Тепер можна писати наше рівняння двох станів у різних видах, наприклад:
Зображення
Обидва вони означають одне й те саме. Для частинки зі спіном 1/2 у магнітному полі гамільтоніан H дається рівнянням (9,8) або (9.13).
Якщо поле спрямоване по z, то, як ми вже багато разів бачили, розв'язок полягає в тому, що стан | ψ>, яким би він не був, прецесує навколо осі z (точнісінько так, якби взяти фізичне тіло й обертати його як ціле навколо осі z) з кутовою швидкістю, удвічі більшою, ніж μВ/h. Усе це, звісно, стосується й магнітного поля, спрямованого під іншим кутом, адже фізика від системи координат не залежить. Якщо магнітне поле час від часу якось складно змінюється, то таке становище речей можна аналізувати таким чином. Нехай спочатку спін був у напрямку +z, а магнітне поле — у напрямку x. Спін почав повертатися. Якщо вимкнути x-поле, поворот припиниться. Якщо тепер увімкнути z-поле, спін почне повертатися навколо z і т. д. Отже, дивлячись на те, як змінюються поля в часі, ви можете уявити собі, яким буде кінцевий стан — по якій осі він буде спрямований. Потім можна віднести цей стан до первісних |+> і | — > щодо z, користуючись проєкційними формулами, отриманими в розд. 8 (або в розд. 4). Якщо в кінцевому стані спін спрямований по (θ, φ), то амплітуда того, що спін дивитиметься вгору, дорівнює cos (θ/2)е–iφ/2, а амплітуда того, що спін дивитиметься вниз, дорівнює sin (θ/2)е+iφ/2. Це розв'язує будь-яку задачу. Такий словесний опис розв'язків диференціальних рівнянь.
Щойно описаний розв'язок достатньо загальний для того, щоб упоратися з будь-якою системою з двома станами. Візьмемо наш приклад із молекулою аміаку, на яку діє електричне поле. Якщо систему описано мовою станів |I> і |II>, то рівняння виглядають так:
Якщо поле спрямоване по z, то, як ми вже багато разів бачили, розв'язок полягає в тому, що стан | ψ>, яким би він не був, прецесує навколо осі z (точнісінько так, якби взяти фізичне тіло й обертати його як ціле навколо осі z) з кутовою швидкістю, удвічі більшою, ніж μВ/h. Усе це, звісно, стосується й магнітного поля, спрямованого під іншим кутом, адже фізика від системи координат не залежить. Якщо магнітне поле час від часу якось складно змінюється, то таке становище речей можна аналізувати таким чином. Нехай спочатку спін був у напрямку +z, а магнітне поле — у напрямку x. Спін почав повертатися. Якщо вимкнути x-поле, поворот припиниться. Якщо тепер увімкнути z-поле, спін почне повертатися навколо z і т. д. Отже, дивлячись на те, як змінюються поля в часі, ви можете уявити собі, яким буде кінцевий стан — по якій осі він буде спрямований. Потім можна віднести цей стан до первісних |+> і | — > щодо z, користуючись проєкційними формулами, отриманими в розд. 8 (або в розд. 4). Якщо в кінцевому стані спін спрямований по (θ, φ), то амплітуда того, що спін дивитиметься вгору, дорівнює cos (θ/2)е–iφ/2, а амплітуда того, що спін дивитиметься вниз, дорівнює sin (θ/2)е+iφ/2. Це розв'язує будь-яку задачу. Такий словесний опис розв'язків диференціальних рівнянь.
Щойно описаний розв'язок достатньо загальний для того, щоб упоратися з будь-якою системою з двома станами. Візьмемо наш приклад із молекулою аміаку, на яку діє електричне поле. Якщо систему описано мовою станів |I> і |II>, то рівняння виглядають так:
Зображення
Ви скажете: «Ні, там, я пам'ятаю, стояло ще Е0». Байдуже, ми просто зсунули початок відліку енергій, щоб Е0 стало дорівнювати нулю. (Це завжди можна зробити, змінивши обидві амплітуди в те саме число разів — у eiE0T/h; так можна позбутися будь-якої сталої добавки до енергії.) Однакові рівняння мають однакові розв'язки, тому не варто розв'язувати їх удруге. Якщо поглянути на ці рівняння і на (9.1), то їх можна ототожнити між собою таким чином. Стан |+> позначимо | I>, стан | —> позначимо | II>. Це зовсім не означає, що ми вибудовуємо аміак у просторі в одну лінію або що |+> і | — > якось пов'язані з віссю z. Усе це робиться суто штучно. Є штучний простір, який можна було б назвати, наприклад, «модельним простором молекули аміаку» або ще якось інакше. Це просто тривимірна «діаграма», і напрямок «вгору» означає перебування молекули в стані |I>, а напрямок «вниз» по фальшивій осі z означає перебування молекули в стані |II>. Тоді рівняння ототожнюються таким чином.
Перш за все ви бачите, що гамільтоніан можна записати через матриці сигма:
Перш за все ви бачите, що гамільтоніан можна записати через матриці сигма:
Зображення
Якщо порівняти це з (9.1), то μBz відповідатиме –A, a μBx відповідатиме –μE. У нашому «модельному» просторі виникає, стало бути, постійне поле В, спрямоване по осі z. Якщо є, крім цього, електричне поле E, що змінюється з часом, то в поля В з'явиться і пропорційно змінювана x-компонента. Таким чином, поведінка електрона в магнітному полі з постійною складовою в напрямку z і коливною складовою в напрямку x математично в усьому подібна й точно відповідає поведінці молекули аміаку в осцилівному електричному полі. На жаль, у нас немає часу заглиблюватися в деталі цієї відповідності або розбиратися в якихось технічних деталях. Ми тільки хотіли підкреслити, що можна зробити так, щоб усі системи з двома станами були аналогічні об'єкту зі спіном 1/2, що прецесує в магнітному полі.