Наш останній приклад можна використати, щоб проілюструвати одну річ, яка в наші дні дуже корисна для фізики частинок високої енергії. Мова йде про зв'язок між амплітудами розсіяння і зв'язаними станами. Припустімо, ми відкрили (за допомогою дослідів і теоретичного аналізу), як піони розсіюються на протонах. Потім відкривається нова частинка, і комусь хочеться дізнатися, чи не є вона просто комбінацією з піона і протона, об'єднаних в один зв'язаний стан (за аналогією з тим, як електрон, будучи зв'язаним з протоном, утворює атом водню)? Під зв'язаним станом ми розуміємо комбінацію, енергія якої нижча, ніж у пари вільних частинок.
Існує загальна теорія, згідно з якою, якщо амплітуду розсіяння проекстраполювати (або, математичною мовою, «аналітично продовжити») на енергії поза дозволеною зоною, то за такої енергії, за якої амплітуда стає нескінченною, виникне зв'язаний стан. Фізична причина цього така. Зв'язаний стан — це коли є тільки хвилі, що стоять поблизу деякої точки; цей стан не породжується жодною початковою хвилею, він просто існує сам по собі. Відносна пропорція між так званими «розсіяними», або створеними, хвилями і хвилями, «що посилаються всередину», дорівнює нескінченності. Цю ідею ми можемо перевірити на нашому прикладі. Виразимо нашу розсіяну амплітуду (11.37) прямо через енергію E розсіяної частинки (а не через k). Рівняння (11.30) можна переписати у вигляді
Існує загальна теорія, згідно з якою, якщо амплітуду розсіяння проекстраполювати (або, математичною мовою, «аналітично продовжити») на енергії поза дозволеною зоною, то за такої енергії, за якої амплітуда стає нескінченною, виникне зв'язаний стан. Фізична причина цього така. Зв'язаний стан — це коли є тільки хвилі, що стоять поблизу деякої точки; цей стан не породжується жодною початковою хвилею, він просто існує сам по собі. Відносна пропорція між так званими «розсіяними», або створеними, хвилями і хвилями, «що посилаються всередину», дорівнює нескінченності. Цю ідею ми можемо перевірити на нашому прикладі. Виразимо нашу розсіяну амплітуду (11.37) прямо через енергію E розсіяної частинки (а не через k). Рівняння (11.30) можна переписати у вигляді
Зображення
З виведення формули випливає, що застосовувати її можна тільки для реальних станів — для тих, енергія яких потрапляє в енергетичну смугу, Е = Е0±2А. Але уявіть, що ми про це забули і розширили нашу формулу на «нефізичні» області енергії, де | Е—Е0| >2А. Для цих нефізичних областей можна написати
Зображення
Тоді «амплітуда розсіяння» (що б цей вираз не означав) дорівнює
Зображення
Тепер поставимо запитання: чи існує така енергія E, при якій β стає нескінченним (тобто при якій вираз для β має «полюс»)? Так, існує, якщо тільки F від'ємне; тоді знаменник (11.45) обернеться в нуль при
Зображення
При знаку мінус виходить якраз те, що ми отримали в (11.43) для енергії захопленого електрона.
А як бути зі знаком плюс? Він приводить до енергії вище дозволеної смуги енергій. І справді, існує інший зв'язаний стан, який ми пропустили, розв'язуючи (11.28). Знайти енергію і амплітуди аn для цього зв'язаного стану надається вам самим.
Одним із ключів (причому найнадійніших) до розгадки експериментальних спостережень над новими дивними частинками служить це співвідношення між законом розсіяння і зв'язаними станами.
А як бути зі знаком плюс? Він приводить до енергії вище дозволеної смуги енергій. І справді, існує інший зв'язаний стан, який ми пропустили, розв'язуючи (11.28). Знайти енергію і амплітуди аn для цього зв'язаного стану надається вам самим.
Одним із ключів (причому найнадійніших) до розгадки експериментальних спостережень над новими дивними частинками служить це співвідношення між законом розсіяння і зв'язаними станами.