Тепер ми хочемо зібрати воєдино все, що ми дізналися про повороти частинок зі спіном 1/2 і спіном 1; це буде зручно надалі. Нижче ви знайдете таблиці двох матриць повороту Rz (φ) і Ry (θ) для частинок зі спіном 1/2, для частинок зі спіном 1 і для фотонів (частинок зі спіном 1 і нульовою масою).
Зображення
Зображення
Зображення
Для кожної з них наведено елементи матриці <j | R | i> поворотів навколо осі z або осі y. Вони, звісно, точнісінько еквівалентні амплітудам типу <+Т | 0S>, якими ми користувалися в попередніх розділах. Під Rz (φ) ми розуміємо, що береться проекція стану на нову систему координат, повернуту на кут φ навколо осі z, причому для визначення напрямку повороту завжди застосовується правило правої руки; Ry(θ) означає, що осі координат повернуто на кут θ навколо осі y. Знаючи ці два повороти, ви запросто зможете розрахувати будь-який поворот. Як зазвичай, матричний елемент пишеться так, що стан ліворуч — це базисний стан нової (повернутої) системи, а стан праворуч — це базисний стан старої (неповернутої) системи. Клітинки таблиці можна тлумачити по-різному. Наприклад, клітинка е–iφ/2 у табл. 15.1 означає, що матричний елемент < — | R | —> = е–iφ/2. Але це означає також, що R | — > = е–iφ/2 | — > або що <— | R = <— |e–iφ. Це все одне й те саме.