Ще трохи про те, як можна застосувати ті самі ідеї, щоб зрозуміти, що відбувається з електроном у трьох вимірах. Результати виявляються дуже схожими. Нехай є прямокутна ґратка атомів з відстанями a, b, c в трьох напрямках. (Якщо вам більше до душі кубічна ґратка, вважайте всі відстані рівними одна одній.) Припустімо також, що амплітуда стрибка до сусіда в напрямку x є iА x/h; амплітуда стрибка в напрямку y є iAy/h, а амплітуда стрибка в напрямку z є iAz/h. Як же описати базисні стани? Як і в одновимірному випадку, один базисний стан — це коли електрон перебуває поблизу атома з координатами x, y, z, де (x, y, z) — одна з точок ґратки. Якщо вибрати початок координат в одному з атомів, то всі ці точки припадуть на
Зображення
де nx, ny , nz —три цілих числа. Замість того щоб ставити при x, у і z їхні номери, будемо просто писати x, y, z, маючи на увазі, що вони набувають лише таких значень, які бувають у точок ґратки. Отже, базисний стан зображується символом |електрон у x, y, z>, а амплітуда того, що електрон у якомусь стані | ψ> опиниться в цьому базисному стані, є C (x, y, z) = < електрон у x, y, z |ψ>.
Як і раніше, амплітуди C (x, y, z) можуть змінюватися з часом. За наших припущень гамільтонові рівняння мають виглядати так:
Як і раніше, амплітуди C (x, y, z) можуть змінюватися з часом. За наших припущень гамільтонові рівняння мають виглядати так:
Зображення
Хоч це й виглядає громіздко, але ви одразу, звісно, зрозумієте, звідки взявся кожен доданок.
Знову спробуємо знайти стаціонарний стан, у якому всі C змінюються з часом однаково. І знову розв'язок є експонентою
Знову спробуємо знайти стаціонарний стан, у якому всі C змінюються з часом однаково. І знову розв'язок є експонентою
Зображення
Якщо ви підставите це в (11.22), то побачите, що воно цілком підійде, якщо тільки енергія E буде пов'язана з kx, ky і kz таким чином:
Зображення
Тепер енергія залежить від трьох хвильових чисел kx, ky ,kz, які, до речі, є компонентами тривимірного вектора k. І справді, (11.23) можна переписати у векторних позначеннях:
Зображення
Амплітуда змінюється як комплексна плоска хвиля, яка рухається в тривимірному просторі в напрямку k з хвильовим числом k = (kx2 + кy2 + кz2)1/2.
Енергія, пов'язана з цими стаціонарними станами, залежить від трьох компонент к складним чином, підкоряючись рівнянню (11.24). Характер зміни E залежить від відносних знаків і величин Аx, Аy і Az. Якщо вся ця трійка додатна і якщо нас цікавлять лише малі k, то залежність виявляється порівняно простою.
Розкладаючи косинус, як і раніше [див. (11.16)], ми тепер прийдемо до
Енергія, пов'язана з цими стаціонарними станами, залежить від трьох компонент к складним чином, підкоряючись рівнянню (11.24). Характер зміни E залежить від відносних знаків і величин Аx, Аy і Az. Якщо вся ця трійка додатна і якщо нас цікавлять лише малі k, то залежність виявляється порівняно простою.
Розкладаючи косинус, як і раніше [див. (11.16)], ми тепер прийдемо до
Зображення
У простій кубічній ґратці з відстанню a між вузлами слід очікувати, що й Аx, і Аy , і Az будуть усі рівні одна одній (скажімо, рівні А), так що вийшло б
Зображення
А це якраз збігається з (11.16). Повторюючи ті самі міркування, що й тоді, ми дійшли б висновку, що електронний пакет у трьох вимірах (складений шляхом суперпозиції безлічі станів з майже однаковими енергіями) також рухається на манір класичної частинки, що має деяку ефективну масу.
У кристалі не з кубічною, а з нижчою симетрією (або навіть у кубічному кристалі, але такому, в якому стан електрона біля атома несиметричний) три коефіцієнти А x, Аy і Аz різні. Тоді «ефективна маса» електрона, зосередженого у вузькій області, залежить від напрямку його руху. Може, наприклад, виявитися, що в нього різна інерція при русі в напрямку x і при русі в напрямку y. (Деталі такого стану речей іноді описуються за допомогою «тензора ефективної маси».)
У кристалі не з кубічною, а з нижчою симетрією (або навіть у кубічному кристалі, але такому, в якому стан електрона біля атома несиметричний) три коефіцієнти А x, Аy і Аz різні. Тоді «ефективна маса» електрона, зосередженого у вузькій області, залежить від напрямку його руху. Може, наприклад, виявитися, що в нього різна інерція при русі в напрямку x і при русі в напрямку y. (Деталі такого стану речей іноді описуються за допомогою «тензора ефективної маси».)