Переходи Джозефсона

І ось насамкінець я переходжу до розгляду дуже цікавого випадку, вперше відзначеного Джозефсоном, до аналізу того, що буває при контакті двох надпровідників. Нехай у нас є два надпровідники, з'єднані тонким шаром ізолятора (фіг. 19.6). Тепер такий пристрій називається «переходом Джозефсона». Якщо ізолювальний шар товстий, електрони не можуть пройти крізь нього, але якщо він досить тонкий, то електрони можуть мати помітну квантовомеханічну амплітуду перескоку. Це попросту новий приклад квантовомеханічного проникнення крізь бар'єр. Джозефсон проаналізував такий випадок і з'ясував, що при цьому має відбуватися чимало дивних явищ.
 
Для аналізу такого контакту я позначу амплітуду того, що електрон опиниться на одному боці, через ψ₁, а того, що на іншому,— через ψ₂. У надпровідному стані хвильова функція ψ₁ — це загальна хвильова функція всіх електронів з одного боку, а ψ₂ — відповідна функція з іншого боку. Цю задачу можна розв'язувати для надпровідників різного сорту, але ми обмежимося найпростішим випадком, коли речовина по обидва боки одна й та сама, — так що з'єднання найпростіше і симетричне. І нехай поки що ніякого магнітного поля немає. Тоді зв'язок між цими двома амплітудами повинен бути таким:

Стала K характеризує даний перехід. Якби K дорівнювала нулю, то ця пара рівнянь попросту описувала б найнижчий енергетичний стан (з енергією U) кожного надпровідника. Але обидва боки пов'язані амплітудою K, яка виражає можливість витоку з одного боку в інший (це якраз відома нам за дворівневими системами амплітуда «перекидання»). Якщо обидва боки однакові, то U₁ дорівнюватиме U₂, і я маю право їх просто відняти. Але тепер припустімо, що ми під'єднали дві надпровідні області до двох полюсів батарейки, так що до переходу виявилася прикладеною різниця потенціалів V. Тоді U₁ — U₂ = qV. Для зручності я можу вибрати нуль енергії посередині між U₁ і U₂, і тоді рівняння перетворяться на

Це стандартні рівняння двох зв'язаних квантовомеханічних станів. Цього разу давайте проаналізуємо їх по-іншому. Зробимо підстановки:

де θ₁ і θ₂— фази по обидва боки контакту, а ρ₁ і ρ₂— густини електронів у цих двох точках. Згадаймо, що на практиці ρ₁ і ρ₂ майже точно збігаються одна з одною і дорівнюють ρ₀ — нормальній густині електронів у надпровідному матеріалі. Якщо ви тепер підставите ці формули для ψ₁ і ψ₂ у (19.40) і прирівняєте дійсні частини до дійсних, а уявні — до уявних, то вийде четвірка рівнянь (для стислості позначено θ₂—θ₁=δ):

Перша пара рівнянь говорить, що ρ₁ = —ρ₂ «Але,— скажете ви,— вони ж обидві повинні дорівнювати нулю, раз ρ₁ і ρ₂ обидві незмінно дорівнюють ρ₀». Не зовсім. Ці рівняння описують не все. Вони говорять, якими були б ρ₁ і ρ₂, якби не було додаткових електричних сил через те, що немає балансу між електронною рідиною і фоном позитивних іонів. Вони повідомляють, як почали б змінюватися густини, і тому описують той струм, який почав би текти. Цей струм, що тече від боку 1 до боку  2, був би якраз рівний ρ₁ (або — ρ₂), або

Такий струм невдовзі зарядив би бік 2, якби можна було забути, що обидва боки з'єднані дротами з батареєю. Однак він не зарядить область 2 (і не розрядить область 1), тому що виникнуть струми, які вирівняють потенціал. У наші рівняння ці струми від батареї не входять. Якби їх додати, то ρ₁ і ρ₂ залишалися б фактично постійними, а струм через перехід визначався  б формулою (19.44).
 
Оскільки ρ₁ і ρ₂ справді залишаються постійними і рівними ρ₀, покладімо 2Kρ₀/h=J₀ і напишемо

Тоді J₀, подібно до K, є числом, що характеризує даний перехід.
 
Інша пара рівнянь (19.43) дає нам θ₁ і θ₂. Нас цікавить різниця δ=θ₂—θ₁, яку ми хочемо підставити в (19.45); з рівнянь же ми маємо

Це означає, що можна написати

де δ₀ — значення δ при t=0. Не забувайте також, що q — це заряд пари, q=2q_e. У рівняннях (19.45) і (19.47) міститься важливий результат — загальна теорія переходів Джозефсона.
 
То що ж із них випливає? Спочатку прикладемо постійну напругу. Якщо прикласти постійну напругу V₀, то аргумент синуса набуде вигляду δ₀+(q/h)V₀t. Оскільки h/q—число маленьке (порівняно зі звичайними напругами і часами), то синус коливатиметься доволі швидко, і в підсумку жодний струм не піде. (Практично, оскільки температура не дорівнює нулю, невеликий струм усе ж буде через провідність «нормальних» електронів.) З іншого боку, якщо напруга на переході дорівнює нулю, то струм може піти! Якщо немає напруги, то струм може дорівнювати будь-якій величині між +J₀ і —J₀ (залежно від того, яке значення δ₀). Але спробуйте прикласти напругу —і струм обернеться в нуль. Ця дивна поведінка нещодавно спостерігалася експериментально.
 
Струм можна отримати і іншим способом: крім постійної напруги — прикласти ще  і високу частоту. Нехай

Перший член у середньому дає нуль, але другий у нуль не обертається, якщо

Отже, якщо частота змінної напруги дорівнює (q/h)V₀, то крізь контакт піде струм. Шапіро повідомив, що він спостерігав такий резонансний ефект.
 
Якщо ви переглянете роботи на цю тему, то помітите, що в них формула для струму часто записується у вигляді

де інтеграл береться по шляху, що веде через перехід. Причина тут у тому, що якщо перехід перебуває в полі векторного потенціалу, то фаза амплітуди перекидання видозмінюється так, як було пояснено на початку [рівняння (19.1)]. Якщо ви всюди врахуєте такий зсув фази, то отримаєте потрібні формули.
 
Нарешті, я хотів би описати дуже ефектний і цікавий дослід з інтерференції струмів, що проходять через два переходи, який був нещодавно проведений. Ми звикли зустрічатися в квантовій механіці з інтерференцією амплітуд від двох щілин. Зараз ми матимемо справу з інтерференцією двох струмів, що течуть через два переходи між надпровідниками. Вона викликається різницею у фазах, з якими зливаються струми, що пройшли двома різними шляхами. На фіг. 19.7 показано паралельне з'єднання двох переходів a і b між надпровідниками. Кінці надпровідників P і Q підключені до приладів, якими ми вимірюємо струм. Зовнішній струм J_полн буде сумою струмів через кожен з переходів. Нехай J_a і J_b це струми через переходи, і нехай їхні фази будуть δ_a і δ_b. Різниця фаз хвильових функцій у точках P і Q повинна бути однаковою, яким би шляхом ви не пішли. На тому шляху, що йде через перехід a, різниця фаз між P і Q дорівнює δ_a плюс криволінійний інтеграл від векторного потенціалу вздовж верхнього шляху:

Чому? Тому що фаза θ пов'язана з А рівнянням (19.26). Якщо ви це рівняння проінтегруєте вздовж якогось шляху, то ліва частина дасть зміну фази, яка тим самим якраз виявиться пропорційною криволінійному інтегралу від А, що й написано. Зміна фази по нижньому шляху може бути записана подібним же чином:

Ці величини повинні бути рівні; якщо я їх відніму, то отримаю, що різниця дельт повинна дорівнювати контурному інтегралу від А по замкненому шляху

Тут інтеграл береться по замкненому контуру Г (див. фіг. 19.7), що проходить через обидва переходи. Інтеграл від А це магнітний потік Ф через контур. Отже, дві дельти виявляються відмінними на 2q_e/h, помножене на магнітний потік Ф, що проходить між двома гілками схеми:

Змінюючи магнітне поле в схемі, я зможу контролювати цю різницю фаз. Я її налаштую так, щоб подивитися, чи проявиться в повному струмі, що тече крізь обидва переходи, інтерференція між його частинами. Повний струм дорівнює сумі J_a і J_b. Для зручності я прийму

Ми не знаємо, яке значення δ₀, і природа тут може, залежно від обставин, витворяти все, що їй заманеться. Зокрема, δ₀ може залежати від прикладеної до переходів зовнішньої напруги. Але що б ми не робили, sinδ₀ не виявиться більшим за одиницю. Отже, гранично сильний струм для кожного даного Ф дається формулою

Цей граничний струм змінюється залежно від того, яке Ф, і сам досягає максимуму щоразу, коли

де n — ціле число. Іншими словами, струм досягає свого максимуму, коли потік, що зчіплюється зі схемою, набуває тих самих квантованих значень, які ми отримали в рівнянні  (19.30)!
 
Струм Джозефсона через подвійний перехід нещодавно був виміряний як функція магнітного поля в області між гілками. Результати наведено на фіг. 19.8. Тут ми бачимо загальний фон від струмів, викликаних різними ефектами, якими ми знехтували, але швидкі коливання струму при зміні магнітного поля пояснюються наявністю інтерференційного члена cos(q_eФ/h) у (19.52).
 
Одне з найінтригуючіших питань квантової механіки— це питання про те, чи існує векторний потенціал у тому місці, де немає поля. Дослід, який я щойно описав, був проведений теж з вузеньким соленоїдом, поміщеним між двома переходами, так що помітне магнітне поле В було тільки всередині соленоїда, а на надпровідні дроти його потрапляло знехтувано мало. І от виявилося, що сила струму коливається зі зміною потоку магнітного поля всередині цього соленоїда, навіть якщо саме поле і не торкається дротів. Це ще один доказ «фізичної реальності» векторного потенціалу [див. розд. 15, § 5 (вип. 6)].
 
Я не знаю, що тепер на черзі. Але подивіться-но, що можна було б зробити. По-перше, зауважте, що інтерференція між двома переходами може бути застосована для створення чутливого магнітометра. Якщо площа, охоплювана двома переходами, дорівнює, скажімо, 1 мм², то максимуми на кривій фіг. 19.8 будуть відстояти один від одного на 2·10^–5 гс. Одну десяту проміжку між піками запросто можна помітити; отже, таким з'єднанням можна буде вимірювати поля величиною в 2·10^–6гс, або вимірювати більші поля з такою ж хорошою точністю. Можна навіть піти далі. Уявімо, наприклад, що ми впритул одна до одної на рівних відстанях розставили 10—20 переходів. Тоді вийде інтерференція на 10—20 щілинах, і при зміні магнітного поля ми отримаємо дуже різкі максимуми і мінімуми. Замість інтерференції на двох щілинах у нас буде двадцяти-, а може, і стощілинний інтерферометр для вимірювання магнітного поля. Ймовірно, можна передбачити, що вимірювання магнітних полів при використанні квантовомеханічної інтерференції стануть майже такими ж точними, як вимірювання довжин світлових хвиль.
 
Це ще одна ілюстрація до того, що відбувається у фізиці останнім часом — поява транзистора, лазера, а тепер ці переходи надпровідників, практичне значення яких поки ще не розкрито повністю. Квантова механіка, відкрита в 1926 р., мала за своїми плечима майже 40 років розвитку, коли раптом несподівано вона здобула безліч реальних практичних застосувань. Якось відразу з'явилася можливість вкрай делікатно і тонко керувати природою.
 
І мушу вам повідомити, джентльмени, як це не прикро, що для того, щоб узяти в цьому участь, вам абсолютно необхідно якомога швидше вивчити квантову механіку. У цьому курсі ми спробували відшукати шлях, на якому таємниці цієї галузі фізики стали б вам зрозумілими якомога раніше.