Тепер хотілося б розглянути ще один дуже цікавий приклад. Він дуже привабливий, хоча й трохи складний, але, сподіваємося, усе ж не занадто. Цей приклад — система, яку називають позитронієм, тобто «атом», складений з електрона і позитрона,— зв'язаний стан е+ і е–. Він схожий на атом водню, тільки замість протона стоїть позитрон. Як і у водню, у нього багато станів. І як у водню, основний стан унаслідок взаємодії з магнітним моментом розщеплюється на «надтонку структуру». Спіни електрона і позитрона дорівнюють 1/2 і можуть бути або паралельні, або антипаралельні будь-якій заданій осі. (В основному стані орбітальний рух не створює свого моменту кількості руху.) Отже, всього є четвірка станів: три з них — підстани системи зі спіном 1, усі з однією енергією; і один стан зі спіном нуль і з іншою, відмінною енергією. Проте розщеплення рівнів тут набагато сильніше, ніж ті 1420 Мгц, що є в спектрі водню, тому що магнітний момент у позитрона набагато більший за протонний — у 1000 разів.Але найважливіша відмінність у тому, що позитроній не може існувати вічно. Позитрон —це античастинка електрона; вони можуть взаємно знищити одне одного. Дві частинки повністю зникають, перетворюючи свою енергію спокою на випромінювання у вигляді γ-квантів (фотонів). Дві частинки зі скінченною масою спокою переходять у пару (а то й більше) об'єктів з нульовою масою спокою.
Почнемо з аналізу розпаду стану позитронію зі спіном нуль. Він розпадається на два γ-кванти з часом життя 10–10 с. Спочатку є позитрон і електрон з антипаралельними спінами, розташовані дуже близько один до одного й утворюють систему позитронію. Після розпаду виникають два фотони, що розлітаються з рівними й протилежними імпульсами (фіг. 16.5). Імпульси зобов'язані бути рівними й протилежними, тому що повний імпульс після розпаду повинен бути таким самим, як і до розпаду, тобто дорівнювати нулю (якщо ми розглядаємо анігіляцію в спокої). Якщо позитроній рухається, ми можемо наздогнати його, розв'язати задачу і потім усе перетворити назад у лабораторну систему (от бачите — ми тепер усе вміємо; усе, що потрібно, у нас під рукою).
Для початку зауважимо, що кутовий розподіл інтересу не становить. Оскільки спін початкового стану дорівнює нулю, то немає якоїсь виділеної осі, він симетричний відносно будь-яких поворотів. Отже, і кінцевий стан повинен бути симетричним відносно будь-якого повороту. Це означає, що всі кути розпаду однаково ймовірні — амплітуда вилетіти в будь-яку сторону для фотона одна й та сама. Звісно, якщо один із фотонів вирушає в один бік, то другий вирушить у протилежний.Єдине, що нам залишається, — це розглянути поляризацію фотонів. Проведемо вісь + z у напрямку руху одного фотона, а вісь —z у напрямку руху другого фотона. Для опису станів поляризації фотонів можна використовувати будь-які уявлення. Ми виберемо праву і ліву кругові поляризації, завжди відраховуючи їх відносно напрямків руху. Одразу ж видно, що якщо фотон, що рухається вгору, — правий, то момент кількості руху залишиться попереднім, якщо фотон, що вирушив униз, теж виявиться правим. Кожен понесе по +1 одиниці моменту відносно напрямку свого імпульсу, що означає +1 і — 1 відносно осі z. У сумі буде нуль, і момент кількості руху після розпаду виявиться таким самим, як і до розпаду (фіг. 16.6).
Ті самі міркування показують, що якщо фотон, який рухається вгору, є правим, то той, що рухається вниз, не може бути лівим, адже тоді кінцевий стан мав би дві одиниці моменту кількості руху. А це не дозволяється, якщо спін початкового стану дорівнює нулю. Зауважте, що такий кінцевий стан неможливий і тоді, коли основний стан позитронію має спін 1, тому що в цьому випадку найбільша величина моменту кількості руху в будь-якому напрямку дорівнює одиниці.
А тепер ми покажемо, що двофотонна анігіляція зі стану зі спіном 1 взагалі неможлива. Могло б здатися, що це не так, що якщо взяти стан з j = 1, m = 0, у якого момент кількості руху відносно осі z дорівнює нулю, то він буде схожий на стан зі спіном 0 і тому розпадеться на два правих фотони. Звісно, розпад, зображений на фіг. 16.7, а, зберігає момент кількості руху відносно осі z. Але подивимося, що буде, якщо ми повернемо цю систему навколо осі y на 180°; вийде те, що показано на фіг. 16.7, б, тобто конфігурація, що в точності збігається з фіг. 16.7,а. Помінялися місцями два фотони і більше нічого. А адже фотони — це бозе-частинки; перестановка їх місцями не змінює знака амплітуди, тож амплітуда розпаду на конфігурацію, показану на фіг. 16.7, б, повинна бути такою самою, як і на конфігурацію фіг. 16.7, а. Але ми припустили, що в початкового об'єкта спін дорівнював одиниці. А коли ми повертаємо об'єкт зі спіном 1 у стані з m = 0 на 180° навколо осі y, то його амплітуда змінює знак (див. табл. 15.2 для θ=π, стор. 129). Отже, амплітуди обох конфігурацій на фіг. 16.7 повинні мати протилежні знаки; частинка зі спіном 1 не може розпадатися на два фотони.Коли утворюється позитроній, то можна очікувати, що протягом 1/4 часу він перетворюватиметься на стан зі спіном 0 і протягом 3/4 часу — на стан зі спіном 1 (з m= — 1,0 або +1). Тож 1/4 часу відбуватиметься двофотонна анігіляція. Решту 3/4 часу двофотонна анігіляція відбуватися не може. Анігіляція відбувається, але на три фотони. Такої анігіляції важче дочекатися, і час життя виходить у 1000 разів довшим — близько 10–7 с. Це і спостерігається на досліді. Анігіляцією стану зі спіном 1 ми детальніше займатися не будемо.
Досі ми, спираючись на збереження моменту кількості руху, вважали, що стан позитронію з нульовим спіном може перетворюватися на два правих фотони. Є й інша можливість: цей стан може перетворитися на пару лівих фотонів, як показано на фіг. 16.8. Наступне питання — яке співвідношення між амплітудами цих двох типів розпаду? Це можна дізнатися, врахувавши збереження парності.Але для цього нам потрібно знати парність позитронію. Фізики-теоретики показали (складним шляхом, який нелегко пояснити), що парності електрона і позитрона (його античастинки) повинні бути протилежними, тож основний стан позитронію зі спіном 0 повинен мати від'ємну парність. Ми просто припустимо, що парність від'ємна, і, оскільки ми дістанемо узгодження з експериментом, ми вважатимемо це достатньо переконливим доводом.
Подивимося ж, що станеться, якщо ми проробимо інверсію процесу на фіг. 16.6. При інверсії обидва фотони змінюють свої напрямки і поляризації. Обернена картина виглядає так, як показано на фіг. 16.8. Якщо вважати, що парність позитронію від'ємна, то амплітуди процесів на фіг. 16.6 і 16.8 повинні мати протилежні знаки. Нехай |R1R2> —кінцевий стан на фіг. 16.6, де обидва фотони праві, а | L1L2> — кінцевий стан на фіг. 16.8, де обидва фотони — ліві. Справжній кінцевий стан (позначимо його | F>) повинен бути таким:
Зображення
Тоді інверсія поміняє місцями всі R з усіма L і приведе до стану
Зображення
що має порівняно з (16.19) знак мінус. Отже, кінцевий стан | F> має від'ємну парність, що збігається з парністю початкового стану позитронію зі спіном 0. Це єдиний кінцевий стан, який зберігає і момент кількості руху і парність. Можна, звісно, обчислити амплітуду того, що відбудеться розпад у цей стан, але ми не будемо цим займатися, нас зараз цікавить тільки поляризація.
Що ж означає стан (16.19) фізично? Один з висновків такий: якщо ми спостерігаємо пару фотонів за допомогою двох детекторів, які можуть порізно рахувати число лівих або число правих фотонів, то ми завжди бачитимемо одночасно або пару правих, або пару лівих фотонів. Іншими словами, якщо ви станете по один бік позитронію, а ваш приятель по інший, то ви зможете, вимірюючи поляризацію, сказати вашому приятелю, яка поляризація в нього вийшла. З імовірністю 50% ви будете ловити то лівий, то правий фотон; що ви впіймаєте, те й передбачайте.
Оскільки ліва і права поляризації трапляються порівну, то все це дуже нагадує лінійну поляризацію. Запитаємо себе, що буде, якщо спостерігати фотон за допомогою лічильників, які сприймають тільки лінійно поляризоване світло? Поляризацію γ-квантів вимірювати не так легко, як поляризацію світла; немає таких поляризаторів, які на настільки коротких хвилях добре працюють. Але уявімо, щоб полегшити обговорення, що таке буває. Нехай є лічильник, який сприймає тільки x-поляризоване світло, а по той бік позитронію стоїть хтось, хто теж спостерігає лінійно поляризоване світло, але тільки, скажімо, y-поляризоване. Який шанс, що ви обидва одночасно помітите фотони від анігіляції? Потрібно знайти амплітуду того, що | F> буде в стані |х1у2>. Іншими словами, ми шукаємо амплітуду
Що ж означає стан (16.19) фізично? Один з висновків такий: якщо ми спостерігаємо пару фотонів за допомогою двох детекторів, які можуть порізно рахувати число лівих або число правих фотонів, то ми завжди бачитимемо одночасно або пару правих, або пару лівих фотонів. Іншими словами, якщо ви станете по один бік позитронію, а ваш приятель по інший, то ви зможете, вимірюючи поляризацію, сказати вашому приятелю, яка поляризація в нього вийшла. З імовірністю 50% ви будете ловити то лівий, то правий фотон; що ви впіймаєте, те й передбачайте.
Оскільки ліва і права поляризації трапляються порівну, то все це дуже нагадує лінійну поляризацію. Запитаємо себе, що буде, якщо спостерігати фотон за допомогою лічильників, які сприймають тільки лінійно поляризоване світло? Поляризацію γ-квантів вимірювати не так легко, як поляризацію світла; немає таких поляризаторів, які на настільки коротких хвилях добре працюють. Але уявімо, щоб полегшити обговорення, що таке буває. Нехай є лічильник, який сприймає тільки x-поляризоване світло, а по той бік позитронію стоїть хтось, хто теж спостерігає лінійно поляризоване світло, але тільки, скажімо, y-поляризоване. Який шанс, що ви обидва одночасно помітите фотони від анігіляції? Потрібно знайти амплітуду того, що | F> буде в стані |х1у2>. Іншими словами, ми шукаємо амплітуду
Зображення
яка, звісно, дорівнює просто різниці
Зображення
Далі, хоча нам зараз потрібні двочастинкові амплітуди для двох фотонів, з ними тут можна поводитися так само, як з амплітудами для окремих частинок, адже кожна частинка діє незалежно від іншої. Це означає, що амплітуда <х1у2 |R1R2> просто дорівнює добутку двох незалежних амплітуд <x1 | R1> і <x2 |R2>. Ці амплітуди (див. табл. 15.3, стор. 130) дорівнюють 1/√2 і i/√ 2, так що
Зображення
Отже, якщо ви помітите у своєму х-поляризованому детекторі фотон, то ваш приятель з імовірністю одиниця теж помітить фотон у своєму y-поляризованому детекторі.
Тепер припустімо, що ваш приятель налаштовує свій лічильник на ту саму х-поляризацію, що і ви. Тоді він ні за що не дістане відліку одночасно з вами. Порахувавши все, що потрібно, ви знайдете, що
Тепер припустімо, що ваш приятель налаштовує свій лічильник на ту саму х-поляризацію, що і ви. Тоді він ні за що не дістане відліку одночасно з вами. Порахувавши все, що потрібно, ви знайдете, що
Зображення
Природно, якщо ви налаштуєте свій лічильник на y-поляризацію, то ваш приятель отримуватиме збіжні відліки тільки тоді, коли він сам налаштується на x-поляризацію.
Усе це створює цікаве становище. Уявіть, що ви взяли шматок ісландського шпату, який розділяє фотони на х- і y-поляризовані пучки, і в кожному пучку поставили по лічильнику. Назвемо один з них x-лічильник, інший — у-лічильник. Якщо ваш приятель, що стоїть по інший бік, зробить те саме, ви завжди зможете попередити його, в якому пучку збирається пройти його фотон. Щоразу, коли у вас і в нього виходять одночасні відліки, ви можете подивитися, в який з ваших детекторів потрапив фотон, і дати йому знати, який з його лічильників упіймав фотон. Нехай, скажімо, у якомусь розпаді ви виявите, що фотон увійшов у ваш х-лічильник; тоді ви крикнете йому, що в його y-лічильнику стався відлік.
Багатьох людей, які вивчають квантову механіку звичайним (старомодним) способом, ця обставина дуже хвилює. Їм хотілося б вважати, що коли фотон випромінюється, то він рухається як хвиля певного характеру. Вони хотіли б думати, що оскільки «кожен даний фотон» має якусь «амплітуду» того, що він виявиться x- або y-поляризованим, то повинен бути певний шанс упіймати його або в х- , або в y-лічильнику, і що цей шанс не повинен залежати від того, що виявляє інша людина в зовсім іншого фотона. Вони доводять, що «якщо хтось інший робить вимірювання, він не повинен бути в змозі змінити ймовірність того, що я виявлю». Наша квантова механіка стверджує, однак, що, роблячи вимірювання над фотоном № 1, ви в змозі передбачити точно, якою збирається бути поляризація у фотона № 2. З цим ніяк не міг погодитися Ейнштейн. Цей парадокс, так званий «парадокс Ейнштейна — Подольського — Розена», дуже його непокоїв. Але якщо описати стан справ так, як це було зроблено в нас, то взагалі немає ніякого парадоксу; цілком природно виходить, що те, що вимірюється в одному місці, корельоване з тим, що вимірюється десь в іншому. Міркувати, щоб результат став парадоксальним, треба приблизно так:
1) Якщо у вас є лічильник, який повідомляє вам, який ваш фотон — правий чи лівий, то ви можете точно передбачити сорт фотона (правий чи лівий), який виявить ваш приятель.
2) Кожен фотон, який він приймає, повинен тому бути або чисто лівим, або чисто правим, причому частина фотонів буде одного сорту, а частина іншого.
3) Ви безсумнівно не в змозі змінити фізичну природу його фотонів, змінюючи характер тих спостережень, які ви здійснюєте над вашими фотонами. Які б ви вимірювання не проводили над своїми фотонами, його фотони, як і раніше, повинні бути або правими, або лівими.
4) Допустімо, що він змінює свій апарат так, щоб розщепити свої фотони за допомогою шматка ісландського шпату на два лінійно поляризованих пучки, так що всі його фотони перейдуть або в x-поляризований, або в y-поляризований пучок. Згідно з квантовою механікою, немає жодного способу повідомити, в який з пучків перейде заданий правий фотон. Є 50%-на ймовірність, що він піде в x-пучок, і 50%-на ймовірність, що в у-пучок. Те саме буде і з лівим фотоном.
5) Оскільки кожен фотон є або лівим, або правим (згідно з пунктами 2 і 3), то кожен з них повинен з 50%-ною ймовірністю перейти або в х-пучок, або в y-пучок, і неможливо передбачити, який шлях він обере.
6) А теорія передбачає, що якщо ви помітили, що ваш фотон пройшов через х-поляризатор, то ви з усією визначеністю
можете передбачити, що його фотон пройде в його y-поляризованому пучку. Це суперечить пункту 5, тож маємо парадокс.
Але природа, судячи з усього, не помічає цього «парадоксу», тому що досвід свідчить про те, що передбачення пункту 6 насправді правильне. Ми вже обговорювали ключ до розв'язання цього «парадоксу» в нашій найпершій лекції з квантовомеханічної поведінки [див. розд. 37 (вип. 3)]. У наведеному вище міркуванні пункти 1, 2, 4 і 6 усі правильні, а пункт 3 і, як наслідок цього, пункт 5 — помилкові; вони не є правильним описом природи. Міркування в пункті 3 стверджує, що за допомогою вашого вимірювання (спостереження правого або лівого фотона) ви можете визначити, яка з двох взаємовиключних подій відбудеться в нього (чи побачить він правий фотон, чи лівий), і що навіть якщо ви не проведете своїх вимірювань, ви все одно зможете сказати, що в нього відбудеться або одна подія, або інша. У цьому й полягає суть розказаного в розд. 37 (вип. 3) —підкреслити одразу, з самого початку, що в Природі справа стоїть зовсім не так. Її шлях вимагає опису мовою інтерферуючих амплітуд, але з однією амплітудою для кожної події, що виключає інші події. Вимірювання, в якому дійсно реалізується одна з можливостей, руйнує інтерференцію, але якщо вимірювання проведено не було, ви не маєте права говорити, що все одно реалізується або одна можливість, або інша».
От якби ви могли визначити для кожного з ваших фотонів, який він — правий чи лівий і, крім того, чи є він x-поляризованим (усе для одного й того самого фотона), то це дійсно було б парадоксом. Але цього ви не зможете зробити — перед вами приклад принципу невизначеності.
Якщо ви все ще не задоволені і вважаєте це «парадоксом», то покажіть, що це дійсно парадокс: придумайте такий уявний дослід, для якого теорія квантової механіки двома різними міркуваннями передбачала б два неузгоджені результати. У протилежному випадку «парадокс» — це всього лише конфлікт між тим, що є насправді, і вашим відчуттям того, якою «мала б бути» реальна природа.
Ви вважаєте, що це не «парадокс», але що це все ж дуже дивно? З цим ми всі можемо погодитися. Саме це й робить фізику такою захопливо цікавою.
Усе це створює цікаве становище. Уявіть, що ви взяли шматок ісландського шпату, який розділяє фотони на х- і y-поляризовані пучки, і в кожному пучку поставили по лічильнику. Назвемо один з них x-лічильник, інший — у-лічильник. Якщо ваш приятель, що стоїть по інший бік, зробить те саме, ви завжди зможете попередити його, в якому пучку збирається пройти його фотон. Щоразу, коли у вас і в нього виходять одночасні відліки, ви можете подивитися, в який з ваших детекторів потрапив фотон, і дати йому знати, який з його лічильників упіймав фотон. Нехай, скажімо, у якомусь розпаді ви виявите, що фотон увійшов у ваш х-лічильник; тоді ви крикнете йому, що в його y-лічильнику стався відлік.
Багатьох людей, які вивчають квантову механіку звичайним (старомодним) способом, ця обставина дуже хвилює. Їм хотілося б вважати, що коли фотон випромінюється, то він рухається як хвиля певного характеру. Вони хотіли б думати, що оскільки «кожен даний фотон» має якусь «амплітуду» того, що він виявиться x- або y-поляризованим, то повинен бути певний шанс упіймати його або в х- , або в y-лічильнику, і що цей шанс не повинен залежати від того, що виявляє інша людина в зовсім іншого фотона. Вони доводять, що «якщо хтось інший робить вимірювання, він не повинен бути в змозі змінити ймовірність того, що я виявлю». Наша квантова механіка стверджує, однак, що, роблячи вимірювання над фотоном № 1, ви в змозі передбачити точно, якою збирається бути поляризація у фотона № 2. З цим ніяк не міг погодитися Ейнштейн. Цей парадокс, так званий «парадокс Ейнштейна — Подольського — Розена», дуже його непокоїв. Але якщо описати стан справ так, як це було зроблено в нас, то взагалі немає ніякого парадоксу; цілком природно виходить, що те, що вимірюється в одному місці, корельоване з тим, що вимірюється десь в іншому. Міркувати, щоб результат став парадоксальним, треба приблизно так:
1) Якщо у вас є лічильник, який повідомляє вам, який ваш фотон — правий чи лівий, то ви можете точно передбачити сорт фотона (правий чи лівий), який виявить ваш приятель.
2) Кожен фотон, який він приймає, повинен тому бути або чисто лівим, або чисто правим, причому частина фотонів буде одного сорту, а частина іншого.
3) Ви безсумнівно не в змозі змінити фізичну природу його фотонів, змінюючи характер тих спостережень, які ви здійснюєте над вашими фотонами. Які б ви вимірювання не проводили над своїми фотонами, його фотони, як і раніше, повинні бути або правими, або лівими.
4) Допустімо, що він змінює свій апарат так, щоб розщепити свої фотони за допомогою шматка ісландського шпату на два лінійно поляризованих пучки, так що всі його фотони перейдуть або в x-поляризований, або в y-поляризований пучок. Згідно з квантовою механікою, немає жодного способу повідомити, в який з пучків перейде заданий правий фотон. Є 50%-на ймовірність, що він піде в x-пучок, і 50%-на ймовірність, що в у-пучок. Те саме буде і з лівим фотоном.
5) Оскільки кожен фотон є або лівим, або правим (згідно з пунктами 2 і 3), то кожен з них повинен з 50%-ною ймовірністю перейти або в х-пучок, або в y-пучок, і неможливо передбачити, який шлях він обере.
6) А теорія передбачає, що якщо ви помітили, що ваш фотон пройшов через х-поляризатор, то ви з усією визначеністю
можете передбачити, що його фотон пройде в його y-поляризованому пучку. Це суперечить пункту 5, тож маємо парадокс.
Але природа, судячи з усього, не помічає цього «парадоксу», тому що досвід свідчить про те, що передбачення пункту 6 насправді правильне. Ми вже обговорювали ключ до розв'язання цього «парадоксу» в нашій найпершій лекції з квантовомеханічної поведінки [див. розд. 37 (вип. 3)]. У наведеному вище міркуванні пункти 1, 2, 4 і 6 усі правильні, а пункт 3 і, як наслідок цього, пункт 5 — помилкові; вони не є правильним описом природи. Міркування в пункті 3 стверджує, що за допомогою вашого вимірювання (спостереження правого або лівого фотона) ви можете визначити, яка з двох взаємовиключних подій відбудеться в нього (чи побачить він правий фотон, чи лівий), і що навіть якщо ви не проведете своїх вимірювань, ви все одно зможете сказати, що в нього відбудеться або одна подія, або інша. У цьому й полягає суть розказаного в розд. 37 (вип. 3) —підкреслити одразу, з самого початку, що в Природі справа стоїть зовсім не так. Її шлях вимагає опису мовою інтерферуючих амплітуд, але з однією амплітудою для кожної події, що виключає інші події. Вимірювання, в якому дійсно реалізується одна з можливостей, руйнує інтерференцію, але якщо вимірювання проведено не було, ви не маєте права говорити, що все одно реалізується або одна можливість, або інша».
От якби ви могли визначити для кожного з ваших фотонів, який він — правий чи лівий і, крім того, чи є він x-поляризованим (усе для одного й того самого фотона), то це дійсно було б парадоксом. Але цього ви не зможете зробити — перед вами приклад принципу невизначеності.
Якщо ви все ще не задоволені і вважаєте це «парадоксом», то покажіть, що це дійсно парадокс: придумайте такий уявний дослід, для якого теорія квантової механіки двома різними міркуваннями передбачала б два неузгоджені результати. У протилежному випадку «парадокс» — це всього лише конфлікт між тим, що є насправді, і вашим відчуттям того, якою «мала б бути» реальна природа.
Ви вважаєте, що це не «парадокс», але що це все ж дуже дивно? З цим ми всі можемо погодитися. Саме це й робить фізику такою захопливо цікавою.