Симетрія

У класичній фізиці чимало величин (таких, як імпульс, енергія і момент кількості  руху) зберігається. Теореми про збереження відповідних величин існують і в квантовій механіці. Найпрекрасніше в квантовій  механіці те, що теореми збереження в певному  сенсі вдається в ній вивести  з чогось іншого; тоді як у класичній механіці вони самі практично є вихідними для інших законів. (Можна, щоправда, і в класичній механіці чинити так само, як у квантовій, але це вдається лише на дуже високому рівні.) У квантовій механіці, однак, закони збереження дуже тісно пов'язані з принципом суперпозиції амплітуд і з симетрією фізичних систем відносно різних змін. Це й є тема цієї лекції. Хоча ці ідеї ми застосовуватимемо головним чином до збереження моменту кількості  руху, але суттєво тут те, що  усі теореми про збереження будь-яких величин завжди пов'язані—у квантовій механіці — із симетріями системи.
 
Почнемо тому з вивчення питання про симетрії систем. Дуже простим прикладом слугують молекулярні іони водню (утім, так само підійшли б і молекули аміаку), у яких є по два стани. У молекулярного іона водню за один базисний стан ми приймали такий стан, коли електрон розташований біля протона № 1, а за інший базисний стан той, у якому електрон розташовувався біля протона № 2. Ці два стани (ми їх називали |1> і |2>) ми знову показуємо на фіг. 15.1,a. І от, оскільки обидва ядра точно однакові, у цій фізичній системі є певна симетрія. Інакше  кажучи, якби  нам довелося відбити систему в площині, поставленій посередині між двома протонами (мається на увазі, якби все, що перебуває з одного боку площини, симетрично перейшло на інший бік), то виникла б картина, представлена на фіг. 15.1, б. А позаяк протони тотожні, операція відбиття переводить |1> у |2>, а |2> у |1>. Позначимо цю операцію відбиття P і напишемо

Отже, наше P — це оператор, у тому сенсі, що він «щось робить» зі станом, щоб вийшов новий стан. Цікаво тут те, що P, діючи на будь-який стан, створює якийсь інший стан системи.
 
Далі, у P, як і в усякого іншого оператора, з якими ми зустрічалися, є матричні елементи, які можна визначити за допомогою звичайних очевидних позначень. А саме

суть матричні елементи, які виходять, якщо P |1> і P|2> помножити зліва на <1 |. Згідно з рівнянням (15.1), вони дорівнюють

Таким самим шляхом можна отримати і Р₂₁, і Р₂₂. Матриця P відносно базисної системи |1> і |2> є

Ми знову переконуємося, що слова оператор і матриця в квантовій механіці практично взаємозамінні. Є, звісно, легкі технічні відмінності, як між словами «числівник» і «число», але ми не такі педанти, щоб забивати собі цим голову. Тож будемо називати P то оператором, то матрицею, незалежно від того, чи визначає він операцію, чи реально використаний для здобуття числової матриці.
 
Тепер ми хотіли б звернути вашу увагу на дещо. Припустімо, що фізика всієї системи молекулярного іона водню сама по собі симетрична. Цього могло б і не бути — це залежить, наприклад, від того, що перебуває поруч із нею. Але якщо система симетрична, то з необхідністю має бути справедливою така ідея. Припустімо, що спочатку, при t=0, система перебуває у стані |1>, а через проміжок часу t ми виявляємо, що система опинилася в складнішому становищі — в якійсь лінійній комбінації обох базисних станів. Згадайте, що в розд. 6 (вип. 8) ми звикли подавати «еволюцію в часі» множенням на оператор U. Це означає, що система за мить (скажімо для визначеності, через 15 с) опиниться в якомусь іншому стані.
 
Наприклад, цей стан на √²/₃ може складатися зі стану |1> і на i √ ¹/₃ зі стану |2 >, і ми б написали

Тепер запитаємо: що ж станеться, якщо спочатку ми запустимо систему в симетричному стані |2> і за тих самих умов почекаємо 15 с? Ясно, що якщо світ симетричний (що ми й припускаємо), то обов'язково вийде стан, симетричний із (15.4):

Ті самі ідеї схематично зображено на фіг. 15.2. Отже, якщо фізика системи симетрична відносно якоїсь площини і ми розрахували поведінку того чи іншого стану, то нам також відома поведінка стану, який вийшов би після відбиття вихідного стану в площині симетрії.
 
Те саме можна висловити трохи більш загально, тобто трохи більш абстрактно. Нехай Q — будь-яка з множини операцій, які ви можете виконати над системою, не змінюючи фізики. Наприклад, за Q ми можемо прийняти операцію відбиття в площині, розташованій посередині між двома атомами молекули водню. Або в системі з двома електронами під Q можна було б розуміти операцію обміну двома електронами. Третьою можливістю була б у сферично симетричній системі операція повороту всієї системи на скінченний кут навколо якоїсь осі; від цього фізика не зміниться. Звісно, у кожному окремому випадку ми позначали б Q по-своєму. Зокрема, через R_y (θ) ми зазвичай позначатимемо операцію «поверни систему навколо осі y на кут θ». Під Q ми просто розуміємо один із названих операторів або будь-який інший, який залишає всю фізичну ситуацію незмінною. Оператор Q ми будемо називати оператором симетрії для системи.
 
Ось вам ще приклади операторів симетрії. Якщо в нас є атом, а зовнішнє магнітне чи зовнішнє електричне поле відсутнє, то після повороту системи координат навколо будь-якої осі фізична система залишається тією самою. Знову ж таки молекула аміаку симетрична відносно відбиття в площині, паралельній тій, у якій лежать три атоми водню (поки немає електричного поля). Якщо є електричне поле, то при відбитті довелося б обернути і поле, а це змінює всю фізичну задачу. Але поки зовнішнього поля немає, молекула симетрична.
 
Тепер розглянемо загальний випадок. Припустімо, ми почали зі стану |ψ₁> а через якийсь час або під впливом інших фізичних умов він перетворився на стан |ψ₂>. Напишемо

[Подивіться на формулу (15.4).] Тепер уявіть, що над усією системою ми проводимо операцію Q. Стан |ψ> перетвориться на стан |ψ′>, який також записується у вигляді Q |ψ₁>. А стан | ψ₂> перетворюється на | ψ′₂>= Q|ψ₂> . І от, якщо фізика симетрична відносно Q (не забувайте про це, якщо це аж ніяк не загальна властивість системи), тоді, почекавши за тих самих умов той самий час, ми маємо отримати

[Як у (15.5).] Але замість |ψ′₁> можна написати Q |ψ₁>, а замість |ψ′₂> написати  Q |ψ₂>, так що (15.7) переписується у вигляді

Тепер, якщо |ψ₂> замінити на U|ψ₁> [див. (15.6)], то отримаємо

Неважко зрозуміти, що це означає. Щодо атома водню це означає, що «відбити і потім трохи почекати» [права частина (15.9)] — це те саме, що «трохи почекати, а потім відбити» [ліва частина (15.9)]. Вони мають збігтися, тільки якщо U при відбитті не змінюється.
 
А оскільки (15.9) справедливе при будь-якому вихідному стані |ψ₁>, то насправді це рівняння для операторів

Це ми й хотіли отримати — математичне формулювання симетрії. Коли дотримується (15.10), ми кажемо, що оператори U і Q комутують. Тоді «симетрію» можна визначити таким чином: фізична система симетрична відносно операції Q, коли Q комутує з U (з операцією плину часу). [Мовою матриць добуток двох операторів рівнозначний матричному добутку, так що (15.10) у системі, симетричній відносно перетворення Q, виконується і для матриць Q і U. ]
 
До речі, оскільки для нескінченно малого часу ε ми маємо U =1 — iHε/h, де H — звичайний гамільтоніан [див. розд. 6 (вип. 8)], то легко побачити, що коли (15.10) виконано, то виконано і

Тож (15.11) є математичним формулюванням умов на симетричність фізичної ситуації відносно оператора Q. Вона визначає симетрію.