Згідно з (11.24), стани електрона, про які ми говорили, можуть мати енергії лише в деякій енергетичній «смузі», що простягається від найменшої енергії
Зображення
до найбільшої
Зображення
Інші енергії теж можливі, але вони належать до іншого класу станів електрона. Для тих станів, про які йшлося раніше, ми обирали такі базисні стани, коли електрон в атомі кристала перебував у певному визначеному стані, скажімо, у стані найнижчої енергії.
Якщо у вас є атом у порожньому просторі і ви додаєте до нього електрон, щоб утворився іон, то цей іон можна утворити багатьма способами. Електрон може розташуватися так, щоб утворити стан найнижчої енергії, або так, щоб утворити той чи інший з багатьох можливих «збуджених станів» іона, кожен з певною енергією, яка перевищує найнижче значення. Те саме може статися і в кристалі. Припустімо, що енергія Е0, якою ми користувалися вище, відповідає базисним станам, які являють собою іони з найнижчою можливою енергією. Але можна також уявити нову сукупність базисних станів, у яких електрон інакше розташовується біля n-го атома: він утворює один зі збуджених станів іона, так що енергія Е0 тепер уже стає трохи вищою. Як і раніше, є деяка амплітуда A (відмінна від попередньої) того, що електрон перестрибне зі свого збудженого стану біля одного атома в такий самий збуджений стан біля сусіднього атома. І весь аналіз проходить, як і раніше; ми виявимо смугу можливих енергій, зосереджених навколо деякої вищої енергії. Взагалі кажучи, таких смуг може бути багато, і кожна відповідатиме своєму рівню збудження.
Можливі й інші варіанти. Може існувати якась амплітуда того, що електрон перестрибне зі збудженого положення біля одного атома в незбуджене положення біля наступного атома. (Це називається взаємодією між смугами.) Математична теорія стає все складнішою й складнішою в міру того, як ви враховуєте все більше й більше смуг і додаєте все більше й більше коефіцієнтів просочування між різними станами. Жодних нових ідей не потрібно; але рівняння, як ми бачили з нашого простого прикладу, сильно розростаються.
Слід ще зауважити, що про різні коефіцієнти, такі, як амплітуда A, яка з'являється в теорії, сказати можна лише небагато. Їх, як правило, дуже важко підрахувати, і в практичних випадках про ці параметри теоретично буває дуже мало відомо; у тих чи інших реальних випадках доводиться брати їхні значення з досвіду.
Бувають і інші випадки, в яких уся фізика і вся математика майже точно збігаються з тим, що ми виявили для електрона, який рухається по кристалу, але в яких рухомий «об'єкт» зовсім не той. Уявімо, наприклад, що нашим вихідним кристалом (або, краще сказати, лінійною ґраткою) був ланцюжок нейтральних атомів, у кожного з яких зв'язок із зовнішнім електроном дуже слабкий. Тепер уявімо, що ми прибрали один електрон. У якого з атомів? Нехай Сn є амплітудою того, що електрон зник у атома, який стоїть у точці хn. Взагалі кажучи, є якась амплітуда A того, що електрон від сусіднього атома, скажімо від (n—1)-го, перестрибне до n-го, залишивши свій (n—1)-й атом без електрона. Це все одно, що сказати, що в «нестачі електрона» є амплітуда A того, що вона переберeться від n-го атома до (n—1)-го. Легко побачити, що рівняння виявляться такими самими, як і раніше, але, звісно, самі A не обов'язково залишаться колишніми. Ми знову прийдемо до тих самих формул для рівнів енергії, для «хвиль» імовірності, які біжать по кристалу з груповою швидкістю (11.18), для ефективної маси і т. д. Тільки тепер ці хвилі описують поведінку відсутнього електрона, або, як його називають, «дірки». Можна переконатися, що заряд цієї частинки видаватиметься додатним. У наступному розділі ми трохи детальніше розповімо про ці дірки. Інший приклад. Уявімо собі ланцюжок нейтральних атомів, один з яких був переведений у збуджений стан, тобто з вищою, ніж у нормального основного стану, енергією. Нехай Сn — амплітуда того, що n-й атом збуджений. Він може взаємодіяти із сусіднім атомом, передаючи йому свій надлишок енергії і повертаючись в основний стан. Позначимо амплітуду цього процесу iA/h. Ви бачите, що знову повторюється та сама математика. Але тепер те, що рухається, називається екситоном. Він поводиться як нейтральна «частинка», яка рухається крізь кристал і несе з собою енергію збудження. Існування такого руху можна припускати в деяких біологічних процесах, таких, як зір або фотосинтез. Було висловлено здогад, що поглинання світла в сітківці створює «екситон», який рухається крізь якусь періодичну структуру [таку, як шари паличок, описані в розд. 36 (вип. 3); див. там фіг. 36.5] і накопичується в деяких спеціальних станціях, де ця енергія використовується для збудження хімічної реакції.
Якщо у вас є атом у порожньому просторі і ви додаєте до нього електрон, щоб утворився іон, то цей іон можна утворити багатьма способами. Електрон може розташуватися так, щоб утворити стан найнижчої енергії, або так, щоб утворити той чи інший з багатьох можливих «збуджених станів» іона, кожен з певною енергією, яка перевищує найнижче значення. Те саме може статися і в кристалі. Припустімо, що енергія Е0, якою ми користувалися вище, відповідає базисним станам, які являють собою іони з найнижчою можливою енергією. Але можна також уявити нову сукупність базисних станів, у яких електрон інакше розташовується біля n-го атома: він утворює один зі збуджених станів іона, так що енергія Е0 тепер уже стає трохи вищою. Як і раніше, є деяка амплітуда A (відмінна від попередньої) того, що електрон перестрибне зі свого збудженого стану біля одного атома в такий самий збуджений стан біля сусіднього атома. І весь аналіз проходить, як і раніше; ми виявимо смугу можливих енергій, зосереджених навколо деякої вищої енергії. Взагалі кажучи, таких смуг може бути багато, і кожна відповідатиме своєму рівню збудження.
Можливі й інші варіанти. Може існувати якась амплітуда того, що електрон перестрибне зі збудженого положення біля одного атома в незбуджене положення біля наступного атома. (Це називається взаємодією між смугами.) Математична теорія стає все складнішою й складнішою в міру того, як ви враховуєте все більше й більше смуг і додаєте все більше й більше коефіцієнтів просочування між різними станами. Жодних нових ідей не потрібно; але рівняння, як ми бачили з нашого простого прикладу, сильно розростаються.
Слід ще зауважити, що про різні коефіцієнти, такі, як амплітуда A, яка з'являється в теорії, сказати можна лише небагато. Їх, як правило, дуже важко підрахувати, і в практичних випадках про ці параметри теоретично буває дуже мало відомо; у тих чи інших реальних випадках доводиться брати їхні значення з досвіду.
Бувають і інші випадки, в яких уся фізика і вся математика майже точно збігаються з тим, що ми виявили для електрона, який рухається по кристалу, але в яких рухомий «об'єкт» зовсім не той. Уявімо, наприклад, що нашим вихідним кристалом (або, краще сказати, лінійною ґраткою) був ланцюжок нейтральних атомів, у кожного з яких зв'язок із зовнішнім електроном дуже слабкий. Тепер уявімо, що ми прибрали один електрон. У якого з атомів? Нехай Сn є амплітудою того, що електрон зник у атома, який стоїть у точці хn. Взагалі кажучи, є якась амплітуда A того, що електрон від сусіднього атома, скажімо від (n—1)-го, перестрибне до n-го, залишивши свій (n—1)-й атом без електрона. Це все одно, що сказати, що в «нестачі електрона» є амплітуда A того, що вона переберeться від n-го атома до (n—1)-го. Легко побачити, що рівняння виявляться такими самими, як і раніше, але, звісно, самі A не обов'язково залишаться колишніми. Ми знову прийдемо до тих самих формул для рівнів енергії, для «хвиль» імовірності, які біжать по кристалу з груповою швидкістю (11.18), для ефективної маси і т. д. Тільки тепер ці хвилі описують поведінку відсутнього електрона, або, як його називають, «дірки». Можна переконатися, що заряд цієї частинки видаватиметься додатним. У наступному розділі ми трохи детальніше розповімо про ці дірки. Інший приклад. Уявімо собі ланцюжок нейтральних атомів, один з яких був переведений у збуджений стан, тобто з вищою, ніж у нормального основного стану, енергією. Нехай Сn — амплітуда того, що n-й атом збуджений. Він може взаємодіяти із сусіднім атомом, передаючи йому свій надлишок енергії і повертаючись в основний стан. Позначимо амплітуду цього процесу iA/h. Ви бачите, що знову повторюється та сама математика. Але тепер те, що рухається, називається екситоном. Він поводиться як нейтральна «частинка», яка рухається крізь кристал і несе з собою енергію збудження. Існування такого руху можна припускати в деяких біологічних процесах, таких, як зір або фотосинтез. Було висловлено здогад, що поглинання світла в сітківці створює «екситон», який рухається крізь якусь періодичну структуру [таку, як шари паличок, описані в розд. 36 (вип. 3); див. там фіг. 36.5] і накопичується в деяких спеціальних станціях, де ця енергія використовується для збудження хімічної реакції.