Фейнмановские лекции по физике
Еще немного о том, как можно применить те же идеи, чтобы понять, что происходит с электроном в трех измерениях. Результаты оказываются очень похожими. Пусть имеется прямоугольная решетка атомов с расстояниями a, b, c в трех направлениях. (Если вам больше по душе кубическая решетка, примите все расстояния равными друг другу.) Предположим также, что амплитуда прыжка к соседу в направлении x есть iА x/h; амплитуда прыжка в направлении y есть iAy/h, а амплитуда прыжка в направлении z есть iAz/h. Как же описать базисные состояния? Как и в одномерном случае, одно базисное состояние — это когда электрон находится близ атома с координатами x, y, z, где (x, y, z) — одна из точек решетки. Если выбрать начало координат в одном из атомов, то все эти точки придутся на
Изображение
где nx, ny , nz —три целых числа. Вместо того чтобы ставить при x, у и z их номера, будем просто писать x, y, z, имея в виду, что они принимают лишь такие значения, которые бывают у точек решетки. Итак, базисное состояние изображается символом |электрон в x, y, z>, а амплитуда того, что электрон в некотором состоянии | ψ> окажется в этом базисном состоянии, есть C (x, y, z) = < электрон в x, y, z |ψ>.
Как и прежде, амплитуды C (x, y, z) могут меняться во времени. При наших предположениях гамильтоновы уравнения обязаны выглядеть следующим образом:
Как и прежде, амплитуды C (x, y, z) могут меняться во времени. При наших предположениях гамильтоновы уравнения обязаны выглядеть следующим образом:
Изображение
Хоть это и выглядит громоздко, но вы сразу, конечно, поймете, откуда взялось каждое слагаемое.
Опять попробуем найти стационарное состояние, в котором все C меняются со временем одинаково. И снова решение есть экспонента
Опять попробуем найти стационарное состояние, в котором все C меняются со временем одинаково. И снова решение есть экспонента
Изображение
Если вы подставите это в (11.22), то увидите, что оно вполне подойдет, если только энергия E будет связана с kx, ky и kz следующим образом:
Изображение
Теперь энергия зависит от трех волновых чисел kx, ky ,kz, которые, кстати, есть компоненты трехмерного вектора k. И действительно, (11.23) можно переписать в векторных обозначениях:
Изображение
Амплитуда меняется как комплексная плоская волна, которая движется в трехмерном пространстве в направлении k с волновым числом k = (kx2 + кy2 + кz2)1/2.
Энергия, связываемая с этими стационарными состояниями, зависит от трех компонент к сложным образом, подчиняясь уравнению (11.24). Характер изменения E зависит от относительных знаков и величин Аx, Аy и Az. Если вся эта тройка положительна и если нас интересуют лишь маленькие k, то зависимость оказывается сравнительно простой.
Разлагая косинус, как и раньше [см. (11.16)], мы теперь придем к
Энергия, связываемая с этими стационарными состояниями, зависит от трех компонент к сложным образом, подчиняясь уравнению (11.24). Характер изменения E зависит от относительных знаков и величин Аx, Аy и Az. Если вся эта тройка положительна и если нас интересуют лишь маленькие k, то зависимость оказывается сравнительно простой.
Разлагая косинус, как и раньше [см. (11.16)], мы теперь придем к
Изображение
В простой кубической решетке с расстоянием a между узлами следует ожидать, что и Аx, и Аy , и Az будут все равны друг другу (скажем, равны А), так что получилось бы
Изображение
А это как раз совпадает с (11.16). Повторяя те же рассуждения, что и тогда, мы пришли бы к заключению, что электронный пакет в трех измерениях (составленный путем суперпозиции множества состояний с почти одинаковыми энергиями) также движется на манер классической частицы, обладающей некоторой эффективной массой.
В кристалле не с кубической, а с более низкой симметрией (или даже в кубическом кристалле, но таком, в котором состояние электрона около атома несимметрично) три коэффициента А x, Аy и Аz различны. Тогда «эффективная масса» электрона, сосредоточенного в узкой области, зависит от направления его движения. Может, например, оказаться, что у него разная инерция при движении в направлении x и при движении в направлении y. (Детали такого положения вещей иногда описываются с помощью «тензора эффективной массы».)
В кристалле не с кубической, а с более низкой симметрией (или даже в кубическом кристалле, но таком, в котором состояние электрона около атома несимметрично) три коэффициента А x, Аy и Аz различны. Тогда «эффективная масса» электрона, сосредоточенного в узкой области, зависит от направления его движения. Может, например, оказаться, что у него разная инерция при движении в направлении x и при движении в направлении y. (Детали такого положения вещей иногда описываются с помощью «тензора эффективной массы».)