Цю лекцію я читаю вам для розваги. Захотілося подивитися, що вийде, якщо почати читати в дещо іншому стилі. До курсу вона не входить, і не думайте, що це спроба навчити вас за останню годину чогось нового. Я радше уявляю, ніби проводжу семінар або ніби роблю звіт про дослідження перед аудиторією більш підготовленою, перед людьми, які в квантовій механіці вже багато розуміють. Основна відмінність між семінаром і звичайною лекцією в тому, що на семінарі доповідач не наводить усіх стадій, усієї алгебри викладок. Він просто каже: «Якщо ви зробите те й те, то вийде ось що», а в деталі не заглиблюється. От і в цій лекції будуть тільки висловлюватися ідеї та наводитися результати розрахунків. А ви маєте розуміти, що зовсім не обов'язково в усьому негайно й до кінця розбиратися, треба тільки вірити, що якщо виконати всі викладки, то все так і вийде.
Але це не все. Головне — що про це мені хочеться говорити. Це така свіжа, актуальна, сучасна тема, що цілком законно винести її на семінар. Тема ця — класичний аспект рівняння Шредінгера, явище надпровідності.
Зазвичай та хвильова функція, яка з'являється в рівнянні Шредінгера, стосується тільки однієї або двох частинок. І сама хвильова функція класичного змісту не має, на відміну від електричного поля, або векторного потенціалу, або інших подібних речей. Щоправда, хвильова функція окремої частинки — це «поле» в тому сенсі, що вона є функцією положення, але класичного значення вона, взагалі кажучи, не має. Тим не менш, іноді бувають обставини, за яких квантовомеханічна хвильова функція справді має класичне значення, саме їх я і хочу торкнутися. Своєрідність квантовомеханічної поведінки речовини в дрібних масштабах зазвичай не дає себе відчути у великомасштабних явищах, якщо не рахувати стандартних висновків про те, що вона викликає до життя закони Ньютона, закони так званої класичної механіки. Але часом існують обставини, за яких особливості квантової механіки можуть особливим чином позначитися на великомасштабних явищах.
За низьких температур, коли енергія системи дуже-дуже сильно спадає, замість колишньої величезної кількості станів у гру вступає тільки дуже-дуже мала кількість станів — тих, що розташовані неподалік від основного. За таких умов квантовомеханічний характер цього основного стану може проявитися на макроскопічному рівні. От метою цієї лекції і буде продемонструвати зв'язок між квантовою механікою та великомасштабними ефектами — не звичайне обговорення шляху, яким квантова механіка в середньому відтворюється ньютоновою механікою, а особливий випадок, коли квантова механіка викликає свої власні, характерні для неї ефекти у великих, «макроскопічних» розмірах.
Почну з того, що нагадаю вам деякі властивості рівняння Шредінгера. Я хочу за допомогою рівняння Шредінгера описати поведінку частинки в магнітному полі, тому що явища надпровідності пов'язані з магнітними полями. Зовнішнє магнітне поле описується векторним потенціалом, і питання полягає в тому, якими є закони квантової механіки в полі векторного потенціалу. Принцип, що визначає квантовомеханічну поведінку частинки в полі векторного потенціалу, дуже простий. Амплітуда того, що частинка за наявності поля перейде якимось шляхом з одного місця в інше (фіг. 19.1), дорівнює амплітуді того, що вона пройшла б цим шляхом без поля, помноженій на експоненту від криволінійного інтеграла від векторного потенціалу, помноженого своєю чергою на електричний заряд і поділеного на сталу Планка [див. розд. 15, § 2 (вип. 6)]:
Але це не все. Головне — що про це мені хочеться говорити. Це така свіжа, актуальна, сучасна тема, що цілком законно винести її на семінар. Тема ця — класичний аспект рівняння Шредінгера, явище надпровідності.
Зазвичай та хвильова функція, яка з'являється в рівнянні Шредінгера, стосується тільки однієї або двох частинок. І сама хвильова функція класичного змісту не має, на відміну від електричного поля, або векторного потенціалу, або інших подібних речей. Щоправда, хвильова функція окремої частинки — це «поле» в тому сенсі, що вона є функцією положення, але класичного значення вона, взагалі кажучи, не має. Тим не менш, іноді бувають обставини, за яких квантовомеханічна хвильова функція справді має класичне значення, саме їх я і хочу торкнутися. Своєрідність квантовомеханічної поведінки речовини в дрібних масштабах зазвичай не дає себе відчути у великомасштабних явищах, якщо не рахувати стандартних висновків про те, що вона викликає до життя закони Ньютона, закони так званої класичної механіки. Але часом існують обставини, за яких особливості квантової механіки можуть особливим чином позначитися на великомасштабних явищах.
За низьких температур, коли енергія системи дуже-дуже сильно спадає, замість колишньої величезної кількості станів у гру вступає тільки дуже-дуже мала кількість станів — тих, що розташовані неподалік від основного. За таких умов квантовомеханічний характер цього основного стану може проявитися на макроскопічному рівні. От метою цієї лекції і буде продемонструвати зв'язок між квантовою механікою та великомасштабними ефектами — не звичайне обговорення шляху, яким квантова механіка в середньому відтворюється ньютоновою механікою, а особливий випадок, коли квантова механіка викликає свої власні, характерні для неї ефекти у великих, «макроскопічних» розмірах.
Почну з того, що нагадаю вам деякі властивості рівняння Шредінгера. Я хочу за допомогою рівняння Шредінгера описати поведінку частинки в магнітному полі, тому що явища надпровідності пов'язані з магнітними полями. Зовнішнє магнітне поле описується векторним потенціалом, і питання полягає в тому, якими є закони квантової механіки в полі векторного потенціалу. Принцип, що визначає квантовомеханічну поведінку частинки в полі векторного потенціалу, дуже простий. Амплітуда того, що частинка за наявності поля перейде якимось шляхом з одного місця в інше (фіг. 19.1), дорівнює амплітуді того, що вона пройшла б цим шляхом без поля, помноженій на експоненту від криволінійного інтеграла від векторного потенціалу, помноженого своєю чергою на електричний заряд і поділеного на сталу Планка [див. розд. 15, § 2 (вип. 6)]:Зображення
Це вихідне твердження квантової механіки.
І от за відсутності векторного потенціалу рівняння Шредінгера для зарядженої частинки (нерелятивістської, без спіна) має вигляд
І от за відсутності векторного потенціалу рівняння Шредінгера для зарядженої частинки (нерелятивістської, без спіна) має вигляд
Зображення
де φ — електричний потенціал, так що qφ — потенціальна енергія. А рівняння (19.1) рівнозначне твердженню, що в магнітному полі градієнти в гамільтоніані потрібно щоразу заміняти на градієнт мінус iqА/h, так що (19.2) перетворюється на
Зображення
Це і є рівняння Шредінгера для частинки із зарядом q (нерелятивістської, без спіна), яка рухається в електромагнітному полі А, φ.
Щоб стало зрозуміло, що воно правильне, я хочу проілюструвати це простим прикладом, коли замість неперервного випадку є лінія атомів, розставлених на осі x на відстані b один від одного, і існує амплітуда —K того, що електрон перескочить за відсутності поля від одного атома до іншого. Тоді, згідно з рівнянням (19.1), якщо є вектор-потенціал Аx(х, t) у x-напрямку, то амплітуда перескоку порівняно з тим, що було раніше, зміниться, її доведеться домножити на exp [(iq/h)A xb] — експоненту з показником, що дорівнює добутку iq/h на векторний потенціал, проінтегрований від одного атома до іншого. Для простоти ми будемо писати (q/h)Ax≡f(x), оскільки Аx, взагалі кажучи, залежить від x. Якщо позначити через С(х)≡Сn амплітуду того, що електрон виявиться біля атома n, розташованого в точці x, то швидкість зміни цієї амплітуди даватиметься рівнянням
Щоб стало зрозуміло, що воно правильне, я хочу проілюструвати це простим прикладом, коли замість неперервного випадку є лінія атомів, розставлених на осі x на відстані b один від одного, і існує амплітуда —K того, що електрон перескочить за відсутності поля від одного атома до іншого. Тоді, згідно з рівнянням (19.1), якщо є вектор-потенціал Аx(х, t) у x-напрямку, то амплітуда перескоку порівняно з тим, що було раніше, зміниться, її доведеться домножити на exp [(iq/h)A xb] — експоненту з показником, що дорівнює добутку iq/h на векторний потенціал, проінтегрований від одного атома до іншого. Для простоти ми будемо писати (q/h)Ax≡f(x), оскільки Аx, взагалі кажучи, залежить від x. Якщо позначити через С(х)≡Сn амплітуду того, що електрон виявиться біля атома n, розташованого в точці x, то швидкість зміни цієї амплітуди даватиметься рівнянням
Зображення
У ньому три частини. По-перше, в електрона, який перебуває в точці x, є певна енергія Е0. Це, як завжди, дає член Е0С(х). Потім є член —КС(x+b), тобто амплітуда того, що електрон від атома n+1, розташованого в x+b, відскочив на крок назад. Однак якщо це відбувається за наявності векторного потенціалу, то фаза амплітуди зобов'язана зміститися згідно з правилом (19.1). Якщо А x на відстані між сусідніми атомами помітно не змінюється, то інтеграл можна записати просто у вигляді значення А x посередині, помноженого на відстань. Отже, добуток (iq/h) на інтеграл дорівнює ibf(x+b/2). А оскільки електрон стрибав назад, я цей зсув фази позначаю знаком мінус. Це дає другу частину. І точно так само є деяка амплітуда того, що буде стрибок вперед, але цього разу вже береться векторний потенціал з іншого боку від x, на відстані b/2, і множиться на відстань b. Це дає третю частину. У сумі виходить рівняння для амплітуди того, що частинка в полі, яке характеризується векторним потенціалом, опиниться в точці x.
Але далі ми знаємо, що якщо функція С(x) достатньо плавна (ми беремо довгохвильову межу) і якщо ми зсунемо атоми тісніше, то рівняння (14.4) (стор. 80) буде приблизно описувати поведінку електрона в порожнечі. Тому наступним кроком стане розкладання обох сторін (19.4) за степенями b, вважаючи b дуже малим. Наприклад, якщо b=0, то права частина дорівнюватиме просто (Е0—2К)С(x), так що в нульовому наближенні енергія дорівнює Е0—2К. Потім підуть степені b, але через те, що знаки показників експонент протилежні, залишаться тільки парні степені. У підсумку, якщо ви розкладете в ряд Тейлора С(x), f(x) і експоненти і зберете потім члени з b2, ви отримаєте
Але далі ми знаємо, що якщо функція С(x) достатньо плавна (ми беремо довгохвильову межу) і якщо ми зсунемо атоми тісніше, то рівняння (14.4) (стор. 80) буде приблизно описувати поведінку електрона в порожнечі. Тому наступним кроком стане розкладання обох сторін (19.4) за степенями b, вважаючи b дуже малим. Наприклад, якщо b=0, то права частина дорівнюватиме просто (Е0—2К)С(x), так що в нульовому наближенні енергія дорівнює Е0—2К. Потім підуть степені b, але через те, що знаки показників експонент протилежні, залишаться тільки парні степені. У підсумку, якщо ви розкладете в ряд Тейлора С(x), f(x) і експоненти і зберете потім члени з b2, ви отримаєте
Зображення
(штрихи позначають диференціювання за x).
Це жахливе нагромадження різних літер виглядає дуже складно. Але математично воно в точності збігається з
Це жахливе нагромадження різних літер виглядає дуже складно. Але математично воно в точності збігається з
Зображення
Друга дужка, діючи на С(x), дасть С′(x) мінус if(x)C(x). Перша дужка, діючи на ці два члени, дасть член з С″, члени з першими похідними f(x) і з першою похідною С(x). А тепер згадайте, що розв'язки в нульовому магнітному полі (див. розд. 11, § 3) зображують частинку з ефективною масою mеф, яка дається формулою
Зображення
Якщо ви потім покладете Е0=+2К і знову повернетеся до f(x) = (q/h)Ax, то легко переконаєтеся, що (19.6) це те саме, що перша частина (19.3). (Походження члена з потенціальною енергією добре відоме, і я не буду ним займатися.) Твердження (19.1) про те, що векторний потенціал множить усі амплітуди на експоненційний множник, рівнозначне правилу, що оператор імпульсу (h/i)∇ заміняється на (h/i)∇—qА, як ми й зробили в рівнянні Шредінгера (19.3).