Спінові матриці як оператори

Раз уже ми зайнялися математичними позначеннями, то хотілося б описати ще один спосіб запису, спосіб, який часто вживають через свою стислість. Він прямо випливає з позначень, введених у розд. 6. Якщо є система в стані | ψ (t) >. що змінюється в часі, то можна, як ми це робили в рівнянні (6.31), написати амплітуду того, що система при t + Δt опинилася б у стані | i>:

Матричний елемент <i|U (t, t+Δt) |j>— це амплітуда того, що базисний стан |j> перетвориться на базисний стан | i > за час Δt. Потім ми визначали H_ij за  допомогою

і показували, що амплітуди  С_i(t) = <i | ψ (t)> пов'язані диференціальними рівняннями

Якщо амплітуди С_i записати явно, то це саме рівняння виглядатиме  по-іншому:

Далі, матричні елементи H_ij — це теж амплітуди, які можна записувати у вигляді < i | H | j>; наше диференціальне рівняння виглядає тоді так:

Ми бачимо, що —i/h <i |H| j> — це амплітуда того, що за фізичних умов, які описуються матрицею H, стан | j> за час dt «генерує» стан | i> (Усе це неявно малося на увазі в міркуваннях розд. 6, § 4.)
 
Тепер, ідучи за ідеями розд. 6, § 2, ми можемо скоротити в (9.17) загальний «множник» < i |, оскільки (9.17) справедливе за будь-якого | i>, і записати це рівняння просто у вигляді

Або, зробивши ще один крок, прибрати до того ж і j і написати

У розд. 6 ми вказували, що за такого запису H у H | j> або  у H | ψ> називається оператором. Відтепер на оператори ми будемо надягати маленькі шапочки (ˆ), щоб нагадувати вам, що це оператор, а не число. Ми будемо писати H^ˆ | ψ>. Хоча обидва рівняння (9.18) і (9.19) означають достеменно те саме, що й (9.15) або (9.17), ми можемо думати про них зовсім по-іншому. Наприклад, рівняння (9.18) можна було б описувати так: «Похідна за часом від вектора стану |ψ> дорівнює тому, що виходить від дії оператора Гамільтона Hˆ на кожен базисний стан, помноженому на амплітуду <j | ψ> того, що ψ виявиться в стані j, і просумованому за всіма j». Або рівняння (9.19) можна описати так: «Похідна за часом (помножена на ih) від стану | ψ> дорівнює тому, що ви отримаєте, якщо подієте гамільтоніаном Hˆ на вектор стану |ψ>». Це просто скорочений спосіб вираження того, що міститься в (9.17), але, як ви потім переконаєтеся, він може виявитися дуже зручним.
 
Якщо хочете, ідею «абстрагування» можна просунути ще на крок. Рівняння (9.19) справедливе для будь-якого стану |ψ>. Крім того, ліва сторона ihd/dt — це теж оператор; його дія: «продиференціюй за t і помнож на ih». Отже, (9.19) можна розглядати як рівняння між операторами — операторне рівняння

Оператор Гамільтона (з точністю до константи), діючи на будь-який стан, приводить до того самого результату, що й d/dt. Пам'ятайте, що це рівняння, як і (9.19), не є твердженням про те, що оператор Hˆ просто та сама операція, що й d/dt. Ці рівняння — динамічний закон природи (закон руху) для квантової системи.
 
Тільки для того, щоб попрактикуватися в цих уявленнях, продемонструємо вам інше виведення рівняння (9.18). Ви знаєте, що будь-який стан | ψ> можна записати через його проєкції на якийсь базис [див. (6.8)]:

Як же змінюється |ψ > у часі? Продиференціюємо його:

Але базисні стани | i > у часі не змінюються (принаймні в нас вони завжди були визначеними, закріпленими станами), і тільки амплітуди <i| ψ> — це числа, які можуть змінюватися. Інакше кажучи, (9.21) перетворюється на

Але ж d< i |ψ >/dt нам відомо—це (9.16); виходить, отже,

А це знову-таки рівняння (9.18).
 
Отже, на гамільтоніан можна дивитися по-різному. Можна розглядати сукупність коефіцієнтів H_ij просто як компанію чисел, можна говорити про «амплітуди» < i | H | j>, можна уявляти собі «матрицю» H_ij і можна вважати його «оператором» Hˆ. Усе це одне й те саме.
 
Повернемося тепер до нашої системи з двома станами. Якщо вже ми записуємо гамільтоніан через матриці сигма (з відповідними числовими множниками, такими, як В_x і т. д.), то природно розглядати й σ^x_ij як амплітуду < i | σ_x | j>, або, для стислості, як оператор σ_x. Якщо застосувати цю ідею оператора, то рівняння руху стану |ψ> у магнітному полі можна написати у вигляді

Бажаючи «використати» це рівняння, нам, природно, доводиться виражати |ψ> через базисні вектори (рівносильно тому, що доводиться знаходити компоненти просторових векторів, коли задача доводиться до числа). Тож зазвичай ми надаємо перевагу розписуванню (9.23) у більш розгорнутому вигляді:

Зараз ви побачите, чим гарна ідея оператора. Щоб застосовувати рівняння (9.24), потрібно знати, що буде, коли оператори σˆ подіють на кожен базисний стан. Напишемо σˆ_z | +>; це якийсь вектор | ?>, але який? Що ж, помножимо його зліва на <+ | і отримаємо

(користуючись табл.  9.1). Отже,  ми знаємо, що

Тепер помножимо   σ_z |+> зліва на < — |.  Отримаємо

Існує тільки  один вектор стану,  що задовольняє  (9.25)  і  (9.24);  це  I+->.  Ми, стало бути,  відкрили,   що

Такого роду міркуваннями можна легко  показати, що всі властивості матриць сигма можуть бути в операторних позначеннях описані низкою правил, наведених у табл.9.3.

Якщо в нас є добутки матриць сигма, то вони переходять у добутки операторів. Коли два оператори стоять поряд у вигляді добутку, то спершу береться до операції той оператор, який стоїть правіше. Скажімо, під σ_xσ_y|+> треба розуміти σ_x (σ_y |+>).  Із табл.  9.3 отримуємо σ_y |+> = i | – >, так   що

Числа (як, наприклад, i) просто проходять крізь оператори (оператори діють тільки на вектори станів); отже, 14,28) перейде в

Якщо зробити те саме з σ_x σ_y| —>, то вийде

Якщо поглянути на табл. 9.3, то видно, що σ_xσ_y, діючи на |+> або | —>, дасть точнісінько  те саме, що виходить, якщо просто подіяти оператором σ_z і помножити на — i. Тому можна сказати, що операція σ_xσ_y збігається з операцією iσ_z, і записати це твердження у вигляді операторного рівняння

Переконайтеся, що це рівняння збігається з одним із наших матричних рівнянь табл. 9.2. Отже, ми знову бачимо відповідність між матричною і операторною точками зору. Кожне з рівнянь у табл. 9.2 може тому розглядатися і як рівняння щодо операторів сигма. Можна перевірити, що вони дійсно випливають із табл. 9.3. Працюючи з цими речами, краще не стежити за тим, чи є величини типу σ або H операторами, чи матрицями. Хоч би як їх вважати, рівняння вийдуть одні й ті самі, так що табл. 9.2 можна за бажанням відносити то до операторів сигма, то до матриць сигма.