Коли ми вивчали надтонку структуру атома водню в розд. 10 (вип. 8), нам довелося обчислювати внутрішні стани системи, складеної з двох частинок — електрона і протона — зі спінами 1/2. Ми знайшли, що четвірка можливих спінових станів такої системи може бути розбита на дві групи — на трійку станів з однією енергією, яка в зовнішньому полі виглядала як частинка зі спіном 1, і на один залишений стан, який поводився як частинка зі спіном 0. Інакше кажучи, об'єднуючи дві частинки зі спіном 1/2, можна утворити систему, «повний спін» якої дорівнює або одиниці, або нулю. У цьому параграфі ми хочемо розглянути на більш загальному рівні спінові стани системи, складеної з двох частинок з довільними спінами. Це інша важлива проблема, пов'язана з моментами кількості руху квантовомеханічної системи.
Перепишемо спершу результати розд. 10 для атома водню у формі, яка дозволить поширити їх на більш загальний випадок. Почнемо з двох частинок, які тепер позначимо так: частинка a (електрон) і частинка b (протон). Спін частинки a дорівнював ja ( = 1/2), а z-компонента моменту кількості руху ma могла набувати одного з кількох значень (насправді двох, а саме ma = +1/2 або ma = — 1/2). Так само спіновий стан частинки b описувався її спіном jb і z-компонентою моменту кількості руху mb. З усього цього можна було скласти кілька комбінацій спінових станів двох частинок. Наприклад, з частинки a з ma = 1/2 і частинки b з mb = — 1/2, можна було утворити стан | a, + 1/2; b, – 1/2>. Взагалі, об'єднані стани утворювали систему, в якої «спін системи», або «повний спін», або «повний момент кількості руху» J міг дорівнювати або одиниці, або нулю, а z-компонента моменту кількості руху M могла дорівнювати +1, 0 або —1 при J = 1 і нулю при J=0. Цією новою мовою формули (10.41) і (10.42) можна переписати так, як показано в табл. 16.3.
Лівий стовпець таблиці описує складений стан через його повний момент кількості руху J і z-компоненту M.
Перепишемо спершу результати розд. 10 для атома водню у формі, яка дозволить поширити їх на більш загальний випадок. Почнемо з двох частинок, які тепер позначимо так: частинка a (електрон) і частинка b (протон). Спін частинки a дорівнював ja ( = 1/2), а z-компонента моменту кількості руху ma могла набувати одного з кількох значень (насправді двох, а саме ma = +1/2 або ma = — 1/2). Так само спіновий стан частинки b описувався її спіном jb і z-компонентою моменту кількості руху mb. З усього цього можна було скласти кілька комбінацій спінових станів двох частинок. Наприклад, з частинки a з ma = 1/2 і частинки b з mb = — 1/2, можна було утворити стан | a, + 1/2; b, – 1/2>. Взагалі, об'єднані стани утворювали систему, в якої «спін системи», або «повний спін», або «повний момент кількості руху» J міг дорівнювати або одиниці, або нулю, а z-компонента моменту кількості руху M могла дорівнювати +1, 0 або —1 при J = 1 і нулю при J=0. Цією новою мовою формули (10.41) і (10.42) можна переписати так, як показано в табл. 16.3.
Лівий стовпець таблиці описує складений стан через його повний момент кількості руху J і z-компоненту M.
Зображення
Правий стовпець показує, як складаються ці стани зі значень m двох частинок a і b.
Ми хочемо узагальнити цей результат на стани, складені з двох об'єктів a і b з довільними спінами ja і jb. Почнемо з розбору прикладу, коли ja = 1/2 і jb = 1, а саме з атома дейтерію, в якому частинка a — це електрон e, а частинка b— ядро, тобто дейтрон d. Тоді ja = je = 1/2. Дейтрон утворений з одного протона й одного нейтрона в стані з повним спіном 1, тож jb = jd = 1. Ми хочемо розглянути надтонкі стани дейтерію, як ми зробили це для водню. Оскільки в дейтрона може бути три стани, mb = md = +1, 0, —1, а в електрона — два, ma = me = + 1/2, — 1/2, то всього є шість можливих станів, а саме (використовується позначення |е, me; d, md>):
Ми хочемо узагальнити цей результат на стани, складені з двох об'єктів a і b з довільними спінами ja і jb. Почнемо з розбору прикладу, коли ja = 1/2 і jb = 1, а саме з атома дейтерію, в якому частинка a — це електрон e, а частинка b— ядро, тобто дейтрон d. Тоді ja = je = 1/2. Дейтрон утворений з одного протона й одного нейтрона в стані з повним спіном 1, тож jb = jd = 1. Ми хочемо розглянути надтонкі стани дейтерію, як ми зробили це для водню. Оскільки в дейтрона може бути три стани, mb = md = +1, 0, —1, а в електрона — два, ma = me = + 1/2, — 1/2, то всього є шість можливих станів, а саме (використовується позначення |е, me; d, md>):
Зображення
Зверніть увагу, що ми розташували стани відповідно до значень суми me і md у порядку її спадання.
Запитаємо тепер: що станеться з цими станами, якщо спроєктувати їх в іншу систему координат? Якщо цю нову систему просто повернути навколо осі z на кут φ, то стан |е, me; d, md> множиться на
Запитаємо тепер: що станеться з цими станами, якщо спроєктувати їх в іншу систему координат? Якщо цю нову систему просто повернути навколо осі z на кут φ, то стан |е, me; d, md> множиться на
Зображення
(Стан можна вважати добутком | е, me> | d, md>, і кожен вектор стану незалежно внесе свій власний експоненційний множник.) Множник (16.43) має форму еiMφ, тому z-компонента моменту кількості руху в стану | е, me; d, md> виявиться рівною
Зображення
Інакше кажучи, z-компонента повного моменту кількості руху є сума z-компонент моментів кількості руху окремих частин.
Отже, в переліку станів (16.42) верхній стан має M = +3/2, два наступних M = +1/2 , потім два М = — 1/2 і останній стан M = — 3/2. Ми одразу ж бачимо, що однією з можливостей для спіну J об'єднаного стану (для повного моменту кількості руху) має бути 3/2, це вимагатиме чотирьох станів з M = +3/2, +1/2, — 1/2 і — 3/2.
На M = +3/2 є тільки один кандидат, і ми одразу бачимо, що
Отже, в переліку станів (16.42) верхній стан має M = +3/2, два наступних M = +1/2 , потім два М = — 1/2 і останній стан M = — 3/2. Ми одразу ж бачимо, що однією з можливостей для спіну J об'єднаного стану (для повного моменту кількості руху) має бути 3/2, це вимагатиме чотирьох станів з M = +3/2, +1/2, — 1/2 і — 3/2.
На M = +3/2 є тільки один кандидат, і ми одразу бачимо, що
Зображення
Але що є станом |J = 3/2, М = + 1/2 >? Кандидатів тут два, вони стоять у другому рядку (16.42), і будь-яка їх лінійна комбінація теж дасть М = + 1/2. Отже, у загальному випадку можна очікувати, що
Зображення
де α і β — два числа. Їх називають коефіцієнти Клебша — Гордона. Знайти їх і буде нашим черговим завданням.
І ми їх легко знайдемо, якщо просто згадаємо, що дейтрон складається з нейтрона і протона, і в явному вигляді розпишемо стани дейтрона, користуючись правилами табл. 16.3. Якщо це зробити, то перелічені в (16.42) стани матимуть вигляд, показаний у табл. 16.4.
Користуючись станами з цієї таблиці, ми хочемо утворити четвірку станів з J = 3/2. Але відповідь нам уже відома, тому що в табл. 16.1 уже стоять стани зі спіном 3/2, утворені з трьох частинок зі спіном 1/2. Перший стан у табл. 16.1 має |J = 3/2, M = +3/2>, це | + + + >, а в наших теперішніх позначеннях це | е, + 1/2; n, + 1/2; р, + 1/2 > або перший стан з табл. 16.4. Але цей стан — те саме, що перший за списком у (16.42), тож наш вираз (16.45) підтверджується. Другий рядок у табл. 16.1 стверджує, якщо скористатися нашими теперішніми позначеннями, що
І ми їх легко знайдемо, якщо просто згадаємо, що дейтрон складається з нейтрона і протона, і в явному вигляді розпишемо стани дейтрона, користуючись правилами табл. 16.3. Якщо це зробити, то перелічені в (16.42) стани матимуть вигляд, показаний у табл. 16.4.
Користуючись станами з цієї таблиці, ми хочемо утворити четвірку станів з J = 3/2. Але відповідь нам уже відома, тому що в табл. 16.1 уже стоять стани зі спіном 3/2, утворені з трьох частинок зі спіном 1/2. Перший стан у табл. 16.1 має |J = 3/2, M = +3/2>, це | + + + >, а в наших теперішніх позначеннях це | е, + 1/2; n, + 1/2; р, + 1/2 > або перший стан з табл. 16.4. Але цей стан — те саме, що перший за списком у (16.42), тож наш вираз (16.45) підтверджується. Другий рядок у табл. 16.1 стверджує, якщо скористатися нашими теперішніми позначеннями, що
Зображення
Те, що стоїть у правій частині, можна, очевидно, скласти з двох членів у другому рядку табл. 16.4, взявши √2/3 від першого члена і √1/3 від другого. Інакше кажучи, (16.47) еквівалентно
Зображення
Зображення
Ми знайшли два наших перших коефіцієнти Клебша — Гордона α і β [див. (16.46)]:
Зображення
Це і є правила складання зі спіну 1 і спіну 1/2 повного спіну J = 3/2. Ми звели (16.45) і (16.50) в табл. 16.5.
Зображення
Але у нас поки є тільки чотири стани, а в системи, яку ми розглядаємо, їх шість.
З двох станів у другому рядку (16.42) ми для утворення | J = 3/2, M =+ 1/2 > склали тільки одну лінійну комбінацію. Є й інша лінійна комбінація, ортогональна до неї, у неї теж M = + 1/2 і вона має вигляд
З двох станів у другому рядку (16.42) ми для утворення | J = 3/2, M =+ 1/2 > склали тільки одну лінійну комбінацію. Є й інша лінійна комбінація, ортогональна до неї, у неї теж M = + 1/2 і вона має вигляд
Зображення
Точно так само з двох станів у третьому рядку (16.42) можна скомбінувати два взаємно-ортогональних стани, кожен з М=— 1/2. Той, що ортогональний до (16.50), має вигляд
Зображення
Це і є два залишені стани. У них М = me+md±1/2; ці стани мають відповідати J = 1/2. Отже, ми маємо
Зображення
Можна переконатися, що ці два стани справді поводяться як стани об'єкта зі спіном 1/2; для цього треба виразити дейтронну частину через нейтронні й протонні стани (за допомогою табл. 16.3). Перший стан у (16.53) перетвориться на
Зображення
а це можна переписати так:
Зображення
Погляньте тепер на вираз у перших фігурних дужках і подумайте, що виходить при об'єднанні e і p. Разом вони утворюють стан з нульовим спіном (див. нижній рядок у табл. 16.3) і не дають внеску в момент кількості руху. Залишився тільки нейтрон, отже, уся перша фігурна дужка (16.56) поводитиметься при поворотах як нейтрон, а саме як стан з J= 1/2 , М=±1/2.
Повторюючи ті самі міркування, переконаємось, що в других фігурних дужках (16.56) електрон і нейтрон об'єднуються, щоб утворити нульовий момент кількості руху, і залишається тільки внесок протона — з mp =+1/2. Дужка знову поводиться як об'єкт з J = + 1/2, М=+ 1/2. Отже, і весь вираз (16.56) перетворюється як |J = + 1/2, М=+ 1/2>, чого ми й хотіли. Стан M= — 1/2, що відповідає формулі (16.56), можна розписати так (замінивши всюди, де потрібно, +1/2 на — 1/2):
Повторюючи ті самі міркування, переконаємось, що в других фігурних дужках (16.56) електрон і нейтрон об'єднуються, щоб утворити нульовий момент кількості руху, і залишається тільки внесок протона — з mp =+1/2. Дужка знову поводиться як об'єкт з J = + 1/2, М=+ 1/2. Отже, і весь вираз (16.56) перетворюється як |J = + 1/2, М=+ 1/2>, чого ми й хотіли. Стан M= — 1/2, що відповідає формулі (16.56), можна розписати так (замінивши всюди, де потрібно, +1/2 на — 1/2):
Зображення
Ви легко перевірите, що це збігається з другим рядком у (16.54), як і належить, якщо кожна дужка є одним із двох станів системи зі спіном 1/2. Отже, наші результати підтвердилися. Дейтрон і електрон можуть існувати в шести спінових станах, чотири з яких поводяться як стани об'єкта зі спіном 3/2 (табл. 16.5), а два — як об'єкт зі спіном 1/2 (16.54).
Результати табл. 16.5 і рівняння (16.54) ми отримали, скориставшись тим, що дейтрон складається з нейтрона і протона. Правильність рівнянь не залежить від цієї особливої обставини. Для будь-якого об'єкта зі спіном 1, що об'єднується з об'єктом зі спіном 1/2, закони об'єднання (і коефіцієнти) ті самі. Сукупність рівнянь у табл. 16.5 означає, що якщо система координат повертається, скажімо, навколо осі y, так що стани частинки зі спіном 1/2 і частинки зі спіном 1 змінюються згідно з табл. 16.1 і 16.2, то лінійні комбінації в правій частині знака рівності змінюватимуться так, як це властиво об'єкту зі спіном 3/2. При такому самому повороті стани (16.54) змінюватимуться як стани об'єкта зі спіном 1/2. Результати залежать тільки від властивостей відносно поворотів (тобто від спінових станів) двох вихідних частинок, але аж ніяк не від походження їхніх моментів кількості руху. Ми цим походженням скористалися лише для виведення формул, вибравши окремий випадок, у якому одна зі складових частин сама складається з двох частинок зі спіном 1/2 у симетричному стані. Усі наші результати ми звели в табл. 16.6, змінивши індекси е і d на а і b, щоб підкреслити їхню спільність.
Результати табл. 16.5 і рівняння (16.54) ми отримали, скориставшись тим, що дейтрон складається з нейтрона і протона. Правильність рівнянь не залежить від цієї особливої обставини. Для будь-якого об'єкта зі спіном 1, що об'єднується з об'єктом зі спіном 1/2, закони об'єднання (і коефіцієнти) ті самі. Сукупність рівнянь у табл. 16.5 означає, що якщо система координат повертається, скажімо, навколо осі y, так що стани частинки зі спіном 1/2 і частинки зі спіном 1 змінюються згідно з табл. 16.1 і 16.2, то лінійні комбінації в правій частині знака рівності змінюватимуться так, як це властиво об'єкту зі спіном 3/2. При такому самому повороті стани (16.54) змінюватимуться як стани об'єкта зі спіном 1/2. Результати залежать тільки від властивостей відносно поворотів (тобто від спінових станів) двох вихідних частинок, але аж ніяк не від походження їхніх моментів кількості руху. Ми цим походженням скористалися лише для виведення формул, вибравши окремий випадок, у якому одна зі складових частин сама складається з двох частинок зі спіном 1/2 у симетричному стані. Усі наші результати ми звели в табл. 16.6, змінивши індекси е і d на а і b, щоб підкреслити їхню спільність.
Зображення
Поставимо тепер собі загальну задачу знайти стани, які можна утворити, об'єднуючи два об'єкти з довільними спінами. Скажімо, в одного спін ja (так що його z-компонента ma пробігає 2ja+1 значень від — ja до +ja), а в другого jb (з z-компонентою mb, що пробігає значення від — jb до +jb).
Об'єднані стани суть | a, ma; b, mb>, їх усього (2ja + 1)(2jb + 1). Які ж стани з повним спіном j ми виявимо?
Повна z-компонента M моменту кількості руху дорівнює ma+mb, і всі стани можна перелічити, спираючись на величину M [як у (16.42)]. Найбільше M є єдиним; воно відповідає значенням ma=ja і mb=jb і дорівнює просто ja+jb. Це означає, що найбільший повний спін J також дорівнює сумі ja+jb:
Об'єднані стани суть | a, ma; b, mb>, їх усього (2ja + 1)(2jb + 1). Які ж стани з повним спіном j ми виявимо?
Повна z-компонента M моменту кількості руху дорівнює ma+mb, і всі стани можна перелічити, спираючись на величину M [як у (16.42)]. Найбільше M є єдиним; воно відповідає значенням ma=ja і mb=jb і дорівнює просто ja+jb. Це означає, що найбільший повний спін J також дорівнює сумі ja+jb:
Зображення
Наступному значенню M, меншому за Ммакс на одиницю, відповідатимуть два стани (або ma, або mb менші за свої максимальні значення на одиницю). З них має бути утворений один стан, що належить сукупності з J=ja+jb , і залишиться ще один, який належатиме новій сукупності з J=ja+jb — 1. Наступне значення M (третє згори) можна скласти трьома шляхами (з ma=ja — 2, mb=jb, з ma=ja — 1, mb=jb — 1 і з ma = ja, mb=jb — 2). Два з них належать до вже розпочатих груп; третій каже нам, що треба включити в розгляд і стани з J=ja+jb — 2. Такі міркування продовжуватимуться доти, доки вже не можна буде, змінюючи то одне, то інше m, отримувати нові стани.
Нехай із ja і jb меншим є jb (а якщо вони однакові, візьміть будь-яке з них); тоді знадобляться тільки 2jb значень повного спіну j, що йдуть одиничними кроками від ja+jb вниз до ja — jb. Інакше кажучи, коли об'єднуються два об'єкти зі спінами ja і jb, то повний момент кількості руху j їхньої системи може дорівнювати одному зі значень:
Нехай із ja і jb меншим є jb (а якщо вони однакові, візьміть будь-яке з них); тоді знадобляться тільки 2jb значень повного спіну j, що йдуть одиничними кроками від ja+jb вниз до ja — jb. Інакше кажучи, коли об'єднуються два об'єкти зі спінами ja і jb, то повний момент кількості руху j їхньої системи може дорівнювати одному зі значень:
Зображення
(Написавши | ja — jb | замість ja — jb, ми можемо уникнути нагадування про те, що ja≥jb.)
Для кожного з цих значень j є 2j+1 станів з різними значеннями M; M змінюється від +J до — J. Кожен з них утворений з лінійних комбінацій вихідних станів | а, ma; b, mb> з відповідними коефіцієнтами — коефіцієнтами Клебша — Гордона для кожного окремого члена. Можна вважати, що ці коефіцієнти дають «кількість» стану |ja, ma; jb, mb>, що проявляється в стані | J, M>. Тож кожен з коефіцієнтів Клебша — Гордона має, якщо завгодно, шість індексів, що вказують його положення у формулах типу наведених у табл. 16.3 і 16.6. Інакше кажучи, позначаючи, скажімо, ці коефіцієнти C (J, M; ja, ma; jb, mb), можна виразити рівність у другому рядку табл. 16.6 так:
Для кожного з цих значень j є 2j+1 станів з різними значеннями M; M змінюється від +J до — J. Кожен з них утворений з лінійних комбінацій вихідних станів | а, ma; b, mb> з відповідними коефіцієнтами — коефіцієнтами Клебша — Гордона для кожного окремого члена. Можна вважати, що ці коефіцієнти дають «кількість» стану |ja, ma; jb, mb>, що проявляється в стані | J, M>. Тож кожен з коефіцієнтів Клебша — Гордона має, якщо завгодно, шість індексів, що вказують його положення у формулах типу наведених у табл. 16.3 і 16.6. Інакше кажучи, позначаючи, скажімо, ці коефіцієнти C (J, M; ja, ma; jb, mb), можна виразити рівність у другому рядку табл. 16.6 так:
Зображення
Ми не будемо тут підраховувати коефіцієнти для інших окремих випадків. Але ви знайдете такі таблиці в багатьох книжках. Спробуйте самі підрахувати інший випадок, наприклад об'єднання двох об'єктів зі спіном 1. Ми ж просто навели в табл. 16.7 остаточний результат.
Зображення
Ці закони об'єднання моментів кількості руху мають дуже важливе значення у фізиці частинок, їхнім застосуванням справді немає кінця. На жаль, у нас немає зараз більше часу на інші приклади.