Спінові матриці Паулі

Продовжуємо обговорення властивостей дворівневих систем. Наприкінці попереднього розділу ми говорили про частинку зі спіном ¹/₂ у магнітному полі. Ми описували спіновий стан, задаючи амплітуду С₁ того, що z-компонента спінового моменту кількості руху дорівнює + h/2, і амплітуду С₂ того, що вона дорівнює —h/2. У попередніх розділах ми ці базисні стани позначали | +> і | –>. Вдамося знову до цих позначень, хоча, коли це буде зручніше, ми будемо міняти їх на  | 1> і | 2>.
 
Ми бачили в останньому розділі, що коли частинка зі спіном ¹/₂ і з магнітним моментом μ перебуває в магнітному полі В=(B_x, B_y, B_z), то амплітуди С₊ (=С₁) і С_ ( = С₂) пов'язані такими диференціальними рівняннями:

Інакше кажучи,  матриця-гамільтоніан  H_ij має вигляд

де i і j набувають значень +  і — (або 1 і 2).
 
Ця система з двома станами — спін електрона — настільки важлива, що дуже корисно було б знайти для її опису спосіб акуратніший і вишуканіший. Ми зараз зробимо невеликий математичний відступ, щоб показати вам, як зазвичай пишуться рівняння системи з двома станами. Робиться це так: по-перше, зауважте, що кожен член гамільтоніана пропорційний μ і якійсь компоненті В; тому (суто формально) можна написати

Тут немає жодної нової фізики; ці рівняння просто означають, що коефіцієнти σ^x_ij, σ^y_ij і σ^z_ij — усього їх 4Х 3 = 12 — можуть бути представлені так, що (9.4) збіжиться з (9.2).
 
Подивимося, чому це так. Почнемо з B_z. Раз B_z трапляється тільки в H₁₁ і Н₂₂, то все буде гаразд, якщо взяти

Ми часто пишемо  матрицю  H_ij у вигляді  таблички такого роду:

Для гамільтоніана частинки зі спіном ¹/₂ у магнітному  полі В —це все одно що

Точнісінько так само й коефіцієнти σ^z_ij   можна записати у вигляді матриці

Розписуючи коефіцієнти при В_x, отримуємо, що елементи матриці σ_x повинні мати вигляд

І нарешті, дивлячись на B , отримуємо

Якщо так визначити три матриці сигма, то рівняння (9.1) і (9.4) збіжаться. Щоб залишити місце для індексів i і j, ми відзначили, яка σ стоїть при якій компоненті В, поставивши індекси x, y, z зверху. Зазвичай, однак, i і j відкидають (їх легко собі й так уявити), а індекси x, у і z ставлять знизу. Тоді (9.4) записується  так:

Матриці сигма настільки важливі (ними безперервно користуються), що ми виписали їх у табл. 9.1. (Той, хто збирається працювати в квантовій фізиці, зобов'язаний запам'ятати їх.) Їх ще називають спіновими матрицями Паулі — за іменем фізика, який їх вигадав.

У таблицю ми включили ще одну матрицю 2x2, яка буває потрібна тоді, коли ми хочемо розглядати систему, обидва спінові стани якої мають однакову енергію, або коли хочемо перейти до іншої нульової енергії. У таких випадках до першого рівняння в (9.1) доводиться додавати Е₀С ₊ , а до другого Е₀С _. Це можна врахувати, увівши нове позначення — одиничну матрицю «1», або δ_ij:

Зазвичай просто розуміють без зайвих застережень, що будь-яка стала на кшталт Е₀ автоматично множиться на одиничну матрицю, і тоді пишуть просто

Одна з причин, чому спінові матриці такі корисні,— це те, що будь-яка матриця 2x2 може бути виражена через них. У будь-якій матриці стоять чотири числа, скажімо

Її завжди можна записати у вигляді  лінійної комбінації чотирьох матриць. Наприклад,

Це можна робити по-всякому, але, зокрема, можна сказати, що M складається з якоїсь кількості σ_x плюс якоїсь кількості σ_y  і т. д., і написати

де «кількості» α, β, γ і δ в загальному випадку можуть бути комплексними числами.
 
Раз будь-яка матриця 2x2 може бути виражена через одиничну матрицю і матрицю сигма, то все, що може знадобитися для будь-якої системи з двома станами, у нас уже є. Якою б не була система з двома станами — молекула аміаку, барвник фуксин, що завгодно,— гамільтонове рівняння може бути переписане в сигмах. Хоча у фізичному випадку електрона в магнітному полі сигми здаються такими, що мають геометричний зміст, але їх можна вважати й просто корисними матрицями, придатними для вживання в будь-якій системі з двома станами.
 
Наприклад, один зі способів розглядати протон і нейтрон — це уявляти їх як одну й ту саму частинку в будь-якому з двох станів. Ми говоримо, що нуклон (протон або нейтрон) є системою з двома станами, у цьому разі станами щодо електричного заряду. Якщо розглядати нуклон у такий спосіб, то стан |1> може представляти протон, а |2> —нейтрон. Кажуть, що в нуклона є два стани   «ізотопічного спіну».
 
Оскільки ми будемо застосовувати матриці сигма як «арифметику» квантової механіки систем з двома станами, то нашвидкуруч ознайомимося із домовленостями матричної алгебри. Під «сумою» двох або більшого числа матриць мається на увазі якраз те,  що  малося  на  увазі  в рівнянні   (9.4). Взагалі якщо ми «додаємо» дві матриці A і B, то «сума» С означає,  що кожен її елемент С_ij дається формулою

Кожен елемент C є сума елементів A і B, що стоять на тих самих місцях.
 
У розд. 3, § 6, ми вже стикалися з уявленням про матричний «добуток». Та сама ідея корисна й при роботі з матрицями сигма. У загальному випадку «добуток» двох матриць A і B (саме в такому порядку) визначається як матриця C з елементами

Це — сума добутків елементів, узятих попарно з i-го рядка A і k-го стовпця B. Якщо матриці розписані у вигляді таблиць, як на фіг. 9.1, то можна вказати зручну «систему» отримання елементів матриці-добутку. Скажімо, ви обчислюєте С₂₃. Ви рухаєте лівим указівним пальцем по другому рядку A, а правим — вниз по третьому стовпцю B, перемножуєте кожну пару чисел і додаєте пари в міру руху. Ми спробували зобразити це на малюнку.

Для матриць 2x2 це виглядає особливо просто. Наприклад, якщо σ_x множиться на σ_x, то виходить

тобто просто одинична матриця. Або, для прикладу, підрахуємо ще

Поглянувши на табл. 9.1, ви бачите, що це просто матриця σ_x, помножена на i. (Пригадайте, що множення матриці на число означає множення кожного елемента матриці на число.) Попарні добутки сигм дуже важливі й виглядають вони доволі кумедно, тож ми їх виписали в табл. 9.2. Ви самі можете підрахувати їх, як ми зробили це з σ_x² і σ_xσ_y.

З матрицями σ пов'язаний ще один дуже цікавий і важливий момент. Можна, якщо завгодно, уявити собі, що три матриці σ_x, σ_y і σ_z подібні до трьох компонент вектора; його іноді іменують «вектором сигма» і позначають σ. Це насправді «матричний вектор», або «векторна матриця». Це три різні матриці, пов'язані кожна зі своєю віссю х, у або z. З їхньою допомогою гамільтоніан системи можна записати в гарному вигляді, придатному для будь-якої системи координат:

Хоча ми записали ці три матриці в представленні, в якому поняття «вгору» і «вниз» стосуються напрямку z (так що σ_z виглядає особливо просто), але можна уявити собі, якими вони будуть виглядати в будь-якому іншому представленні. І хоча це вимагає чималих викладок, можна все ж показати, що вони змінюються як компоненти вектора. (Ми, утім, поки не будемо піклуватися про те, щоб довести це. Перевірте самі, якщо хочете.) Ви можете користуватися σ в різних системах координат, як якби це був вектор.
 
Ви пам'ятаєте, що гамільтоніан H пов'язаний у квантовій механіці з енергією. Він дійсно в точності збігається з енергією в тому простому випадку, коли станів тільки один. Навіть у системі з двома станами, якою є спін електрона, якщо записати гамільтоніан у вигляді (9.13), він дуже нагадує класичну формулу енергії магніту з магнітним моментом μ в магнітному полі В. Класично це виглядає так:

де μ — властивість об'єкта, а В — зовнішнє поле. Можна уявити собі, що (9.14) перетворюється на (9.13), якщо класичну енергію заміняють гамільтоніаном, а класичне μ — матрицею μσ. Тоді після такої суто формальної заміни результат можна буде інтерпретувати як матричне рівняння. Іноді стверджують, що кожній величині в класичній фізиці відповідає в квантовій механіці матриця. Насправді правильніше було б говорити, що матриця Гамільтона відповідає енергії і що в кожної величини, яка може бути визначена через енергію, є відповідна матриця. Наприклад, магнітний момент можна визначити через енергію, сказавши, що енергія в зовнішньому полі В є —μ·B. Це визначає вектор магнітного моменту μ. Потім ми дивимося на формулу для гамільтоніана реального (квантового) об'єкта в магнітному полі і намагаємося вгадати, які матриці відповідають тим чи іншим величинам у класичній формулі. За допомогою цього трюку іноді в деяких класичних величин з'являються їхні квантові двійники.
 
Якщо хочете, спробуйте розібратися в тому, як, у якому сенсі класичний вектор дорівнює матриці μσ: може бути, ви щось і відкриєте. Але не треба ламати над цим голову. Право ж, не варто: насправді-то вони не рівні. Квантова механіка — це зовсім інший тип теорії, інший тип уявлень про світ. Іноді трапляється, що зринають деякі відповідності, але навряд чи вони являють собою щось більше, ніж мнемонічні засоби -- правила для запам'ятовування.
 
Інакше кажучи, ви запам'ятовуєте (9.14), коли вчите класичну фізику; потім якщо ви запам'ятали відповідність μ →μσ, то у вас є привід згадати (9.13). Звісно, природа знає квантову механіку, класична ж є всього лише наближенням, отже, немає нічого загадкового в тому, що через класичну механіку де-не-де проглядають тіні квантовомеханічних законів, які насправді являють собою їхнє підґрунтя. Відновити реальний об'єкт за тінню прямим шляхом жодним чином неможливо, але тінь допомагає нам згадати, як виглядав об'єкт. Рівняння (9.13) — це істина, а рівняння (9.14) — її тінь. Ми спершу вчимо класичну механіку і тому нам хочеться виводити з неї квантові формули, але раз і назавжди встановленої схеми для цього немає. Доводиться щоразу повертатися назад до реального світу й відкривати правильні квантовомеханічні рівняння. І коли вони виявляються схожими на щось класичне, ми радіємо.
 
Якщо ці застереження видадуться вам набридливими, якщо, на вашу думку, тут проголошуються старі істини про відношення класичної фізики до квантової, то прошу вибачення: спрацював умовний рефлекс викладача, який звик втовкмачувати квантову механіку студентам, які ніколи раніше не чули про спінові матриці Паулі. Мені завжди здавалося, що вони не втрачають надії, що квантова механіка якось зможе бути виведена як логічний наслідок класичної механіки, тієї самої, яку вони старанно вчили в попередні роки. (Може бути, вони просто хочуть обійтися без вивчення чогось нового.) Але, на щастя, ви вивчили класичну формулу (9.14) всього кілька місяців тому, та й то з застереженнями, що вона не зовсім правильна, так що, може бути, ви не будете так неохоче сприймати необхідність розглядати квантову формулу (9.13) як первинну істину.