Тепер наведемо приклад того, як теорема про збереження моменту кількості руху застосовується в суто квантовофізичних задачах. Розглянемо розпад лямбда-частинки (Λ0), яка розщеплюється на протон і π–-мезон за допомогою слабкої взаємодії:
Зображення
Нехай нам відомо, що спін у піона дорівнює нулю, у протона — половині, а в Λ0 теж половині. Ми хотіли б розв'язати таку задачу: припустімо, що Λ0 народжена таким чином, що виявилася повністю поляризованою; це значить, що її спін спрямований, скажімо, вгору відносно відповідно обраної осі z (фіг. 15.6, а). Питання полягає в тому, з якою ймовірністю вона розпадеться так, що протон вилетить під кутом θ до осі z (фіг. 15.6, б). Іншими словами, який кутовий розподіл розпадів? Ми розглядатимемо розпад у системі координат, де Λ0 спочиває, вимірюючи кути в системі спокою Λ0; якщо потрібно, їх завжди можна перевести в іншу систему.
Почнемо з розгляду того окремого випадку, коли протон випускається в невеликий тілесний кут ΔΩ поблизу осі z (фіг. 15.7).До розпаду спін Λ0 був спрямований вгору (фіг. 15.7, a). За мить (з причин, донині невідомих, відомо лише, що вони пов'язані зі слабкими розпадами) Λ0 вибухає, утворюючи протон і піон. Нехай протон летить вгору по осі + z. Тоді піону через збереження імпульсу доведеться спрямуватися вниз. Оскільки протон — це частинка зі спіном 1/2, то його спін має бути спрямований або вгору, або вниз,— у принципі є дві можливості, показані на фіг. 15.7, б і в. Збереження моменту кількості руху вимагає, однак, щоб спін протона був спрямований тільки вгору. Найлегше зрозуміти це з таких міркувань. Частинка, що рухається вздовж осі z, ніяк не може набути за рахунок свого руху моменту навколо цієї осі, тому в Jz можуть дати внесок тільки спіни. Спіновий момент кількості руху навколо осі z до розпаду дорівнював +h/2; отже, і після він дорівнюватиме + h/2. Можна сказати, що через те, що в піона немає спіну, спін протона має дивитися вгору.
Якщо вас турбує, що міркування такого штибу можуть у квантовій механіці виявитися неправильними, варто витратити хвилинку, щоб показати, що й за квантовою механікою все відбувається так само. Початковий (дорозпадний) стан, який ми позначимо | Λ0, спін по +z>, має ту властивість, що якщо його повернути навколо осі z на кут φ, то вектор стану помножується на фазовий множник еiφ/2. (У повернутій системі вектор стану дорівнює еiφ/2 |Λ0, спін по + z>.) Саме це й мають на увазі, коли говорять про спін вгору в частинки зі спіном 1/2. Оскільки поведінка природи не залежить від нашого вибору осей, то кінцевий стан системи «протон плюс піон» повинен мати ту саму властивість. Кінцевий стан ми можемо, наприклад, записати у вигляді
| протон летить по + z, спін по + z; піон летить по –z>.
Але рух піона насправді не треба обумовлювати, бо в обраній нами системі піон завжди рухається протилежно протону; наш опис кінцевого стану можна спростити до
| протон летить по + z, спін по + z>.
То що ж станеться з цим станом, якщо ми повернемо систему координат навколо осі z на кут φ?
Оскільки протон і піон рухаються вздовж осі z, їхнього руху поворотом не змінити. (Ось чому ми й обрали цей окремий випадок; інакше наше міркування не пройшло б.) Отже, з піоном нічого не станеться, бо спін його дорівнює нулю. У протона, однак, спін дорівнює 1/2. Якщо його спін спрямований вгору, він у відповідь на поворот змінить фазовий множник у еiφ/2 разів. (А якби його спін був спрямований вниз, то зміна фази стала б е–iφ/2.) Але якщо момент кількості руху має зберігатися (а це так, бо в гамільтоніані немає факторів, що залежать від зовнішніх впливів), то зміна фази через поворот має бути до розпаду і після розпаду однією й тією самою. Отже, єдина можливість полягає в тому, що спін протона буде спрямований вгору. Якщо протон рушив угору, то і спін його має бути спрямований вгору.
Ми, отже, доходимо висновку, що збереження моменту кількості руху дозволяє процес, показаний на фіг. 15.7, б, але не дозволяє процесу, показаного на фіг. 15.7, в. А раз ми знаємо, що розпад усе ж таки відбувається, то, отже, існує деяка амплітуда для процесу, показаного на фіг. 15.7, б, коли протон летить угору і спін його при цьому теж дивиться вгору. І ми позначимо буквою a амплітуду того, що в нескінченно малий проміжок часу відбудеться такий розпад.
Тепер подивімося, що було б, якби спін Λ0 спочатку був спрямований вниз. Знову розглядаємо розпади, у яких протон злітає вгору по осі z, як показано на фіг. 15.8.
Вам, звісно, тепер ясно, що в цьому разі спін протона спрямований вниз (якщо тільки момент кількості руху зберігається). Позначимо амплітуду такого розпаду буквою b.
Про амплітуди a і b ми нічого більше сказати не зможемо. Вони залежать від внутрішньої механіки частинки Λ0 і від слабких розпадів, і ніхто поки що не знає, як їх підраховувати. Їх доводиться діставати з досліду. Але, знаючи тільки ці дві амплітуди, ми можемо дізнатися про кутовий розподіл розпадів усе, що захочемо. Треба тільки завжди ретельно й повністю визначати ті стани, про які йдеться.
Ми хочемо знати ймовірність того, що протон вилетить під кутом θ до осі z (у деякий вузький тілесний кут ΔΩ), як показано на фіг. 15.6. Проведемо нову вісь z у цьому напрямку і позначимо її z′! Як аналізувати, що відбувається вздовж цієї осі, ми знаємо. Стосовно неї спін Λ0 уже не спрямований вгору, а має якусь амплітуду того, що він виявиться спрямованим вгору, і якусь — вниз. Усе це ми вже підраховували в розд. 4, а потім знову в розд. 8 [рівняння (8.30)] (вип. 8). Амплітуда того, що спін буде спрямований вгору, є cos θ/2, а амплітуда того, що спін дивитиметься вниз, є —sin θ/2. Коли спін Λ0 спрямований вгору по осі z′, вона випустить протон у напрямку z′ з амплітудою a. Отже, амплітуда того, що в напрямку z′ пройде протон, тримаючи свій спін угору, дорівнює
Зображення
Точнісінько так само амплітуда того, що вздовж додатної осі z′ пройде протон, спрямувавши свій спін вниз, дорівнює
Зображення
Ті два процеси, до яких належать ці амплітуди, показані на фіг. 15.9.
Зображення
Тепер поставимо таке нехитре запитання. Нехай ми збираємося реєструвати протони, що вилітають під кутом θ, не цікавлячись їхнім спіном. Два спінових стани (вгору і вниз по осі z′) розрізнювані, навіть якби ми того й не хотіли. Отже, щоб дістати ймовірність, треба амплітуди піднести до квадрата і скласти. Ймовірність f(θ) виявити протон у невеликому тілесному куті ΔΩ при θ дорівнює
Зображення
Пригадуючи, що sin2 θ/2 = 1/2 (1 — cosθ) і cos2 θ/2 = 1/2 (1 + cos θ), запишемо f(θ) так:
Зображення
Кутовий розподіл має вигляд
Зображення
Одна частина ймовірності не залежить від θ, а інша залежить від cos θ лінійно. З вимірювань кутового розподілу ми можемо дістати α і β, а отже, і | a | , і |b|.
Можна дістати відповідь і на багато інших запитань. Можливо, вас цікавлять лише ті протони, спін яких спрямований вгору відносно старої осі z? Кожен член у (15.33) і (15.34) дасть амплітуду того, що спін протона виявиться спрямованим вгору або вниз стосовно осі z′ ( | + z′ > і | — z′>). А стан, коли спін спрямований вгору відносно старої осі, | +z>, можна виразити через два базисних стани | + z′> і | —z′>. Можна тоді взяти дві амплітуди (15.33) і (15.34) з належними коефіцієнтами (cos θ/2 і — sin θ/2) і дістати повну амплітуду
Можна дістати відповідь і на багато інших запитань. Можливо, вас цікавлять лише ті протони, спін яких спрямований вгору відносно старої осі z? Кожен член у (15.33) і (15.34) дасть амплітуду того, що спін протона виявиться спрямованим вгору або вниз стосовно осі z′ ( | + z′ > і | — z′>). А стан, коли спін спрямований вгору відносно старої осі, | +z>, можна виразити через два базисних стани | + z′> і | —z′>. Можна тоді взяти дві амплітуди (15.33) і (15.34) з належними коефіцієнтами (cos θ/2 і — sin θ/2) і дістати повну амплітуду
Зображення
Її квадрат дасть імовірність того, що протон вилетить під кутом θ зі спіном, спрямованим туди ж, куди спрямований спін Λ0 (вгору по осі z).
Якби парність зберігалася, можна було б зробити ще одне твердження. Розпад на фіг. 15.8 — це просто дзеркальне відбиття, скажімо у площині yz, розпаду з фіг. 15.7. Якби парність зберігалася, b дорівнювало б або a, або — a. Тоді коефіцієнт у (15.37) дорівнював би нулю, і розпад однаково часто відбувався б у всіх напрямках.
Результати дослідів говорять, однак, що при розпаді асиметрія існує. Виміряний кутовий розподіл справді, як ми передбачили, змінюється за законом cos θ, а не за законом cos2 θ чи за іншим степенем. З цього кутового розподілу, отже, випливає, що спін Λ0 дорівнює 1/2. Крім того, ми бачимо, що парність не зберігається. Справді, коефіцієнт а на досліді знайдено рівним —0,62 ± 0,05, так що b приблизно вдвічі більше за a. Відсутність симетрії відносно відбиттів цілком очевидна.
Ви бачите, як багато можна вивести зі збереження моменту кількості руху. Ще деякі приклади будуть наведені в наступному розділі.
Якби парність зберігалася, можна було б зробити ще одне твердження. Розпад на фіг. 15.8 — це просто дзеркальне відбиття, скажімо у площині yz, розпаду з фіг. 15.7. Якби парність зберігалася, b дорівнювало б або a, або — a. Тоді коефіцієнт у (15.37) дорівнював би нулю, і розпад однаково часто відбувався б у всіх напрямках.
Результати дослідів говорять, однак, що при розпаді асиметрія існує. Виміряний кутовий розподіл справді, як ми передбачили, змінюється за законом cos θ, а не за законом cos2 θ чи за іншим степенем. З цього кутового розподілу, отже, випливає, що спін Λ0 дорівнює 1/2. Крім того, ми бачимо, що парність не зберігається. Справді, коефіцієнт а на досліді знайдено рівним —0,62 ± 0,05, так що b приблизно вдвічі більше за a. Відсутність симетрії відносно відбиттів цілком очевидна.
Ви бачите, як багато можна вивести зі збереження моменту кількості руху. Ще деякі приклади будуть наведені в наступному розділі.