Розсіяння на нерегулярностях ґратки

Тепер ми хочемо розглянути одиночний електрон у неідеальному кристалі. Наш початковий аналіз привів до висновку, що в ідеальних кристалів і провідність ідеальна, що електрони можуть ковзати по кристалу, як по вакууму, без тертя. Однією з найважливіших причин, здатних припинити вічний рух електрона, є недосконалість кристала, якась нерегулярність у ньому. Припустімо, що десь у кристалі бракує одного атома, або припустімо, що хтось поставив на місце, призначене для якогось атома, зовсім не той атом, який належить, так що в цьому місці все зовсім не так, як у решті місць. Скажімо, інша енергія Е₀ або інша амплітуда A. Як тоді можна буде описати все, що відбувається?
 
Для визначеності повернемося до одновимірного випадку і припустимо, що атом номер «нуль» — це атом «забруднення», «домішки», і в нього зовсім не така енергія E₀, як у інших атомів. Позначимо цю енергію Е₀ + F. Що ж відбувається? Для електрона, який досяг атома «нуль», є якась імовірність того, що він розсіється назад. Якщо хвильовий пакет, мчачи по кристалу, досягає місця, де все трохи інакше, то частина його продовжуватиме летіти вперед, а інша відскочить назад. Аналізувати такий випадок, користуючись хвильовим пакетом, дуже важко, бо все змінюється з часом. З розв'язками у вигляді усталених станів працювати набагато легше. Ми звернемося тому до стаціонарних станів; ми побачимо, що їх можна скласти з неперервних хвиль, які складаються з двох частин — біжучої і відбитої. У випадку трьох вимірів ми назвали б відбиту частину розсіяною хвилею, тому що вона розбігалася б у всі боки.
 
Виходимо із системи рівнянь, схожої на (11.6), з одним винятком: рівняння при n = 0 не схоже на решту. П'ятірка рівнянь при n = –2, –1, 0, +1 і +2 виглядає так:

Звичайно, будуть і інші рівняння при |n|>2. Вони виглядатимуть так само,  як  (11.6).
 
Нам належало б насправді для загальності писати різні A, залежно від того, чи стрибає електрон до атома «нуль», чи від атома «нуль», але головні риси того, що відбувається, ви побачите вже з спрощеного прикладу, коли всі  A  рівні.
 
Рівняння (11.10) як і раніше слугуватиме розв'язком для всіх рівнянь, крім рівняння для атома «нуль» (для нього воно не годиться). Нам потрібен інший розв'язок; побудуємо його так. Рівняння (11.10) являє собою хвилю, що біжить у додатному напрямку x. Хвиля, що біжить у від'ємному напрямку x, теж підійшла б як розв'язок. Ми б написали

Найзагальніший розв'язок рівняння (11.6) являв би собою поєднання хвилі вперед і хвилі назад:

Цей розв'язок являє собою комплексну хвилю з амплітудою α, що біжить у напрямку +x, і хвилю з амплітудою β, що біжить у напрямку —x.
 
Тепер кинемо погляд на систему рівнянь нашої нової задачі: на (11.28) плюс такі самі рівняння для решти атомів. Рівняння, куди входять а_n з n≤—1, розв'язуються формулою (11.29) за умови, що k виявляється пов'язаним з E і сталою ґратки b  співвідношенням

Фізичний зміст цього такий: «падаюча» хвиля з амплітудою α наближається до атома «нуль» (або «розсіювача») зліва, а «розсіяна» або «відбита» хвиля з амплітудою β біжить назад, тобто ліворуч. Не втрачаючи загальності, можна покласти амплітуду α падаючої хвилі рівною одиниці. Тоді амплітуда β буде, взагалі кажучи, комплексним числом.
 
Те саме можна сказати і про розв'язки а_n при n≥1. Коефіцієнти можуть стати іншими, так що слід було б писати

Тут γ — амплітуда хвилі, що біжить праворуч, а δ — амплітуда хвилі, що приходить справа. Ми хочемо розглянути такий фізичний випадок, коли спочатку хвиля біжить тільки зліва, і за розсіювачем (або атомом забруднення) є тільки «пройдена» хвиля. Шукатимемо тому розв'язок, у якому δ=0. Отже, ми спробуємо задовольнити всі рівняння для а_n, крім середньої трійки в (11.28), за допомогою таких пробних розв'язків:

Положення, про яке йдеться,  ілюструється фіг. 11.6.
 
Використовуючи формули (11.32) для а₋₁  і а₊₁, можна із середньої трійки рівнянь  (11.28) знайти а₀ і  два коефіцієнти β і γ. Таким  чином,   ми знайдемо повний розв'язок. Треба розв'язати три рівняння (вважаючи, що x_n = nb):

Згадайте, що (11.30) виражає E через k. Підставте це значення E в рівняння і врахуйте, що

Це рівняння повідомляє нам, що пройдена хвиля (γ) — це просто вихідна падаюча хвиля (1) плюс додаткова хвиля (β), рівна відбитій. Це не завжди так, але при розсіянні лише на одному атомі виявляється, що це так. Якби у вас була ціла група атомів домішки, то величина, яка додається до хвилі, що біжить вперед, не обов'язково вийшла б такою самою, як у відбитої хвилі.
 
Амплітуду  β відбитої  хвилі  ми можемо отримати  із середнього з рівнянь (11.33); виявиться, що

Ми отримали повний розв'язок для ґратки з одним незвичайним атомом.
 
Вас могло здивувати, чому пройдена хвиля виявилася «вищою», ніж падаюча, якщо судити з рівняння (11.34). Але згадайте, що β і γ — числа комплексні і що число частинок у хвилі (або, краще сказати, ймовірність виявити частинку) пропорційне квадрату модуля амплітуди. Насправді «збереження числа електронів» буде виконане лише за умови

Спробуйте показати, що в нашому розв'язку так воно і є.