Звернімося тепер до іншого цікавого прикладу операції симетрії — до повороту. Розглянемо окремий випадок оператора, який повертає атомну систему на кут φ навколо осі z. Позначимо цей оператор Rz (φ). Припустімо ще, що жодних впливів, вибудуваних уздовж осей x і y, у нашому фізичному випадку немає. Усі електричні або магнітні поля взято паралельними до осі z, так що жодних змін у зовнішніх умовах від повороту всієї фізичної системи навколо осі z не настане. Наприклад, якщо є атом у порожньому просторі і ми повернемо цей атом навколо осі z на кут φ, то дістанемо ту саму фізичну систему.
Тоді існують особливі стани, що мають ту властивість, що така операція створює новий стан, який дорівнює первісному, помноженому на деякий фазовий множник. Зауважимо, що коли це так, то зміна фази має бути завжди пропорційна куту φ. Уявіть, що ви двічі захотіли б зробити поворот на кут φ. Це рівносильно тому, щоб повернути на кут 2φ. Якщо поворот на кут φ має своїм наслідком множення стану |ψ0> на фазовий множник еiδ так що
Тоді існують особливі стани, що мають ту властивість, що така операція створює новий стан, який дорівнює первісному, помноженому на деякий фазовий множник. Зауважимо, що коли це так, то зміна фази має бути завжди пропорційна куту φ. Уявіть, що ви двічі захотіли б зробити поворот на кут φ. Це рівносильно тому, щоб повернути на кут 2φ. Якщо поворот на кут φ має своїм наслідком множення стану |ψ0> на фазовий множник еiδ так що
Зображення
то два такі повороти, один за іншим, привели б до множення стану на множник (еiδ)2 = еi2δ, оскільки
Зображення
Зміна фази δ виявляється пропорційною φ. Отже, ми розглядаємо лише ті особливі стани |ψ0> для яких
Зображення
де m — деяке дійсне число.
Нам відомий також той прикметний факт, що якщо система симетрична відносно повороту навколо z і якщо вихідний стан має ту властивість, що (15.22) виявиться виконаним, то й пізніше в цього стану збережеться та сама властивість. Отже, це число m має велику важливість. Якщо його значення ми знаємо на початку, то ми знаємо його й наприкінці. Це число m, яке зберігається, є константою руху. Причина, чому ми говоримо про m, висуваємо його на перший план, полягає в тому, що воно не пов'язане з якимось певним кутом φ, і ще в тому, що воно має відповідник у класичній механіці. У квантовій механіці ми обираємо для mh (у станах, подібних до |ψ0>) назву момент кількості руху навколо осі z. І тоді ми виявляємо, що в границі великих систем та сама величина дорівнює z-компоненті моменту кількості руху з класичної механіки. Отже, якщо ми маємо стан, для якого поворот навколо осі z приводить просто до фазового множника eimφ, то перед нами стан з певним моментом кількості руху навколо цієї осі, і момент кількості руху зберігається. Він назавжди залишається рівним mh. Звісно, повороти можна робити навколо будь-яких осей, і збереження моменту кількості руху теж буде виходити для будь-яких осей. Ви бачите, що збереження моменту кількості руху пов'язане з тим фактом, що, коли ви повертаєте систему, ви дістаєте знову той самий стан, лише з новим фазовим множником.
Зараз ми покажемо вам, наскільки загальна ця ідея. Застосуємо її до двох інших законів збереження, які за фізичною ідеєю точно відповідають збереженню моменту кількості руху. У класичній фізиці існує також збереження імпульсу і збереження енергії, і цікаво, що обидва вони теж пов'язані з якимись фізичними симетріями. Припустімо, у нас є фізична система — атом, або складне ядро, або ж молекула, або що завгодно — і якщо ми візьмемо її і як ціле пересунемо на нове місце, то нічого не зміниться. Отже, ми маємо гамільтоніан з тією властивістю, що він у певному сенсі залежить від внутрішніх координат, але не залежить від абсолютного положення у просторі. За цих обставин існує спеціальна операція симетрії, яка називається просторовим перенесенням. Визначимо Dx (а) як операцію зсуву на відстань a вздовж осі x. Тоді для кожного стану ми зможемо здійснити цю операцію і дістати новий стан. І знову тут можливі вельми особливі стани, що мають ту властивість, що коли ви їх зсуваєте по осі x на a, ви дістаєте той самий стан (якщо не рахувати фазового множника). І так само, як робилося вище, можна довести, що коли так буває, то фаза пропорційна a. Так що для цих особливих станів |ψ0> можна писати
Нам відомий також той прикметний факт, що якщо система симетрична відносно повороту навколо z і якщо вихідний стан має ту властивість, що (15.22) виявиться виконаним, то й пізніше в цього стану збережеться та сама властивість. Отже, це число m має велику важливість. Якщо його значення ми знаємо на початку, то ми знаємо його й наприкінці. Це число m, яке зберігається, є константою руху. Причина, чому ми говоримо про m, висуваємо його на перший план, полягає в тому, що воно не пов'язане з якимось певним кутом φ, і ще в тому, що воно має відповідник у класичній механіці. У квантовій механіці ми обираємо для mh (у станах, подібних до |ψ0>) назву момент кількості руху навколо осі z. І тоді ми виявляємо, що в границі великих систем та сама величина дорівнює z-компоненті моменту кількості руху з класичної механіки. Отже, якщо ми маємо стан, для якого поворот навколо осі z приводить просто до фазового множника eimφ, то перед нами стан з певним моментом кількості руху навколо цієї осі, і момент кількості руху зберігається. Він назавжди залишається рівним mh. Звісно, повороти можна робити навколо будь-яких осей, і збереження моменту кількості руху теж буде виходити для будь-яких осей. Ви бачите, що збереження моменту кількості руху пов'язане з тим фактом, що, коли ви повертаєте систему, ви дістаєте знову той самий стан, лише з новим фазовим множником.
Зараз ми покажемо вам, наскільки загальна ця ідея. Застосуємо її до двох інших законів збереження, які за фізичною ідеєю точно відповідають збереженню моменту кількості руху. У класичній фізиці існує також збереження імпульсу і збереження енергії, і цікаво, що обидва вони теж пов'язані з якимись фізичними симетріями. Припустімо, у нас є фізична система — атом, або складне ядро, або ж молекула, або що завгодно — і якщо ми візьмемо її і як ціле пересунемо на нове місце, то нічого не зміниться. Отже, ми маємо гамільтоніан з тією властивістю, що він у певному сенсі залежить від внутрішніх координат, але не залежить від абсолютного положення у просторі. За цих обставин існує спеціальна операція симетрії, яка називається просторовим перенесенням. Визначимо Dx (а) як операцію зсуву на відстань a вздовж осі x. Тоді для кожного стану ми зможемо здійснити цю операцію і дістати новий стан. І знову тут можливі вельми особливі стани, що мають ту властивість, що коли ви їх зсуваєте по осі x на a, ви дістаєте той самий стан (якщо не рахувати фазового множника). І так само, як робилося вище, можна довести, що коли так буває, то фаза пропорційна a. Так що для цих особливих станів |ψ0> можна писати
Зображення
Коефіцієнт k, помножений на h, називається x-компонентою імпульсу. Його називають так тому, що це число, коли система велика, чисельно збігається з класичним імпульсом рx. Загальне твердження таке: якщо гамільтоніан не змінюється при зсуві системи і якщо спочатку стан характеризується певним імпульсом у напрямку x, то імпульс у напрямку x залишиться з плином часу незмінним. Повний імпульс системи до і після зіткнень (або після вибухів чи ще чогось?) буде той самий.
Є й інша операція, яка цілком аналогічна зсуву в просторі: зсув у часі. Припустімо, перед нами фізичні обставини, коли ніщо зовнішнє від часу не залежить, і от за цих обставин ми поміщаємо щось у певний момент часу в даний стан і пускаємо його напризволяще. А іншого разу (у новому досліді) той самий пристрій ми запускаємо двома секундами пізніше або взагалі τ секундами пізніше. І от якщо ніщо в зовнішніх умовах не залежить від абсолютного часу, то все розвиватиметься точнісінько так само, як і раніше, і кінцевий стан збіжиться з попереднім кінцевим станом, за винятком того, що запізниться на час τ. За цих обставин також знайдуться особливі стани, у яких розвиток у часі має ту особливість, що запізнілий стан — це просто старий стан, помножений на фазовий множник. І цього разу теж ясно, що для цих особливих станів зміна фази має бути пропорційна τ. Можна написати
Є й інша операція, яка цілком аналогічна зсуву в просторі: зсув у часі. Припустімо, перед нами фізичні обставини, коли ніщо зовнішнє від часу не залежить, і от за цих обставин ми поміщаємо щось у певний момент часу в даний стан і пускаємо його напризволяще. А іншого разу (у новому досліді) той самий пристрій ми запускаємо двома секундами пізніше або взагалі τ секундами пізніше. І от якщо ніщо в зовнішніх умовах не залежить від абсолютного часу, то все розвиватиметься точнісінько так само, як і раніше, і кінцевий стан збіжиться з попереднім кінцевим станом, за винятком того, що запізниться на час τ. За цих обставин також знайдуться особливі стани, у яких розвиток у часі має ту особливість, що запізнілий стан — це просто старий стан, помножений на фазовий множник. І цього разу теж ясно, що для цих особливих станів зміна фази має бути пропорційна τ. Можна написати
Зображення
Загальноприйнято при визначенні ω користуватися знаком мінус; за такою угодою ωh — це енергія системи; вона зберігається. Отже, система з певною енергією — це така система, яка при зсуві в часі на τ відтворює саму себе, помножену на e–iωτ. (Це якраз те, що ми говорили, коли визначали квантовий стан з певною енергією, так що все узгоджується.) Це означає, що якщо система перебуває в стані з певною енергією і якщо гамільтоніан не залежить від t, то незалежно від того, що станеться далі, система в усі пізніші часи матиме ту саму енергію.
Тепер ви розумієте, отже, який зв'язок між законами збереження і симетрією світу. Симетрія відносно зсувів у часі тягне за собою збереження енергії; симетрія відносно положення на осях x, у або z тягне за собою збереження відповідної компоненти імпульсу. Симетрія відносно поворотів навколо осей x, у і z тягне за собою збереження x-, y- і z-компонент моменту кількості руху. Симетрія відносно відбиттів тягне за собою збереження парності. Симетрія відносно перестановки двох електронів тягне за собою збереження чогось, чому ще не придумано назви, і т. д. Частина цих принципів має класичні аналоги, а частина — ні. У квантовій механіці є більше законів збереження, ніж це потрібно для класичної механіки або принаймні ніж зазвичай у ній ужито.
Щоб ви змогли розібратися в інших книгах з квантової механіки, ми зробимо невеличку технічну ремарку і познайомимо вас з одним загальноприйнятим позначенням. Операція зсуву в часі — це якраз та сама операція U, про яку ми якось говорили:
Тепер ви розумієте, отже, який зв'язок між законами збереження і симетрією світу. Симетрія відносно зсувів у часі тягне за собою збереження енергії; симетрія відносно положення на осях x, у або z тягне за собою збереження відповідної компоненти імпульсу. Симетрія відносно поворотів навколо осей x, у і z тягне за собою збереження x-, y- і z-компонент моменту кількості руху. Симетрія відносно відбиттів тягне за собою збереження парності. Симетрія відносно перестановки двох електронів тягне за собою збереження чогось, чому ще не придумано назви, і т. д. Частина цих принципів має класичні аналоги, а частина — ні. У квантовій механіці є більше законів збереження, ніж це потрібно для класичної механіки або принаймні ніж зазвичай у ній ужито.
Щоб ви змогли розібратися в інших книгах з квантової механіки, ми зробимо невеличку технічну ремарку і познайомимо вас з одним загальноприйнятим позначенням. Операція зсуву в часі — це якраз та сама операція U, про яку ми якось говорили:
Зображення
Багато хто воліє мову нескінченно малих зсувів у часі або нескінченно малих переміщень у просторі чи поворотів на нескінченно малі кути. Оскільки будь-яке скінченне зміщення або кут можна поступово накопичити послідовними нескінченно малими зміщеннями або поворотами, то часто легше проаналізувати спочатку цей нескінченно малий випадок. Оператор нескінченно малого зсуву Δt у часі є (за визначенням розд. 6, вип. 8)
Зображення
Тоді H аналогічна класичній величині, яку ми називаємо енергією, бо якщо H |ψ> виявляється рівним сталій, помноженій на |ψ>, а саме якщо Н |ψ>=Е |ψ>, то ця стала є енергією системи.
Те саме проробляється й з іншими операціями. Якщо ми робимо легке зміщення по x, скажімо на Δx, то стан |ψ>, узагалі кажучи, перейде в якийсь новий стан |ψ′>. Ми можемо написати
Те саме проробляється й з іншими операціями. Якщо ми робимо легке зміщення по x, скажімо на Δx, то стан |ψ>, узагалі кажучи, перейде в якийсь новий стан |ψ′>. Ми можемо написати
Зображення
тому що, коли Δx прямує до нуля, |ψ′ > має знову обернутися на |ψ>, або, що те саме, Dx (0)=1, а для малих Δx відхилення Dx (Δx) від одиниці має бути пропорційним Δx. Оператор рx, визначений у такий спосіб, називається оператором імпульсу (природно, для x-компоненти).
З тих самих причин для малих поворотів зазвичай пишуть
З тих самих причин для малих поворотів зазвичай пишуть
Зображення
і називають Jz оператором z-компоненти моменту кількості руху. Для тих особливих станів, для яких Rz (φ) | ψ0> =eimφ | ψ0>, можна для кожного малого кута, скажімо Δφ, розкласти праву частину до членів першого порядку за Δφ і дістати
Зображення
Порівнюючи це з визначенням Jz за формулою (15.28), приходимо до
Зображення
Інакше кажучи, якщо ви дієте оператором Jz на стан з певним моментом кількості руху навколо осі z, то дістаєте mh, помножене на цей стан, де mh—кількість z-компоненти моменту кількості руху. Усе цілком аналогічно тому, як дія H на стан з певною енергією дає Е |ψ>.
Тепер хотілося б перейти до деяких застосувань ідеї про збереження моменту кількості руху, щоб показати вам її в дії. Річ у тім, що насправді все це дуже просто. Про те, що момент кількості руху зберігається, ви знали й раніше. Єдине, що вам потрібно запам'ятати з цього розділу, це те, що якщо в стану |ψ0 > є така властивість, що при повороті на кут φ навколо осі z він перетворюється на eimφ|ψ0 >, то z-компонента моменту кількості руху дорівнює mh. Цих знань достатньо, щоб дістати безліч цікавих речей.
Тепер хотілося б перейти до деяких застосувань ідеї про збереження моменту кількості руху, щоб показати вам її в дії. Річ у тім, що насправді все це дуже просто. Про те, що момент кількості руху зберігається, ви знали й раніше. Єдине, що вам потрібно запам'ятати з цього розділу, це те, що якщо в стану |ψ0 > є така властивість, що при повороті на кут φ навколо осі z він перетворюється на eimφ|ψ0 >, то z-компонента моменту кількості руху дорівнює mh. Цих знань достатньо, щоб дістати безліч цікавих речей.