також функції від t, але ми не будемо відзначати цю залежність явно.
Крім того, у розд. 11 ми припустили, що амплітуди С (хn) повинні змінюватися в часі так, як належить за гамільтоновим рівнянням (11.3). У нашому новому позначенні це рівняння має вигляд
Крім того, у розд. 11 ми припустили, що амплітуди С (хn) повинні змінюватися в часі так, як належить за гамільтоновим рівнянням (11.3). У нашому новому позначенні це рівняння має вигляд
Зображення
Два останні доданки в правій частині являють такий процес, коли електрон, що перебував біля атома (n + 1) або біля атома (n — 1), опиниться біля атома (n).
Ми виявили, що (14.7) має розв'язки, які відповідають станам визначеної енергії. Ми записували їх у вигляді
Ми виявили, що (14.7) має розв'язки, які відповідають станам визначеної енергії. Ми записували їх у вигляді
Зображення
У станів з низькою енергією довжини хвиль великі (k мале) і енергія пов'язана з k формулою
Зображення
або, якщо обрати нуль енергії так, щоб було (Е0 — 2А)= 0, то енергія дається формулою (14.1).
Подивимося, що сталося б, якби ми дозволили відстані b між атомами ґратки прямувати до нуля, зберігаючи хвильове число сталим. Якби більше нічого не сталося, то останній доданок у (14.9) обернувся б просто в нуль, і жодної фізики не залишилося б. Але припустімо, що A і b разом змінюються так, що при прямуванні b до нуля добуток Аb2 підтримується сталим: за допомогою (14.2) ми запишемо Аb2 у вигляді сталої h2/2mеф. При цьому (14.9) не зміниться, але що станеться з диференціальним рівнянням (14.7)?
Перепишімо спершу (14.7) так:
Подивимося, що сталося б, якби ми дозволили відстані b між атомами ґратки прямувати до нуля, зберігаючи хвильове число сталим. Якби більше нічого не сталося, то останній доданок у (14.9) обернувся б просто в нуль, і жодної фізики не залишилося б. Але припустімо, що A і b разом змінюються так, що при прямуванні b до нуля добуток Аb2 підтримується сталим: за допомогою (14.2) ми запишемо Аb2 у вигляді сталої h2/2mеф. При цьому (14.9) не зміниться, але що станеться з диференціальним рівнянням (14.7)?
Перепишімо спершу (14.7) так:
Зображення
При нашому виборі Е0 перший доданок випаде. Далі уявімо собі неперервну функцію С (x), яка плавно проходить через значення С (хn) у точках хn. Коли відстань b прямує до нуля, точки хn зближаються все тісніше і тісніше і [якщо С (x) змінюється достатньо плавно] величина в дужках просто пропорційна другій похідній С (x). Можна написати (у чому легко переконатися, розклавши в ряд Тейлора кожен член) рівність
Зображення
Тоді в границі, коли b прямує до нуля, а b2А підтримується рівним h2/2mеф, рівняння (14.7) переходить у
Зображення
Перед нами рівняння, яке стверджує, що швидкість зміни С (x) — амплітуди того, що електрон буде виявлений у x— залежить від амплітуди того, що електрон буде виявлений у близькорозташованих точках так, що ця швидкість пропорційна другій похідній амплітуди за координатою.
Правильне квантовомеханічне рівняння руху електрона в порожньому просторі вперше було відкрито Шредінгером. При русі по прямій воно має вигляд (14.12); треба тільки mеф замінити на m — масу електрона в порожньому просторі. При русі по прямій у порожньому просторі рівняння Шредінгера має вигляд
Правильне квантовомеханічне рівняння руху електрона в порожньому просторі вперше було відкрито Шредінгером. При русі по прямій воно має вигляд (14.12); треба тільки mеф замінити на m — масу електрона в порожньому просторі. При русі по прямій у порожньому просторі рівняння Шредінгера має вигляд
Зображення
Ми не хочемо, щоб ви вважали, ніби ми щойно вивели рівняння Шредінгера; ми лише показуємо вам один зі способів, яким його можна осмислити. Коли Шредінгер уперше написав його, він навів якийсь висновок, що спирався на евристичні доводи та блискучі інтуїтивні здогади. Деякі з його доводів були навіть невірні, але це не мало значення; важливо те, що остаточне рівняння дає правильний опис природи. І мета нашого обговорення полягає просто в тому, щоб показати вам, що правильне фундаментальне квантовомеханічне рівняння (14.13) має ту саму форму, яка виходить у граничному випадку електрона, що рухається вздовж ланцюжка атомів. Це означає, що можна вважати, що диференціальне рівняння (14.13) описує дифузію амплітуди ймовірності від точки до точки вздовж прямої. Іншими словами, якщо електрон має якусь амплітуду того, що він буде в одній точці, то трохи пізніше в нього з'явиться амплітуда того, що він буде в близькорозташованих точках. Рівняння дійсно нагадує рівняння дифузії, якими ми користувалися на початку курсу. Але є й одна важлива відмінність: уявний коефіцієнт перед похідною за часом приводить до поведінки, докорінно відмінної від звичайної дифузії (наприклад, від дифузії газу, що поширюється по довгій трубі). Звичайна дифузія приводить до дійсних експоненціальних розв'язків, а розв'язки (14.13) суть комплексні хвилі.