Стани, залежні від часу

У цьому параграфі ми хочемо детальніше обговорити поведінку станів в одновимірній ґратці. Якщо для електрона амплітуда того, що він опиниться в х_n, дорівнює С_n, то ймовірність знайти його там буде |С_n|². Для стаціонарних станів, описаних рівнянням (11.12), ця ймовірність при всіх х_n та сама і з часом не змінюється. Як же відобразити таке становище речей, яке грубо можна було б описати, сказавши, що електрон визначеної енергії зосереджений у визначеній області, так що ймовірніше знайти його в якомусь одному місці, ніж в іншому? Цього можна досягти суперпозицією кількох розв'язків, схожих на (11.12), але з трохи різними значеннями k і, отже, з різними енергіями. Тоді, принаймні при t = 0, амплітуда С_n внаслідок інтерференції різних доданків залежатиме від місцеположення, точнісінько так само, як виходять биття, коли є суміш хвиль різної довжини [див. розд. 48 (вип. 4)]. Отже, можна скласти такий «хвильовий пакет», що в ньому переважатиме хвильове число k₀, але будуть присутні й інші хвильові числа, близькі до k₀   .
 
У нашій суперпозиції стаціонарних станів амплітуди з різними k представлятимуть стани з трохи різними енергіями і, отже, з трохи різними частотами; інтерференційна картина сумарного С_n тому теж змінюватиметься в часі, виникне картина «биттів». Як ми бачили в розд. 48 (вип. 4), піки биттів [місця, де |С (х_n)|² найбільші] з плином часу почнуть рухатися по x; швидкість їхнього руху ми назвали «груповою». Ми знайшли, що ця групова швидкість пов'язана із залежністю k від частоти формулою

усе це рівною мірою стосується і нашого випадку. Стан електрона, що має вигляд «скупчення», тобто стан, для якого С_n змінюється в просторі так, як у хвильового пакета на фіг. 11.5, рухатиметься вздовж нашого одновимірного «кристала» зі швидкістю v, що дорівнює dω/dk, де ω=E/h. Підставляючи (11.16) замість E, отримуємо

Іншими словами, електрони рухаються по кристалу зі швидкістю, пропорційною самому характерному k. Тоді, згідно з (11.16), енергія такого електрона пропорційна квадрату його швидкості, він поводиться подібно до класичної частинки. Поки ми розглядаємо все в такому великому масштабі, що жодних тонкощів будови розгледіти не можемо, наша квантовомеханічна картина приводить до тих самих результатів, що й класична фізика.
 
Справді, якщо з (11.18) знайти k  і підставити його в (11.16), то вийде

де m_еф — стала. Надлишкова «енергія руху» електрона в пакеті залежить від швидкості точнісінько так само, як і в класичної частинки. Стала m_еф, що зветься «ефективною масою», дається виразом

Зауважте ще, що можна написати

Якщо ми вирішимо назвати m_ефv «імпульсом», то цей імпульс буде пов'язаний із хвильовим числом k так само, як і у вільної частинки.
 
Не забувайте, що m_еф не має нічого спільного зі справжньою масою електрона. Вона може бути зовсім іншою, хоча слід сказати, що в реальних кристалах часто трапляється, що її порядок величини виявляється приблизно таким самим (у 2 або, скажімо, у 20 разів більшим, ніж маса електрона в порожньому просторі).
 
Ми щойно з вами розкрили дивовижну таємницю — як це електрон у кристалі (наприклад, запущений у германій додатковий електрон) може пронестися крізь увесь кристал, може летіти по ньому цілком вільно, навіть якщо йому доводиться стикатися з усіма атомами. Це виходить від того, що його амплітуди, перетікаючи з одного атома на інший, прокладають йому шлях крізь кристал. Ось чому тверде тіло може проводити електрику.