Додаток 1. Виведення матриці повороту

Для тих, хто хотів би розібратися в цьому детальніше, ми обчислимо зараз загальну матрицю повороту для системи зі спіном (повним моментом кількості руху) j. У розрахунку загального випадку насправді великої потреби немає; важливо зрозуміти ідею, а всі результати ви зможете знайти в таблицях, які наводяться в багатьох книжках. Але, з іншого боку, ви зайшли вже так далеко, що у вас, природно, може виникнути бажання переконатися, що ви й справді здатні зрозуміти навіть такі складні формули квантової механіки, як (16.35).
 
Розширимо міркування § 4 на систему зі спіном j, яку будемо вважати складеною з 2j об'єктів зі спіном ¹/₂. Стан з m=j мав би вигляд | + + +...+> (з j плюсами). Для m=j — 1 було б 2j членів типу | + + . . . + + —>, | + + . . . + — + > і т. д. Розглянемо загальний випадок, коли є r плюсів і s мінусів, причому r+s=2j. При повороті навколо осі z від кожного з r плюсів з'явиться множник е+^iφ/2. У підсумку фаза зміниться на i (r/2 — s/2) φ. Ми бачимо, що

Як і у випадку J=³/₂, кожен стан з визначеним m має бути сумою всіх станів з одними й тими самими r і s, взятих зі знаком плюс, тобто станів, що відповідають усіляким перестановкам з r  плюсами і s мінусами. Ми вважаємо, що вам відомо, що всього таких поєднань є (r+s)!/r!s!. Щоб нормувати кожен стан, треба цю суму поділити на квадратний корінь з цього числа. Можна написати

Введемо ще нові позначення, вони нам допоможуть в обчисленнях. Ну а оскільки ми вже визначили стани за допомогою (16.60), то два числа r і s визначають стан ані трохи не гірше, ніж j і m. Ми легше простежимо за викладками, якщо позначимо

Далі, (16.60) ми запишемо, користуючись спеціальним позначенням

Зверніть увагу, що показник степеня в загальному множнику ми змінили на +¹/₂. Це через те, що всередині фігурних дужок у (16.60) стоїть якраз N=(r+s)!/r!s! доданків. Якщо зіставити (16.63) з (16.60), то зрозуміло, що

де N — кількість різних доданків у дужках. Ці позначення зручні тим, що кожного разу при повороті всі знаки плюс вносять один і той самий множник, так що в підсумку він виходить у r-му степені. Точно так само всі знаки мінус дадуть деякий множник у s-му степені, в якому б порядку ці знаки не стояли.
 
Тепер покладемо, що ми повернули нашу систему навколо осі y на кут θ. Нас цікавить R (θ) | ^r_s>. Оператор R (θ), діючи на кожен | + >, дає

де  C = cos θ/2 і S = sin θ/2.  Коли  ж R (θ) діє  на | —>, це приводить до

Тож шуканий вираз дорівнює

Тепер треба піднести біноми до степеня і перемножити. З'являться члени з усіма степенями |+> від нуля до r+s. Подивимося, які члени дадуть r′-й степінь |+>. Вони завжди будуть супроводжуватися множником типу |—>^s′, де s′=2j— r′. Зберемо їх разом. Вийде сума членів типу |+>^r′ | —>^s′ з числовими коефіцієнтами А_r′, куди входять коефіцієнти біноміального розкладу разом з множниками C і S. Рівняння (16.65) тоді матиме вигляд:

Тепер поділимо кожне А_r′ на множник [(r′+s′)!/r′!s′!]^1/₂ і позначимо частку через В_r′. Тоді (16.66) перетвориться на

[Можна просто сказати, що вимога, щоб (16.67) збігалося з (16.65), визначає B_r′]
 
Якщо так визначити В_r′, то залишкові множники в правій частині (16.67) будуть якраз станами  |^T′_S′>.   Отже, маємо

де s′ завжди дорівнює r+s — r′. А це, звісно, означає, що коефіцієнти В_r′ і є шукані матричні елементи

Тепер, щоб знайти  В_r′,  залишається  небагато: лише пробитися крізь алгебру.
 
Порівнюючи (16.67) з (16.65) і пам'ятаючи, що r′+s′ = r+s, ми бачимо, що В_r′ — це просто коефіцієнт при a^r′b^s′ у виразі

Залишилася лише нудна робота розкласти дужки за біномом Ньютона і зібрати члени з даними степенями a і b. Якщо ви все це зробите, то побачите, що коефіцієнт при a^r′b^s′ у (16.70) має вигляд

Сума береться за всіма цілими k, при яких аргументи факторіалів більші або, в крайньому разі, дорівнюють нулю. Цей вираз і є шуканий матричний елемент.
 
Наприкінці треба повернутися до наших початкових позначень j, m і m′, користуючись формулами

Зробивши ці підстановки, отримаємо рівняння (16.34) з § 4.