На перший погляд вам може здатися, що електрон із невеликою енергією насилу протискується крізь твердий кристал. Атоми в ньому вкладені так, що їхні центри відстоять один від одного лише на кілька ангстрем, а ефективний діаметр атома при розсіянні електронів становить приблизно 1А, або близько того. Інакше кажучи, атоми, якщо їх порівнювати з проміжками між ними, дуже великі, так що можна було б очікувати, що середня довжина вільного пробігу між зіткненнями буде порядку кількох ангстрем, а це практично дорівнює нулю. Слід було б очікувати, що електрон майже одразу ж влетить у той чи інший атом. Тим не менш перед нами найзвичайніше явище природи: коли ґратка ідеальна, електрону нічого не варто плавно промчати крізь кристал, майже як крізь вакуум. Цей дивний факт — причина того, що метали так легко проводять електрику; крім того, він дав змогу винайти безліч вельми корисних пристроїв. Наприклад, завдяки йому транзистор здатний імітувати радіолампу. У радіолампі електрони рухаються вільно крізь вакуум, у транзисторі вони теж рухаються вільно, але тільки крізь кристалічну ґратку. Механізм того, що відбувається в транзисторі, буде описано в цьому розділі; наступний розділ присвячено застосуванням цих принципів у різних практичних пристроях.
Провідність електронів у кристалі — один із прикладів дуже загального явища. Крізь кристали можуть мандрувати не тільки електрони, а й інші «об'єкти». Так, атомні збудження теж можуть подорожувати аналогічним чином. Явище, про яке ми зараз говоритимемо, раз по раз виникає при вивченні фізики твердого тіла.
Ми вже неодноразово розбирали приклади систем із двома станами. Уявімо собі цього разу електрон, який може перебувати в одному з двох положень, причому в кожному з них він опиняється в однаковому оточенні. Припустімо також, що існує певна амплітуда переходу електрона з одного положення в інше і, природно, така сама амплітуда переходу назад, точнісінько як у розд. 8, § 1 (вип. 8) для молекулярного іона водню. Тоді закони квантової механіки приводять до таких результатів. В електрона виникнуть два можливих стани з визначеною енергією, причому кожен стан можна описати амплітудою того, що електрон перебуває в одному з двох базисних положень. У кожному зі станів визначеної енергії величини цих двох амплітуд постійні в часі, а фази змінюються в часі з однаковою частотою. З іншого боку, якщо електрон спершу був в одному положенні, то згодом він перейде в інше, а ще пізніше повернеться в перше положення. Зміни амплітуди схожі на рух двох зв'язаних маятників.
Розглянемо тепер ідеальну кристалічну ґратку й уявімо, що в ній електрон може розташуватися в якійсь «ямці» біля певного атома, маючи визначену енергію. Припустімо також, що в електрона є певна амплітуда того, що він перескочить в іншу ямку, яка міститься неподалік, біля іншого атома. Це чимось нагадує систему з двома станами, але з додатковими ускладненнями. Після того як електрон досягає сусіднього атома, він може перейти в цілком нове місце або повернутися у вихідну позицію. Усе це схоже не стільки на пару зв'язаних маятників, скільки на нескінченну множину маятників, зв'язаних між собою. Це чимось нагадує одну з тих машин (складених із довгого ряду стрижнів, прикріплених до закрученого дроту), за допомогою яких на першому курсі демонструвалося поширення хвиль.
Якщо у вас є гармонічний осцилятор, зв'язаний з іншим гармонічним осцилятором, який своєю чергою зв'язаний з наступним осцилятором, і так далі..., і якщо ви створите в одному місці якусь нерегулярність, то вона почне поширюватися, як хвиля по дроту. Те саме виникає і в тому випадку, якщо ви розташуєте електрон біля одного з атомів у довгому їхньому ланцюжку.
Як правило, задачі з механіки найлегше розв'язувати мовою усталених хвиль; це простіше, ніж аналізувати наслідки окремого поштовху. Тоді виникає якась картина зміщень, яка поширюється по кристалу, як хвиля із заданою, фіксованою частотою. Те саме відбувається з електроном, і з тієї самої причини, тому що електрон описується в квантовій механіці подібними рівняннями.
Але слід пам'ятати одну річ: амплітуда того, що електрон перебуває в даному місці, — це амплітуда, а не ймовірність. Якби електрон просто просочувався з одного місця в інше, як вода крізь дірочку, то його поведінка була б зовсім іншою. Якби, скажімо, ми з'єднали два бачки з водою тоненькою трубочкою, якою вода з одного бачка по краплі перетікала в інший, то рівні води вирівнювалися б за експонентою. З електроном же відбувається просочування амплітуди, а не монотонне переливання ймовірностей. А одна з властивостей уявного члена (множника i у диференціальних рівняннях квантової механіки) — те, що він змінює експоненційний розв'язок на коливальний. І те, що після цього відбувається, анітрохи не схоже на те, як вода перетікає з одного бачка в інший.
Тепер ми хочемо проаналізувати квантовомеханічний випадок кількісно. Нехай є одновимірна система, що складається з довгого ланцюжка атомів (фіг. 11.1,а). (Кристал, звісно, тривимірний, але фізика в обох випадках дуже близька; якщо ви розберетеся в одновимірному випадку, то зможете розібратися і в тому, що буває в трьох вимірах.) Ми хочемо знати, що станеться, якщо в цю лінію атомів помістити окремий електрон. Звісно, в реальному кристалі таких електронів безліч. Але більшість із них (у непровідному кристалі майже всі) займає в загальній картині руху своє місце, кожен обертається навколо свого атома, і все виявляється цілком усталеним. А ми хочемо міркувати про те, що буде, якщо всередину помістити зайвий електрон. Ми не будемо думати про те, що роблять інші електрони, бо вважатимемо, що для зміни їхньої енергії знадобиться дуже багато енергії збудження. Ми маємо намір додати електрон і створити наче новий слабко зв'язаний негативний іон. Стежачи за тим, що виробляє цей зайвий електрон, ми робимо наближення, нехтуючи при цьому внутрішнім механізмом атомів.
Ясно, що цей електрон зможе перейти до іншого атома, переносячи в нове місце негативний іон. Ми припустимо, що (точнісінько як і у випадку електрона, «який стрибав» від протона до протона) електрон може з якоюсь амплітудою «стрибати» від атома до його сусідів з будь-якого боку.
Як же описувати таку систему? Що вважати розумними базисними станами? Якщо ви згадаєте, що ми робили, коли в електрона було тільки дві можливі позиції, ви зможете здогадатися. Нехай у нашому ланцюжку всі відстані між атомами однакові, і нехай ми їх пронумеруємо по порядку, як на фіг. 11.1,а. Один базисний стан — коли електрон перебуває біля атома № 6; інший базисний стан — коли електрон перебуває біля № 7, або біля № 8, і т. д.; n-й базисний стан можна описати, сказавши, що електрон перебуває біля атома № n. Позначимо цей базисний стан |n>. Із фіг. 11.1 ясно, що мається на увазі під трьома базисними станами:
Провідність електронів у кристалі — один із прикладів дуже загального явища. Крізь кристали можуть мандрувати не тільки електрони, а й інші «об'єкти». Так, атомні збудження теж можуть подорожувати аналогічним чином. Явище, про яке ми зараз говоритимемо, раз по раз виникає при вивченні фізики твердого тіла.
Ми вже неодноразово розбирали приклади систем із двома станами. Уявімо собі цього разу електрон, який може перебувати в одному з двох положень, причому в кожному з них він опиняється в однаковому оточенні. Припустімо також, що існує певна амплітуда переходу електрона з одного положення в інше і, природно, така сама амплітуда переходу назад, точнісінько як у розд. 8, § 1 (вип. 8) для молекулярного іона водню. Тоді закони квантової механіки приводять до таких результатів. В електрона виникнуть два можливих стани з визначеною енергією, причому кожен стан можна описати амплітудою того, що електрон перебуває в одному з двох базисних положень. У кожному зі станів визначеної енергії величини цих двох амплітуд постійні в часі, а фази змінюються в часі з однаковою частотою. З іншого боку, якщо електрон спершу був в одному положенні, то згодом він перейде в інше, а ще пізніше повернеться в перше положення. Зміни амплітуди схожі на рух двох зв'язаних маятників.
Розглянемо тепер ідеальну кристалічну ґратку й уявімо, що в ній електрон може розташуватися в якійсь «ямці» біля певного атома, маючи визначену енергію. Припустімо також, що в електрона є певна амплітуда того, що він перескочить в іншу ямку, яка міститься неподалік, біля іншого атома. Це чимось нагадує систему з двома станами, але з додатковими ускладненнями. Після того як електрон досягає сусіднього атома, він може перейти в цілком нове місце або повернутися у вихідну позицію. Усе це схоже не стільки на пару зв'язаних маятників, скільки на нескінченну множину маятників, зв'язаних між собою. Це чимось нагадує одну з тих машин (складених із довгого ряду стрижнів, прикріплених до закрученого дроту), за допомогою яких на першому курсі демонструвалося поширення хвиль.
Якщо у вас є гармонічний осцилятор, зв'язаний з іншим гармонічним осцилятором, який своєю чергою зв'язаний з наступним осцилятором, і так далі..., і якщо ви створите в одному місці якусь нерегулярність, то вона почне поширюватися, як хвиля по дроту. Те саме виникає і в тому випадку, якщо ви розташуєте електрон біля одного з атомів у довгому їхньому ланцюжку.
Як правило, задачі з механіки найлегше розв'язувати мовою усталених хвиль; це простіше, ніж аналізувати наслідки окремого поштовху. Тоді виникає якась картина зміщень, яка поширюється по кристалу, як хвиля із заданою, фіксованою частотою. Те саме відбувається з електроном, і з тієї самої причини, тому що електрон описується в квантовій механіці подібними рівняннями.
Але слід пам'ятати одну річ: амплітуда того, що електрон перебуває в даному місці, — це амплітуда, а не ймовірність. Якби електрон просто просочувався з одного місця в інше, як вода крізь дірочку, то його поведінка була б зовсім іншою. Якби, скажімо, ми з'єднали два бачки з водою тоненькою трубочкою, якою вода з одного бачка по краплі перетікала в інший, то рівні води вирівнювалися б за експонентою. З електроном же відбувається просочування амплітуди, а не монотонне переливання ймовірностей. А одна з властивостей уявного члена (множника i у диференціальних рівняннях квантової механіки) — те, що він змінює експоненційний розв'язок на коливальний. І те, що після цього відбувається, анітрохи не схоже на те, як вода перетікає з одного бачка в інший.
Тепер ми хочемо проаналізувати квантовомеханічний випадок кількісно. Нехай є одновимірна система, що складається з довгого ланцюжка атомів (фіг. 11.1,а). (Кристал, звісно, тривимірний, але фізика в обох випадках дуже близька; якщо ви розберетеся в одновимірному випадку, то зможете розібратися і в тому, що буває в трьох вимірах.) Ми хочемо знати, що станеться, якщо в цю лінію атомів помістити окремий електрон. Звісно, в реальному кристалі таких електронів безліч. Але більшість із них (у непровідному кристалі майже всі) займає в загальній картині руху своє місце, кожен обертається навколо свого атома, і все виявляється цілком усталеним. А ми хочемо міркувати про те, що буде, якщо всередину помістити зайвий електрон. Ми не будемо думати про те, що роблять інші електрони, бо вважатимемо, що для зміни їхньої енергії знадобиться дуже багато енергії збудження. Ми маємо намір додати електрон і створити наче новий слабко зв'язаний негативний іон. Стежачи за тим, що виробляє цей зайвий електрон, ми робимо наближення, нехтуючи при цьому внутрішнім механізмом атомів.Ясно, що цей електрон зможе перейти до іншого атома, переносячи в нове місце негативний іон. Ми припустимо, що (точнісінько як і у випадку електрона, «який стрибав» від протона до протона) електрон може з якоюсь амплітудою «стрибати» від атома до його сусідів з будь-якого боку.
Як же описувати таку систему? Що вважати розумними базисними станами? Якщо ви згадаєте, що ми робили, коли в електрона було тільки дві можливі позиції, ви зможете здогадатися. Нехай у нашому ланцюжку всі відстані між атомами однакові, і нехай ми їх пронумеруємо по порядку, як на фіг. 11.1,а. Один базисний стан — коли електрон перебуває біля атома № 6; інший базисний стан — коли електрон перебуває біля № 7, або біля № 8, і т. д.; n-й базисний стан можна описати, сказавши, що електрон перебуває біля атома № n. Позначимо цей базисний стан |n>. Із фіг. 11.1 ясно, що мається на увазі під трьома базисними станами:
Зображення
За допомогою цих наших базисних станів можна описати будь-який стан |φ> нашого одновимірного кристала, задавши всі амплітуди <n|φ> того, що стан |φ> перебуває в одному з базисних станів, тобто амплітуду того, що електрон розташований поблизу даного окремого атома. Тоді стан |φ> можна записати у вигляді суперпозиції базисних станів:
Зображення
Крім того, ми хочемо ще припустити, що коли електрон перебуває поблизу одного з атомів, то існує певна амплітуда того, що він просочиться до того атома, який зліва, або до того, який справа. Візьмемо найпростіший випадок, коли вважається, що він може просочитися тільки до найближчих сусідів, а до наступного сусіда він зможе дійти за два прийоми. Приймемо, що амплітуди того, що електрон перескочить від одного атома до сусіднього, дорівнюють iA/h (за одиницю часу).
Змінимо на час позначення, і амплітуду <n|φ>, пов'язану з n-м атомом, позначимо через Сn. Тоді (11.1) матиме вигляд
Змінимо на час позначення, і амплітуду <n|φ>, пов'язану з n-м атомом, позначимо через Сn. Тоді (11.1) матиме вигляд
Зображення
Якби ви знали кожну з амплітуд Сn у даний момент, то, взявши квадрати їхніх модулів, можна було б отримати ймовірність того, що ви побачите електрон, поглянувши в цей момент на атом n.
Але що сталося б трохи пізніше? За аналогією з вивченими нами системами з двома станами ми пропонуємо скласти гамільтонові рівняння для цієї системи у вигляді рівнянь такого типу:
Але що сталося б трохи пізніше? За аналогією з вивченими нами системами з двома станами ми пропонуємо скласти гамільтонові рівняння для цієї системи у вигляді рівнянь такого типу:
Зображення
Перший справа коефіцієнт Е0 фізично означає енергію, яку мав би електрон, якби він не міг просочуватися від одного атома до інших. (Абсолютно неважливо, як ми назвемо Е0; ми неодноразово бачили, що насправді це не означає нічого, крім вибору нуля енергії.) Наступний член являє собою амплітуду за одиницю часу того, що електрон із (n+1)-ї ямки просочиться в n-ту ямку, а останній член означає амплітуду просочування з (n—1)-ї ямки. Як зазвичай, A вважається постійним (незалежним від t).
Для повного опису поведінки будь-якого стану | φ> треба для кожної з амплітуд Сn мати по одному рівнянню типу (11.3). Оскільки ми маємо намір розглянути кристал із дуже великою кількістю атомів, то припустімо, що станів існує нескінченно багато, атоми тягнуться без кінця в обидва боки. (За скінченного числа атомів довелося б спеціально звертати увагу на те, що відбувається на кінцях.) А якщо кількість N наших базисних станів нескінченно велика, то й уся система наших гамільтонових рівнянь нескінченна! Ми напишемо тільки частину її:
Для повного опису поведінки будь-якого стану | φ> треба для кожної з амплітуд Сn мати по одному рівнянню типу (11.3). Оскільки ми маємо намір розглянути кристал із дуже великою кількістю атомів, то припустімо, що станів існує нескінченно багато, атоми тягнуться без кінця в обидва боки. (За скінченного числа атомів довелося б спеціально звертати увагу на те, що відбувається на кінцях.) А якщо кількість N наших базисних станів нескінченно велика, то й уся система наших гамільтонових рівнянь нескінченна! Ми напишемо тільки частину її:
Зображення
