Перш ніж застосовувати щойно знайдений результат, хотілося б ще трохи заглибитися в ідею симетрії. Припустімо, що збіг обставин такий, що після дії оператора Q на стан виходить знову той самий стан. Це дуже частковий випадок, але все ж припустімо, що так склалося, що стан |ψ′>= Q |ψ0> фізично збігається зі станом |ψ0>. Це означає, що |ψ′ дорівнює |ψ0>, якщо не рахувати якогось фазового множника. Як це собі уявляти? Нехай, наприклад, є іон Н2+ у стані, який ми колись позначали |I>. У цього стану однакова амплітуда побувати в базисних станах |1> і |2>. Імовірності показані стовпчиками на фіг. 15.3, а. Якщо на стан |I> ми подіємо оператором відбиття P, він переверне його, поміняв місцями |1> з |2>, а |2> з |1>; вийдуть імовірності, показані на фіг. 15.3,б. Перед нами знову стан |I>. Якщо почати зі стану | II>, то ймовірності до і після відбиття виглядатимуть теж однаково. Щоправда, якщо подивитися на амплітуди, то різниця все ж є. У стану |I> після відбиття амплітуди залишаться тими самими, у стану |II> вони набудуть протилежного знака. Іншими словами,Зображення
Якщо написати P |ψ0>= еiδ|ψ0>, то у стану | I> ми маємо eiδ=1, а у стану |II> маємо eiδ= — 1.
Візьмемо інший приклад. Нехай у нас є правополяризований по колу фотон, що поширюється в напрямку z. Якщо ми здійснимо операцію повороту навколо осі z, то, як ми знаємо, це просто призведе до множення амплітуди на еiφ, де φ — кут повороту. Значить, у цьому випадку для операції повороту δ просто дорівнює куту повороту.
Далі, ясно, що якщо виявляється правильним, що оператор Q у якийсь момент часу просто змінює фазу стану (скажімо, в момент t=0), то це буде правильно завжди. Іншими словами, якщо стан |ψ1> переходить за час t у стан |ψ2>:
Візьмемо інший приклад. Нехай у нас є правополяризований по колу фотон, що поширюється в напрямку z. Якщо ми здійснимо операцію повороту навколо осі z, то, як ми знаємо, це просто призведе до множення амплітуди на еiφ, де φ — кут повороту. Значить, у цьому випадку для операції повороту δ просто дорівнює куту повороту.
Далі, ясно, що якщо виявляється правильним, що оператор Q у якийсь момент часу просто змінює фазу стану (скажімо, в момент t=0), то це буде правильно завжди. Іншими словами, якщо стан |ψ1> переходить за час t у стан |ψ2>:
Зображення
і якщо симетрія фізичної картини така, що
Зображення
[Верхні рівності випливають із (15.13) і (15.10) для симетричної системи, нижні — із (15.14) і з того, що всяке число, скажімо еiδ, комутує з оператором.]Отже, за деяких симетрій те, що правильно спочатку, правильно завжди. Але хіба це не закон збереження? Так! Він стверджує, що якщо ви поглянете на вихідний стан і, провівши десь осторонь невеликий підрахунок, виявите, що операція, яка є операцією симетрії для системи, призводить лише до множення на якийсь фазовий множник, то ви будете впевнені, що ця сама властивість буде виконана для кінцевого стану — та сама операція помножить і кінцевий стан на той самий фазовий множник. Це буде правильно завжди, навіть якщо ви нічого не знаєте про той внутрішній механізм світу, який змінює систему від початкового стану до кінцевого. Навіть якщо ви не подбали придивитися до деталей того, яким саме способом система переходить від одного стану до іншого, ви все одно маєте право стверджувати, що якщо річ спочатку перебувала в стані з певним характером симетрії і якщо гамільтоніан цієї речі симетричний відносно цієї операції симетрії, тоді той самий характер симетрії залишиться в стану на вічні часи. Це основа всіх законів збереження квантової механіки.
Розглянемо частковий приклад. Візьмемо знову оператор P. Спершу, щоправда, трохи змінимо визначення операції P. Нехай P буде не просто дзеркальним відбиттям, бо воно вимагає визначення площини, в якій поставлено дзеркало. Існує особливий вид відбиття, який вказівки площини не вимагає. Перевизначимо операцію P таким чином: спершу ви відбиваєте в дзеркалі, що перебуває в площині z, так що z переходить у —z, x залишається x, а y залишається y; потім ви повертаєте систему на кут 180° навколо осі z, так що x переходить у —x, а у в —y. Все разом називається інверсією, оберненням координат. Кожна точка проєктується через початок координат у діаметрально протилежне положення. Усі координати всього на світі змінюють знак. Цю операцію ми, як і раніше, позначатимемо символом P. Вона зображена на фіг. 15.4 і трохи зручніша, ніж проста операція відбиття, бо не потрібно вказувати, в якій координатній площині відбувається відбиття, достатньо лише вказати точку, яка є центром симетрії.
Тепер припустімо, що в нас є стан |ψ0>, який за операції інверсії переходить в еiδ|ψ0>, тобто
Зображення
Зробимо тепер нову інверсію. Після двох інверсій ми повернемося до того, з чого почали: нічого не зміниться. Має вийти
Зображення
Звідси випливає, що (еiδ)2 = 1. Значить, якщо оператор інверсії є операцією симетрії для якогось стану, то в δ можуть бути лише дві можливості:
Зображення
У класичній фізиці, якщо стан симетричний відносно інверсії, то ця операція дає знову той самий стан. А в квантовій механіці є дві можливості: виходить або той самий стан, або мінус той самий стан. Коли виходить той самий стан, P |ψ0>=|ψ0> ми кажемо, що в стану |ψ0> парність додатна. Якщо знак змінюється, так що Р |ψ0> = — |ψ0>, ми кажемо, що парність стану від'ємна. (Оператор інверсії P відомий також як оператор парності.) Стан |I> іона Н2+ має додатну парність; стан же | II > — від'ємну [див. (15.12)]. Бувають, звісно, стани, не симетричні відносно операції P; це стани без певної парності. Наприклад, у системі Н2+ стан | I> має додатну парність, стан |II> — від'ємну, а стан |1> певної парності не має.
Коли ми кажемо про те, що операція (наприклад, інверсія) була здійснена «над фізичною системою», то це можна уявляти собі двояко. Можна вважати, що все, що було в точці r, фізично зсунулося в обернену точку —r; або можна вважати, що ми дивимося на ту саму систему з нової системи відліку х′, у′, z′ , пов'язаної зі старою формулами х′ = — х, у′ = — у і z′ = — z. Так само, коли ми говоримо про повороти, то можна або вважати, що ми повертаємо цілком усю фізичну систему, або що повертаємо систему координат, у якій ми вимірюємо нашу систему, залишаючи останню закріпленою в просторі. Ці дві точки зору по суті рівноцінні. Вони рівноцінні і при повороті, тільки поворот системи на кут θ подібний до повороту системи відліку на від'ємний кут —θ. У нашому курсі ми зазвичай дивилися, що виходить, коли береться проекція на нову систему осей. Те, що при цьому виходить, збігається з тим, що вийде, якщо ми залишимо осі колишніми і повернемо тіло на стільки ж назад. Коли ви це робите, не забудьте поміняти знаки кутів.
Багато законів фізики (але не всі) не змінюються при відбитті чи інверсії координат. Вони симетричні відносно інверсії. Закони електродинаміки, наприклад, не змінюються, якщо ми міняємо x на —x, у на —y і z на —z в усіх рівняннях. Те саме стосується і законів тяжіння, і сильних взаємодій ядерної фізики. Лише у слабких взаємодій, відповідальних за β-розпад, немає такої симетрії. [Ми обговорювали це трохи докладніше в розд. 52 (вип. 4).] Але ми зараз знехтуємо β-розпадом. Тоді в будь-якій фізичній системі, на яку, як можна думати, β-розпад не справляє помітного впливу (як приклад візьмемо випромінювання світла атомом), гамільтоніан H і оператор P будуть комутувати. За цих обставин правильне таке твердження. Якщо парність стану спочатку додатна і ви поцікавитеся фізичною ситуацією через якийсь час, то побачите, що парність залишиться додатною. Нехай, наприклад, нам відомо, що атом перед тим, як випустити фотон, перебував у стані з додатною парністю. Ви розглядаєте всю цю систему (включно з фотоном) після випромінювання; парність знову буде додатна (і точно так само було б, якби ви почали з від'ємної парності). Цей принцип називається збереженням парності. Ви тепер розумієте, чому слова «збереження парності» і «симетрія відносно відбиттів» у квантовій механіці тісно переплетені. Хоча до останніх років вважалося, що природа завжди зберігає парність, тепер відомо, що це не так. З'ясувалося, що це неправильно, бо реакція β-розпаду не має симетрії відносно інверсії, виявленої в інших законах фізики.
Тепер ми можемо довести цікаву теорему (справедливу доти, доки слабкими взаємодіями можна знехтувати): будь-який стан певної енергії, що не є виродженим, повинен мати певну парність. Його парність має бути або додатна, або від'ємна. (Пригадайте, що нам іноді траплялися системи, в яких кілька станів мали одну й ту саму енергію,— такі стани ми називаємо виродженими. Тож наша теорема до них не стосується.)
Ми знаємо, що якщо | ψ0> — стан певної енергії, то
Коли ми кажемо про те, що операція (наприклад, інверсія) була здійснена «над фізичною системою», то це можна уявляти собі двояко. Можна вважати, що все, що було в точці r, фізично зсунулося в обернену точку —r; або можна вважати, що ми дивимося на ту саму систему з нової системи відліку х′, у′, z′ , пов'язаної зі старою формулами х′ = — х, у′ = — у і z′ = — z. Так само, коли ми говоримо про повороти, то можна або вважати, що ми повертаємо цілком усю фізичну систему, або що повертаємо систему координат, у якій ми вимірюємо нашу систему, залишаючи останню закріпленою в просторі. Ці дві точки зору по суті рівноцінні. Вони рівноцінні і при повороті, тільки поворот системи на кут θ подібний до повороту системи відліку на від'ємний кут —θ. У нашому курсі ми зазвичай дивилися, що виходить, коли береться проекція на нову систему осей. Те, що при цьому виходить, збігається з тим, що вийде, якщо ми залишимо осі колишніми і повернемо тіло на стільки ж назад. Коли ви це робите, не забудьте поміняти знаки кутів.
Багато законів фізики (але не всі) не змінюються при відбитті чи інверсії координат. Вони симетричні відносно інверсії. Закони електродинаміки, наприклад, не змінюються, якщо ми міняємо x на —x, у на —y і z на —z в усіх рівняннях. Те саме стосується і законів тяжіння, і сильних взаємодій ядерної фізики. Лише у слабких взаємодій, відповідальних за β-розпад, немає такої симетрії. [Ми обговорювали це трохи докладніше в розд. 52 (вип. 4).] Але ми зараз знехтуємо β-розпадом. Тоді в будь-якій фізичній системі, на яку, як можна думати, β-розпад не справляє помітного впливу (як приклад візьмемо випромінювання світла атомом), гамільтоніан H і оператор P будуть комутувати. За цих обставин правильне таке твердження. Якщо парність стану спочатку додатна і ви поцікавитеся фізичною ситуацією через якийсь час, то побачите, що парність залишиться додатною. Нехай, наприклад, нам відомо, що атом перед тим, як випустити фотон, перебував у стані з додатною парністю. Ви розглядаєте всю цю систему (включно з фотоном) після випромінювання; парність знову буде додатна (і точно так само було б, якби ви почали з від'ємної парності). Цей принцип називається збереженням парності. Ви тепер розумієте, чому слова «збереження парності» і «симетрія відносно відбиттів» у квантовій механіці тісно переплетені. Хоча до останніх років вважалося, що природа завжди зберігає парність, тепер відомо, що це не так. З'ясувалося, що це неправильно, бо реакція β-розпаду не має симетрії відносно інверсії, виявленої в інших законах фізики.
Тепер ми можемо довести цікаву теорему (справедливу доти, доки слабкими взаємодіями можна знехтувати): будь-який стан певної енергії, що не є виродженим, повинен мати певну парність. Його парність має бути або додатна, або від'ємна. (Пригадайте, що нам іноді траплялися системи, в яких кілька станів мали одну й ту саму енергію,— такі стани ми називаємо виродженими. Тож наша теорема до них не стосується.)
Ми знаємо, що якщо | ψ0> — стан певної енергії, то
Зображення
де E — просто число, енергія стану. Якщо в нас є довільний оператор Q, який є оператором симетрії для системи, то ми можемо довести, що
Зображення
тільки якщо |ψ0> — єдиний стан із даною енергією. Розглянемо новий стан |ψ′0> який ви отримуєте після дії Q. Якщо вся фізика симетрична, то |ψ′0> повинен мати ту саму енергію, що й |ψ0>. Але ж ми вибрали випадок, коли стан із такою енергією лише один, а саме |ψ0>; значить, |ψ′0> повинен бути тим самим станом, відрізняючись хіба що фазою. Таким є фізичне доведення.
Але те саме випливе і з нашої математики. Наше визначення симетрії —це (15.10) або (15.11), справедливе для будь-якого стану |ψ>:
Але те саме випливе і з нашої математики. Наше визначення симетрії —це (15.10) або (15.11), справедливе для будь-якого стану |ψ>:
Зображення
Але зараз ідеться про стан |ψ0>, який є станом із певною енергією, так що Н |ψ0>=E |ψ0>. А оскільки E — просто число, то воно просто проходить крізь Q, і ми маємо
Зображення
Значить, |ψ′0 > = Q |ψ0 > — теж стан H із певною енергією і при цьому з тим самим E. Але за нашою гіпотезою є лише один такий стан; значить, |ψ′0 > повинен дорівнювати еiδ |ψ0 >.
Усе, що ми щойно довели, стосується будь-якого оператора Q, аби лише він був оператором симетрії для фізичної системи. Тому коли до розгляду входять тільки електричні сили і сильні взаємодії (і немає жодного β-розпаду), так що симетрія відносно інверсії є цілком допустимим наближенням, за цих обставин P |ψ> = еiδ |ψ >. Але ми бачили також, що еiδ повинно дорівнювати або +1, або —1. Отже, будь-який стан із певною енергією (якщо він не вироджений) назавжди наділений або додатною, або від'ємною парністю.
Усе, що ми щойно довели, стосується будь-якого оператора Q, аби лише він був оператором симетрії для фізичної системи. Тому коли до розгляду входять тільки електричні сили і сильні взаємодії (і немає жодного β-розпаду), так що симетрія відносно інверсії є цілком допустимим наближенням, за цих обставин P |ψ> = еiδ |ψ >. Але ми бачили також, що еiδ повинно дорівнювати або +1, або —1. Отже, будь-який стан із певною енергією (якщо він не вироджений) назавжди наділений або додатною, або від'ємною парністю.