Ви знаєте, що дуже багато металів нижче певної температури (у кожного металу вона своя) стають надпровідними. Якщо ви як слід знизите температуру, то метали починають проводити електрику без жодного опору. Це явище спостерігалося у дуже багатьох металів, але не в усіх, і теорія цього явища завдала чимало клопоту. Знадобився доволі тривалий час, щоб розібратися, що відбувається всередині надпровідників, і я опишу тут лише те, що знадобиться для наших нинішніх цілей. Виявляється, що через взаємодію електронів з коливаннями атомів у ґратці виникає слабке ефективне притягання між електронами. Грубо кажучи, електрони внаслідок взаємодії утворюють зв'язані пари.
Відомо також, що кожен окремий електрон є фермі-частинкою. Але зв'язана пара вже поводитиметься як бозе-частинка, бо якщо я міняю місцями два електрони в парі, я двічі змінюю знак хвильової функції, а це означає, що я нічого не змінюю. Пара є бозе-частинкою.
Енергія спарювання (енергія притягання електронів) дуже-дуже слабка. Незначної температури досить, щоб теплове збудження розкидало електрони й перетворило їх на «нормальні» електрони. Але якщо знизити температуру достатньо сильно, то ці електрони зроблять усе від них залежне, щоб прийти в найнижчий стан, і вже тоді дійсно розберуться попарно.
Мені не хотілося б, щоб ви уявили, ніби пари і справді скріплені дуже тісно, немов точкові частинки. Насправді саме в цьому пункті полягала найбільша трудність у розумінні цього явища на перших порах. Два електрони, що утворюють пару, насправді розходяться на помітні відстані; і середня відстань між парами менша за розмір окремої пари. Кілька пар одночасно займають один і той самий об'єм. Пояснення причини утворення електронами в металі пар і оцінка енергії, що виділяється при утворенні пар, стало тріумфом сучасної науки. Цей фундаментальний факт у явищі надпровідності вперше з'ясовано в теорії, створеній Бардіном, Купером і Шріффером. Але не це буде темою нашого семінару. Ми просто приймемо як дане уявлення про те, що електрони так чи інакше діють попарно, що можна вважати, ніби ці пари поводяться більш чи менш як частинки і що тому можна говорити про хвильову функцію «пари».
Рівняння Шредінгера для пари більш чи менш схоже на (19.3). Єдина різниця полягає в тому, що заряд q буде подвоєним зарядом електрона. Крім того, ми не знаємо інерції (або ефективної маси) пари в кристалічній ґратці, тому невідомо, яке число поставити замість m. Не варто також вважати, що якщо перейти до дуже високих частот (або коротких хвиль), то форма рівняння залишиться правильною, адже кінетична енергія, яка відповідає дуже різко змінюваним хвильовим функціям, може стати настільки великою, що зруйнує пари. За скінченних температур відповідно до теорії Больцмана завжди трапляється якась кількість зруйнованих пар. Імовірність того, що пара зруйнується, пропорційна exp(—Eпари/kT). Не зв'язані попарно електрони називаються «нормальними» і рухаються кристалом звичайним чином. Я буду, однак, розглядати тільки випадок істинно нульової температури або, у всякому разі, знехтую ускладненнями, спричиненими тими електронами, які не мають пари.
Оскільки пари електронів—це бозони, то коли багато з них збирається в одному стані, амплітуда переходу інших пар у той самий стан стає особливо великою. Отже, майже всі пари повинні скупчитися при найнижчій енергії достеменно в однаковому стані, втекти комусь із них в інший стан дуже нелегко. У кожної пари амплітуда того, що вона перейде в зайнятий стан, у √n разів більша, ніж у незайнятий (де добре відомий фактор √n визначається заселеністю n найнижчого стану). Отже, ми вправі очікувати, що всі пари рухатимуться в одному стані.
Як же тоді виглядатиме наша теорія? Я позначу через ψ хвильову функцію пари в найнижчому енергетичному стані. Однак через те, що ψψ* виявиться пропорційним густині заряду ρ, я з рівним правом можу записати ψ як квадратний корінь із густини заряду, помножений на деякий фазовий множник
Відомо також, що кожен окремий електрон є фермі-частинкою. Але зв'язана пара вже поводитиметься як бозе-частинка, бо якщо я міняю місцями два електрони в парі, я двічі змінюю знак хвильової функції, а це означає, що я нічого не змінюю. Пара є бозе-частинкою.
Енергія спарювання (енергія притягання електронів) дуже-дуже слабка. Незначної температури досить, щоб теплове збудження розкидало електрони й перетворило їх на «нормальні» електрони. Але якщо знизити температуру достатньо сильно, то ці електрони зроблять усе від них залежне, щоб прийти в найнижчий стан, і вже тоді дійсно розберуться попарно.
Мені не хотілося б, щоб ви уявили, ніби пари і справді скріплені дуже тісно, немов точкові частинки. Насправді саме в цьому пункті полягала найбільша трудність у розумінні цього явища на перших порах. Два електрони, що утворюють пару, насправді розходяться на помітні відстані; і середня відстань між парами менша за розмір окремої пари. Кілька пар одночасно займають один і той самий об'єм. Пояснення причини утворення електронами в металі пар і оцінка енергії, що виділяється при утворенні пар, стало тріумфом сучасної науки. Цей фундаментальний факт у явищі надпровідності вперше з'ясовано в теорії, створеній Бардіном, Купером і Шріффером. Але не це буде темою нашого семінару. Ми просто приймемо як дане уявлення про те, що електрони так чи інакше діють попарно, що можна вважати, ніби ці пари поводяться більш чи менш як частинки і що тому можна говорити про хвильову функцію «пари».
Рівняння Шредінгера для пари більш чи менш схоже на (19.3). Єдина різниця полягає в тому, що заряд q буде подвоєним зарядом електрона. Крім того, ми не знаємо інерції (або ефективної маси) пари в кристалічній ґратці, тому невідомо, яке число поставити замість m. Не варто також вважати, що якщо перейти до дуже високих частот (або коротких хвиль), то форма рівняння залишиться правильною, адже кінетична енергія, яка відповідає дуже різко змінюваним хвильовим функціям, може стати настільки великою, що зруйнує пари. За скінченних температур відповідно до теорії Больцмана завжди трапляється якась кількість зруйнованих пар. Імовірність того, що пара зруйнується, пропорційна exp(—Eпари/kT). Не зв'язані попарно електрони називаються «нормальними» і рухаються кристалом звичайним чином. Я буду, однак, розглядати тільки випадок істинно нульової температури або, у всякому разі, знехтую ускладненнями, спричиненими тими електронами, які не мають пари.
Оскільки пари електронів—це бозони, то коли багато з них збирається в одному стані, амплітуда переходу інших пар у той самий стан стає особливо великою. Отже, майже всі пари повинні скупчитися при найнижчій енергії достеменно в однаковому стані, втекти комусь із них в інший стан дуже нелегко. У кожної пари амплітуда того, що вона перейде в зайнятий стан, у √n разів більша, ніж у незайнятий (де добре відомий фактор √n визначається заселеністю n найнижчого стану). Отже, ми вправі очікувати, що всі пари рухатимуться в одному стані.
Як же тоді виглядатиме наша теорія? Я позначу через ψ хвильову функцію пари в найнижчому енергетичному стані. Однак через те, що ψψ* виявиться пропорційним густині заряду ρ, я з рівним правом можу записати ψ як квадратний корінь із густини заряду, помножений на деякий фазовий множник
Зображення
де ρ і θ — дійсні функції від r. (У такому вигляді можна, звісно, записати будь-яку комплексну функцію.) Що ми маємо на увазі, кажучи про густину заряду,— це зрозуміло, але який фізичний зміст фази θ хвильової функції? Ну що ж, погляньмо, що вийде, якщо ми підставимо ψ(r) у (19.12) і виразимо густину струму через ці нові змінні ρ і θ. Це проста заміна змінних, і, не повторюючи всіх викладок, я наведу результат:
Зображення
Оскільки і густина струму, і густина заряду мають для надпровідного електронного газу прямий фізичний зміст, то й ρ, і θ — цілком реальні речі. Фаза так само спостережувана, як і ρ: це частина густини струму J. Абсолютна фаза неспостережувана, але якщо градієнт фази відомий у всіх точках, то фаза відома з точністю до сталої. І якщо ви визначите за власним бажанням фазу в одній точці, то в усіх інших точках вона вже визначиться сама собою.
До речі, зазначимо, що рівняння для струму можна проаналізувати й вишуканіше, якщо уявити собі, що густина струму і справді збігається з добутком густини заряду на швидкість течії електронної рідини, тобто що J=ρv. Тоді (19.18) рівнозначне рівнянню
До речі, зазначимо, що рівняння для струму можна проаналізувати й вишуканіше, якщо уявити собі, що густина струму і справді збігається з добутком густини заряду на швидкість течії електронної рідини, тобто що J=ρv. Тоді (19.18) рівнозначне рівнянню
Зображення
Ми зауважуємо, що в mv -імпульсі є дві частини: одна пов'язана з векторним потенціалом, а інша з поведінкою хвильової функції. Іншими словами, величина h∇θ— це якраз те, що ми називали р-імпульсом.