Стани визначеної енергії

Про електрон у ґратці ми тепер уже можемо дізнатися дуже багато. Для початку спробуємо відшукати стани визначеної енергії. Як ми бачили в попередніх розділах, це означає, що треба відшукати такий випадок, коли всі амплітуди змінюються з однією частотою, якщо вони взагалі змінюються. Ми шукаємо розв'язок у вигляді

Комплексне число а_n говорить нам про те, якою є частина амплітуди, що не залежить від часу, того, що електрони будуть виявлені біля n-го атома. Якщо цей пробний розв'язок підставити для перевірки в рівняння (11.4), то отримаємо

Перед нами нескінченне число рівнянь для нескінченної кількості невідомих а_n ! Ситуація важка!
 
Але ми знаємо, що треба лише взяти детермінант... ні, зачекайте! Детермінанти хороші, коли рівнянь два, три або чотири. Але тут їх дуже багато, навіть нескінченно багато, і навряд чи від детермінантів буде толк. Ні, краще спробувати розв'язувати ці рівняння прямо. По-перше, пронумеруємо положення атомів; вважатимемо, що n-й атом перебуває в х_n, а (n+1)-й— в х_{n + 1}. Якщо відстань між атомами дорівнює b (як на фіг. 11.1), то х_{n + 1} = х_n+b. Взявши початок координат в атомі номер нуль, можна навіть отримати х_n = nb. Рівняння (11.5) можна тоді переписати у вигляді

а рівняння (11.6) перетвориться на

Користуючись тим, що х_n+1 = х_n+b, цей вираз можна також записати у  вигляді

Це рівняння трохи скидається на диференціальне. Воно говорить, що величина a(x) у точці х_n пов'язана з тією самою фізичною величиною в сусідніх точках х_n ± b. (Диференціальне рівняння пов'язує значення функції в точці з її значеннями в нескінченно близьких точках.) Можливо, тут підійдуть методи, якими ми зазвичай користуємося для розв'язання диференціальних  рівнянь?  Спробуємо.
 
Розв'язки лінійних диференціальних рівнянь зі  сталими коефіцієнтами завжди можна виразити через експоненти. Спробуємо і тут те саме; як пробний розв'язок виберемо

Тоді (11.9) перетвориться на

Скоротимо на спільний множник е^ikx_n; отримаємо

Два останніх члени дорівнюють 2А cos kb, тож

Ми виявили, що за будь-якого вибору сталої k існує розв'язок, енергія якого дається цим рівнянням. Залежно від k виходять різні можливі енергії, і кожна k відповідає окремому розв'язку. Розв'язків нескінченно багато, але це й не дивно, адже ми виходимо з нескінченного числа базисних станів.
 
Подивімося, який смисл цих  розв'язків. Для кожної k рівняння (11.10) дає своє a. Тоді амплітуди перетворюються на

причому треба пам'ятати, що енергія E також залежить від А; згідно з рівнянням (11.13). Множник e^ikx_n дає просторову залежність амплітуд. Амплітуди під час переходу від атома до атома коливаються.
 
При цьому майте на увазі, що коливання амплітуди в просторі комплексні, модуль її поблизу будь-якого атома той самий, а фаза (у даний момент) від атома до атома зсувається на ikb. Щоб можна було бачити, що відбувається, поставимо біля кожного атома вертикальну рисочку, що дорівнює дійсній частині амплітуди (фіг. 11.2). Огинаюча цих вертикалей (показана штрихованою лінією) є, звісно, косинусоїдою. Уявна частина С_n — це теж коливальна функція, але вона зсунута по фазі на 90°, так що квадрат модуля (сума квадратів дійсної та уявної частин) у всіх C той самий.
 
Отже, обираючи k, ми отримуємо стаціонарний стан з визначеною енергією E. І в кожному такому стані електрону однаково ймовірно опинитися біля будь-якого з атомів, жодних переваг в одного атома перед іншим немає. Від атома до атома змінюється тільки фаза. Фази змінюються ще й з часом. З (11.14) випливає, що дійсна і уявна частини поширюються по кристалу, як хвилі, як дійсна і уявна частини виразу

Хвиля може рухатися або в бік додатних, або в бік від'ємних x, залежно від того, який знак обрано для k.
 
Зауважте, що ми припустили, що поставлене в нашому пробному розв'язку (11.10) число k є дійсним числом. Тепер видно, чому в нескінченному ланцюжку атомів так і має бути. Нехай k було б уявним числом —ik′. Тоді амплітуди а_n змінювалися б, як e^k′x_n, що означало б, що амплітуда зростає все вище і вище, коли x зростає, або при k′ від'ємному, коли x стає великим від'ємним числом. Такий вигляд розв'язку був би цілком гарний, якби ланцюжок атомів на чомусь закінчувався, але в нескінченному ланцюзі атомів це не може бути фізичним розв'язком. Він призвів би до нескінченних амплітуд і, отже, до нескінченних ймовірностей, які не можуть відображати справжнього стану речей. Пізніше ми зустрінемо приклад, коли й у уявних k є смисл.
 
Співвідношення (11.13) між енергією E і хвильовим числом k зображено на фіг. 11.3. Як випливає з цього рисунка, енергія може змінюватися від Е₀–2А при k = 0 до Е₀ + 2А при k=±π/b. Графік накреслено для додатних A, при від'ємних A криву довелося б перевернути, але область зміни залишилася б колишньою. Суттєво те, що в деякій області, або «смузі» енергій допустимі будь-які значення енергії; поза смугою енергії бути не може. З наших припущень випливає, що якщо електрон у кристалі перебуває в стаціонарному стані, енергія його не зможе опинитися поза цією смугою.
 
Згідно з (11.10), менші k відповідають нижчим енергетичним станам Е≈Е₀—2А. Коли k за величиною зростає (байдуже, у додатний чи від'ємний бік), то енергія спершу зростає, а потім при k = ±π/b досягає максимуму, як показано на фіг. 11.3. Для k, більших, ніж π/b, енергія знову почала б спадати. Але такі k розглядати не варто, вони не приведуть до жодних нових станів, а просто повторюють ті стани, що вже з'являлися при менших k. Ось як у цьому можна переконатися. Розглянемо стан найнижчої енергії, для якого k = 0. Тоді при всіх х_n коефіцієнт а (х_n) буде той самий [див. (11.10)]. Та сама енергія вийшла б і при k = 2π/b. Тоді з (11.10) випливало б

Але, вважаючи, що початок координат припадає на х₀, можна покласти х_n = nb, і тоді а (х_n) перетвориться на

тобто стан, що описується цими а (х_n), фізично нічим не відрізнятиметься від станів при k = 0. Він не є особливим розв'язком.
 
Як інший приклад візьмемо k = π/4b. Дійсна частина а (х_n) зображена на фіг. 11.4 кривою 1. Якби k було в сім разів більшим (k=7π/4b), то дійсна частина а (х_n) змінювалася б так, як показано на кривій 2. (Сама косинусоїда смислу не має, важливі лише її значення в точках х_n. Криві потрібні просто для того, щоб було видно, як усе змінюється.) Ви бачите, що обидва значення k у всіх х_n дають однакові амплітуди.
 
Висновок з усього цього полягає в тому, що всі можливі розв'язки нашої задачі вийдуть, якщо взяти k тільки з деякої обмеженої області. Ми виберемо область від —π/b до +π/b (вона показана на фіг. 11.3). У цій області енергія стаціонарних станів із зростанням абсолютної величини k зростає.
 
Ще одне побічне зауваження про те, з чим було б цікаво повозитися. Уявіть, що електрон може не тільки перескакувати до найближчих сусідів з амплітудою iA/h, але має ще можливість одним махом перескакувати і до наступних за ними сусідів з якоюсь іншою амплітудою iB/h. Ви знову виявите, що розв'язок можна шукати у формі а_n = е^ikx_n, цей тип розв'язків є універсальним. Ви також побачите, що стаціонарні стани з хвильовим числом k мають енергію Е₀—2А cos kb—2В cos 2kb. Це означає, що форма кривої E як функції k не універсальна, а залежить від тих окремих припущень, за яких розв'язується задача. Це не обов'язково косинусоїда, і вона навіть не обов'язково симетрична відносно горизонтальної осі. Але натомість завжди правильно, що крива поза інтервалом (—π/b, π/b) повторюється, так що дбати про інші значення k не потрібно.
 
Подивімося ще уважніше на те, що відбувається за малих k, коли варіації амплітуд між одним х_n і сусіднім дуже маленькі. Будемо відлічувати енергію від такого рівня, щоб було Е₀ = 2A; тоді мінімум кривої фіг. 11.3 припаде на нуль енергії. Для достатньо малих k можна написати

і енергія (11.13) перетвориться на

Виходить, що енергія стану пропорційна квадрату хвильового числа,  яке описує просторові варіації амплітуд С_n.