Ми покінчили із системами з двома станами, розповівши все, що хотілося. У наступних розділах ми перейдемо до вивчення систем з більшим числом станів. Розширення на системи з N станами ідей, розроблених для двох станів, проходить досить просто. Це робиться приблизно так.
Якщо система має N різних станів, то будь-який стан |ψ (t) > можна представити як лінійну комбінацію довільної сукупності базисних станів | i>, де i=1, 2, 3, . . ., N:
Якщо система має N різних станів, то будь-який стан |ψ (t) > можна представити як лінійну комбінацію довільної сукупності базисних станів | i>, де i=1, 2, 3, . . ., N:
Зображення
Коефіцієнти Ci(t) — це амплітуди < i | ψ (t)>. Поведінка амплітуд Сi у часі спрямовується рівняннями
Зображення
де енергетична матриця Hij описує фізику задачі. На вигляд вона така сама, як і для двох станів. Але тільки тепер і i, і j повинні пробігати по всіх N базисних станах, і енергетична матриця Hij (або, якщо вам більше подобається, гамільтоніан) — це тепер матриця NxN, що складається з N2 чисел. Як і раніше, Hij=Hji (доти, доки частинки зберігаються) і діагональні елементи Hii є дійсними числами.
Ми знайшли загальний розв'язок для всіх C у системі з двома станами, коли енергетична матриця стала (не залежить від t). Точно так само неважко розв'язати й рівняння (9.58) для системи з N станами, коли H не залежить від часу. Знову ми починаємо з того, що шукаємо можливий розв'язок, у якому в усіх амплітуд залежність від часу однакова. Спробуємо
Ми знайшли загальний розв'язок для всіх C у системі з двома станами, коли енергетична матриця стала (не залежить від t). Точно так само неважко розв'язати й рівняння (9.58) для системи з N станами, коли H не залежить від часу. Знову ми починаємо з того, що шукаємо можливий розв'язок, у якому в усіх амплітуд залежність від часу однакова. Спробуємо
Зображення
Якщо всі ці Сi підставити в (9.58), то похідні dCi (t)/dt перетворюються просто на (— i/h) ECi Скорочуючи всюди на спільну експоненту, отримуємо
Зображення
Ця система N лінійних алгебраїчних рівнянь для N невідомих а1; а2, . . ., аn; розв'язок у неї буває лише тоді, коли вам дуже пощастить, коли визначник із коефіцієнтів при всіх a дорівнює нулю. Але не потрібно надто розумувати: можете просто почати їх розв'язувати будь-яким способом, і ви одразу побачите, що розв'язати їх вдається лише при деяких значеннях E. (Пригадайте, що єдина величина, яка в цих рівняннях підлягає підгонці, це E.)
Якщо, втім, ви хочете, щоб усе було за формою, перепишіть (9.60) так:
Якщо, втім, ви хочете, щоб усе було за формою, перепишіть (9.60) так:
Зображення
Потім застосуйте правило (якщо воно вам знайоме), що ці рівняння матимуть розв'язки лише для тих значень E, для яких
Зображення
Кожен член у детермінанті — це просто Hij і лише від діагональних віднято E. Інакше кажучи, (9.62) означає просто
Зображення
Це, звичайно, всього лише особливий спосіб записувати алгебраїчні рівняння для E, складаючи низки членів, що перемножуються у визначеному порядку. Ці добутки дадуть усі степені E аж до EN.
Отже, у нас є многочлен N-го степеня, який дорівнює нулю. У нього, взагалі кажучи, є N коренів. (Потрібно пам'ятати, однак, що деякі з них можуть бути кратними коренями; це означає, що два або більше коренів можуть бути рівні один одному.) Позначимо ці N коренів так:
Отже, у нас є многочлен N-го степеня, який дорівнює нулю. У нього, взагалі кажучи, є N коренів. (Потрібно пам'ятати, однак, що деякі з них можуть бути кратними коренями; це означає, що два або більше коренів можуть бути рівні один одному.) Позначимо ці N коренів так:
Зображення
(нехай n позначає n-й порядковий числівник, так що n набуває значень /,//, . . ., N). Деякі з цих енергій можуть бути між собою рівні, скажімо ЕII=ЕIII, але ми вирішили все ж позначати їх різними іменами.
Рівняння (9.60) або (9.61) мають по одному розв'язку для кожного значення E [з (9.64)]. Якщо ви підставите будь-яке з E, скажімо En у (9.60) і знайдете всі аi, то вийде ряд чисел аi, що відносяться до енергії Еn . Цей ряд ми позначимо аi (n).
Якщо підставити ці аi (n) у (9.59), то вийдуть амплітуди Ci (n) того, що стани з визначеною енергією перебувають у базисному стані | i>. Нехай |n> позначає вектор стану для стану з визначеною енергією при t=0. Тоді можна написати
Рівняння (9.60) або (9.61) мають по одному розв'язку для кожного значення E [з (9.64)]. Якщо ви підставите будь-яке з E, скажімо En у (9.60) і знайдете всі аi, то вийде ряд чисел аi, що відносяться до енергії Еn . Цей ряд ми позначимо аi (n).
Якщо підставити ці аi (n) у (9.59), то вийдуть амплітуди Ci (n) того, що стани з визначеною енергією перебувають у базисному стані | i>. Нехай |n> позначає вектор стану для стану з визначеною енергією при t=0. Тоді можна написати
Зображення
Зображення
Повний стан з визначеною енергією | ψn (t) > можна тоді записати так:
Зображення
Вектори станів | n> описують конфігурацію станів з визначеною енергією, але з винесеною залежністю від часу. Це сталі вектори, які, якщо ми захочемо, можна використати як нову базисну сукупність.
Кожен зі станів |n> має ту властивість (у чому легко переконатися), що при дії на нього оператором Гамільтона H вийде просто Еn , помножене на той самий стан:
Кожен зі станів |n> має ту властивість (у чому легко переконатися), що при дії на нього оператором Гамільтона H вийде просто Еn , помножене на той самий стан:
Зображення
Отже, енергія Еn — це характеристичне число оператора Гамільтона H. Як ми бачили, у гамільтоніана в загальному випадку буває кілька характеристичних енергій. Фізики зазвичай називають їх «власними значеннями» матриці H. Для кожного власного значення H, іншими словами, для кожної енергії, існує стан з визначеною енергією, який ми називали «стаціонарним». Стани | n> зазвичай іменуються «власними станами H», Кожен власний стан відповідає певному власному значенню Еn.
Далі, стани | n> (їх N штук) можуть, взагалі кажучи, теж бути вибрані як базис. Для цього всі стани повинні бути ортогональні в тому сенсі, що для будь-якої їхньої пари, скажімо | n> і | m>,
Далі, стани | n> (їх N штук) можуть, взагалі кажучи, теж бути вибрані як базис. Для цього всі стани повинні бути ортогональні в тому сенсі, що для будь-якої їхньої пари, скажімо | n> і | m>,
Зображення
Це виконається автоматично, якщо всі енергії різні. Крім того, можна помножити всі аi (n) на відповідні множники, щоб усі стани були віднормовані: щоб для всіх n було
Зображення
Коли виявляється, що (9.63) випадково має два (або більше) однакові корені з однією й тією самою енергією, тоді з'являються невеликі ускладнення. Як і раніше, є дві різні сукупності ai, що відповідають двом однаковим енергіям, але стани, які вони дають, не обов'язково ортогональні. Нехай ви проробили звичайну процедуру і знайшли два стаціонарні стани з рівними енергіями. Позначимо їх |μ> і | v >. Тоді вони не обов'язково виявляться ортогональними: якщо вам не пощастило, то виявите, що
Зображення
Але зате завжди правильно, що можна виготовити два нових стани (позначимо їх | μ′ > і | v′> з тими самими енергіями, але ортогональних один до одного:
Зображення
Цього можна досягти, склавши | μ′> і |v′> з відповідних лінійних комбінацій | μ > і | v > з так підібраними коефіцієнтами, що (9.70) буде виконано. Це завжди корисно робити, і ми будемо взагалі припускати, що це вже зроблено, так що можна буде вважати наші власноенергетичні стани |n> усі ортогональними.
Для інтересу доведемо, що коли два стаціонарні стани мають різні енергії, то вони справді ортогональні. Для стану | n> з енергією Еn
Для інтересу доведемо, що коли два стаціонарні стани мають різні енергії, то вони справді ортогональні. Для стану | n> з енергією Еn
Зображення
Це операторне рівняння насправді означає, що є співвідношення між числами. Якщо заповнити відсутні частини, то воно означає те саме, що й
Зображення
Здійснивши тут комплексне спряження, отримаємо
Тепер згадаємо, що комплексно спряжена амплітуда — це амплітуда зворотного процесу, так що (9.73) можна переписати у вигляді
Тепер згадаємо, що комплексно спряжена амплітуда — це амплітуда зворотного процесу, так що (9.73) можна переписати у вигляді
Зображення
Оскільки це рівняння справедливе для будь-якого i, то його можна «скоротити» до
Зображення
Це рівняння називається спряженим із (9.71).
Тепер легко довести, що Еn — число дійсне. Помножимо (9.71) на <n|. Вийде
Тепер легко довести, що Еn — число дійсне. Помножимо (9.71) на <n|. Вийде
Зображення
(з урахуванням, що = 1). Помножимо тепер (9.75) справа на |n> :
Зображення
Порівнюючи (9.76) із (9.77), бачимо, що
Зображення
а це означає, що Еn дійсне. Зірочку при Еn у (9.75) можна прибрати.
Тепер нарешті ми в змозі довести, що стани з різними енергіями ортогональні. Нехай | m> і | n> — пара базисних станів з визначеними енергіями. Написавши (9.75) для стану | m> і помноживши його на | n>, отримаємо
Тепер нарешті ми в змозі довести, що стани з різними енергіями ортогональні. Нехай | m> і | n> — пара базисних станів з визначеними енергіями. Написавши (9.75) для стану | m> і помноживши його на | n>, отримаємо
Зображення
Якщо Еm = Еn, то ця рівність ні про що не говорить. Але якщо енергії двох станів | m> і | n> різні (Еm≠Еn), то рівняння (9.79) говорить, що <m | n> повинно бути нулем, що ми й хотіли довести. Два стани обов'язково ортогональні, якщо тільки Еn і Еm відрізняються один від одного.